相亲问题与倒向归纳法

问题:假设你是一位大龄男士,准备参加 100 场相亲 (别介意具体数字)。你打算依次与每个女士 \(i\) 约会,然后根据印象给她打一个分数 \(X_i\)\(X_i\) 的值介于 \([0,1]\) 之间。如果你对女士 \(i\) 很满意,那么就和她结婚,否则就放弃她,参加下一场相亲,当然拒绝了人家可就没有回头的机会了。如果你拒绝了前 99 位女士,那么不论第 100 次相亲结果如何你都只能和最后这位女士结婚。在相亲之前,你对这些女士的情况一无所知,所以姑且假定她们的分数 \(X_i\) 都是 \([0,1]\) 上均匀分布的独立的随机变量。问题是:应该采取怎样的相亲策略,才能娶到你最中意的女士?

三质点—弹簧系统的简正模式

今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用:

问题:平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\),它们位于一个正三角形的三个顶点处。质点之间两两由一根弹簧相连,三个弹簧都是一样的,但是弹簧质量忽略不计。

初始时所有质点都处于静止状态,弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度,使这三个质点在平面内作刚体运动,不考虑任何摩擦力和空气阻力。那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么?

这里简正模式的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。

模式的等待时间与反直觉概率

著名概率学家 Feller 在他的名著 "An introduction to probability and its applications" 中提到了这样一个实验:

重复抛掷一枚均匀的硬币,用 H 代表正面向上,T 代表背面向上,一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 组成的模式记作 HHHHHH,所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量,最小值是 6,最大值可以是无限。Feller 问:等待时间的均值是多少?

这个问题可以用 Markov 链来解,