轻飘飘的旧时光就这么溜走 转头回去看看时已匆匆数年

双曲蜂巢,Kleinian 群的极限集与无限 Coxeter 群的极限根

赵亮 / 2020-06-01


惊喜的发现我的博客又是半年多没更新了。比起折腾博客主题的次数来,我上传文章的频率未免太低了点。太容易的东西没意思不想写,有意思的东西写起来又太不容易。尤其还要白天上班晚上带娃,个人可以静下来独处的时间严重不足。我觉得钻研数学最好的地方是在象牙塔里,不满足这个条件的话就得要么单身,要么娶两个老婆。大老婆以为你在陪小老婆,小老婆以为你在陪大老婆,这样你就有时间做点数学了。

言归正传,下面是正文。

具有超理想顶点的双曲蜂巢 (hyperbolic honeycomb with ultra-ideal vertices)

下图来自 Roice Nelson 1,我先不说话,大家欣赏下,看看能不能看懂它画的是什么?

你可以看到图中出现了无数大小不一的 Poincaré 双曲圆盘,它们密密麻麻地铺在一个圆形区域内,但是还留下了一些 "空洞" 的部分没有被填充。这还是 Poincaré 双曲铺砌吗?好像不太对哎?


答案是,这个图仍然描述的是一个双曲铺砌,只不过这个铺砌位于三维双曲空间中,空间的模型是 Poincaré 单位球 \[B_p = \{ (x,y,z)\, |\, x^2+y^2+z^2<1\},\] 铺砌的类型是 Schläfli 记号 2 下的双曲蜂巢 (3, 7, 3),图中绘制的是在球面边界上发生的景象,此景象被球极投影到了 \(z=0\) 平面上。

你可能要问了:球面在球极投影的结果不是应该铺满整个平面吗?怎么上图只有一个圆形区域呢?答案是,圆形区域的外部也是铺砌的一部分,它对应的是基本胞腔与边界球面的 "无穷大" 交集 (Roice 的文章中叫做 head),基本胞腔的所有面都染成了白色,所以虽然看起来好像投影后的区域只有一个圆形,实际不是的。

下图展示的是投影之前的景象:

注意 (3, 7, 3) 这个铺砌是非紧的 (non-compact),其每个胞腔有一部分与无穷远边界相交。图中的每个空洞都来自一个对应的胞腔,特别地图中上半部分的最大的空洞属于基本胞腔。

下图从另一个角度展示了这一点:

这三张图展示的是同一个铺砌,仅仅角度和场景不同。在第三张图中,每一个红色的小积木对应于双曲蜂巢中的一个胞腔,你可以把胞腔理解为双曲空间中的正多面体,但是这个多面体有无穷多个顶点和无穷多个面,图中只绘制了一个近似的形状。这些胞腔看起来有大有小,但是实际上它们在双曲空间中都是完全一样的,并且每个胞腔的体积是无穷大。特别地,观察者视角所在的空间也是一个胞腔的内部!场景中一共放置了五个胞腔。每个胞腔与理想平面的交是一个体积无限大的空洞,以及一组无限多个全等的正七边形。

图中每个双曲圆盘对应于铺砌的一个顶点。这个顶点并不在上半空间中,甚至也不在理想平面上,实际上它位于双曲空间之外,是 "虚拟的",这样的顶点叫做超理想顶点 (ultra-ideal)。由于 (3, 7, 3) 铺砌的顶点配置 (vertex configure) 是 (7, 3),所以任一顶点处有无穷多个胞腔与其相邻,这些胞腔构成一个 (7, 3) 类型的双曲铺砌。圆盘中的每个正七边形是某个胞腔的 "柱子" 与理想平面的交,这个柱子在理想平面的另一侧汇聚到该顶点处。

以上内容在 Roice 的文章中都可以找到,我强烈建议读者去看看原文,里面有非常多精彩的图片。

不过等等,好像我们还漏掉了什么,注意到图中那些位于圆盘缝隙之间的点了吗?它们有什么含义吗?

双曲动力系统的极限集与无限 Coxeter 群的极限根

圆盘之间的缝隙是上面几张图中最有趣也是最神秘的部分,它有两种完全不同但是等价的描述:一方面它们是 (3, 7, 3) 的对称群 \(W\) 作为 Kleinian 群作用在三维双曲空间 \(\mathbb{H}_3\) 上的极限集 (limit set) \(\Lambda(W)\),另一方面它们也是 \(W\) 作为无限 Coxeter 群的极限根 (limit roots) \(E(\Phi)\) (具体解释见后)。

\(W\) 作为 Kleinian 群的极限集 \(\Lambda(W)\) 有若干种不同的等价描述方式。

\(x_0\in\mathbb{H}_3\) 是三维双曲空间中一点,\(W(x_0)=\{w(x_0)\,|\, w\in W\}\)\(x_0\)\(W\) 作用下的轨道,则集合 \(W(x_0)\) 的聚点都位于无穷远边界球面 \(S^3\) 上。我们把 \(W(x_0)\) 的所有聚点组成的集合叫做 \(W\)极限点,把极限点的闭包叫做 \(W\)极限集,记作 \(\Lambda(W)\)。可以证明 \(\Lambda(W)\) 的定义不依赖于 \(x_0\) 的选取,并且 \(\Lambda(W)\) 是理想球面上在 \(W\) 作用下不变的最小非空闭集。

\(W\) 作为无限 Coxeter 群,其极限根的概念则是最近几年才提出。完整的描述极限根的概念需要颇为一番周折,我这里简单尝试介绍一下,恐怕不见得说得十分明白,读者最好还是参考论文如 3 4 等。

首先我们知道 (3, 7, 3) 这个铺砌的对称群 \(W\) 是由 Coxeter 矩阵 \[\begin{pmatrix}1&3&2&2\\3&1&7&2\\2&7&1&3\\2&2&3&1\end{pmatrix}\] 确定的 Coxeter 群 \((W,\Delta)\),这里的 \(\Delta\) 就是标准几何表示下的单根集。\(W\) 的标准几何表示对应的双线性函数 \(B(\cdot,\cdot)\) 的符号是 (3, 1),因而等价于 \(\mathbb{R}^4\) 上的 Minkowski 内积,\(W\) 是此内积下的离散正交变换群。记 \(q(v)=B(v,v)\) 是由 \(B\) 决定的二次型,则在一组基 \(\{e_i\}\)\(q\) 形如 \[q(v) = x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2,\quad v=\sum_{i=1}^4 x_ie_i.\]

分别记 \(Q=\{v\, |\, q(v)=0\}\)\(Q^-=\{v\, |\, q(v)<0\}\),则用超平面 \(V_1=\{x_4=1\}\) 去截 \(Q^-\) 得到的单位球 \[\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\, |\, x_1^2+x_2^2+x_3^2<1,\ x_4=1\}\] 就是我们所熟悉的双曲几何的 Klein-Beltrami 模型。极限根的故事就发生在这个仿射单位球的边界 \(S^3\) 上。

\(\Delta = \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\)\(W\) 的单根集,\(\Phi\)\((W,\Delta)\) 的根系,\(\Phi^+\) 是其中的正根。

由于 \(W\) 是无限群,\(\Phi\) 也是无限的,而且 \(\Phi\)\(\mathbb{R}^4\) 中是离散的,并不会有聚点。但是如果我们把 \(\Phi^+\) 投影到超平面 \(V_1\) 上去,即对每个正根 \(\rho\),计算射线 \(\mathbb{R}_{>0}\rho\)\(V_1\) 的交点得到点 \(\hat{\rho}\) 5,并规定 \(\pm\rho\)\(V_1\) 上的投影点为 \(\hat{\rho}\),则奇妙的事情发生了,这些投影后的根 \(\hat{\Phi} = \{\hat{\rho}, \rho\in\Phi^+\}\) 是有聚点的,记 \(E(\Phi)\)\(\hat{\Phi}\) 的所有聚点组成的集合,\(E(\Phi)\) 即为 \(W\) 的极限根。则我们有如下定理:

定理 1: 所有的极限根都落在迷向锥上,即 \(E(\Phi)\subseteq Q\cap V_1\)

注意在三维双曲空间的情形,\(Q\cap V_1\) 就是 Klein-Beltrami 模型下的理想球面 (这个球面位于仿射平面 \(x_4=1\) 上),所以极限根都落在球面 \(S^3\) 上。

进一步 Hohlweg 等人证明了在 \(W\) 是 Lorentzian 群的情形,极限根 \(E(\Phi)\)\(\Lambda(W)\) 是相等的:

定理 2: 若 \(W\) 是 Lorentzian 群,即其几何表示对应的双线性型的符号为 \((n, 1)\),则 \(E(\Phi) = \Lambda(W)\)

所以在 (3, 7, 3) 的情形,它既是一个 Kleinian 群,又是一个符号为 (3, 1) 的无限 Coxeter 群,所以图中的缝隙既可以理解为双曲动力系统的极限集,也可以理解为无限 Coxeter 群的根系在投影到某个超平面后的极限集。

前面的插图是怎么画出来的?

你可能想知道 Roice 是怎样画出这些漂亮的图形的,其实原理并不复杂。像 (3, 7, 3) 这种双曲反射群一律可以由四个关于球面的反演变换生成,只要把图像的每个像素对应到空间中的一点,然后将该点关于这四个球面反复作反演变换,如果经过一定次数的反演后该点落入基本区域,则根据反射的次数和最终得到的点的位置给最初的像素染色;否则就将该像素标记为极限集。

Roice 的代码在这里,我正在考虑未来有时间用 C++ 把这个项目的精彩部分用 Coxeter 群的有限状态机的方法实现一遍。

彩蛋:一个 threejs 的动画演示

最后是一个 (3, 3, 7) 双曲蜂巢的极限集的动画演示,使用 three.js 制作,你可以点击这里查看。


  1. Visualizing Hyperbolic Honeycombs, Roice Nelson, Henry Segerman.

  2. Schläfli symbol on wikipedia.

  3. Asymptotical behaviour of roots of infinite Coxeter groups.

  4. On the Limit Set of Root Systems of Coxeter Groups acting on Lorentzian spaces.

  5. 这里需要证明每个正根 \(\rho\) 所在的方向确实与 \(V_1\) 有交点,见脚注 4 中的文献。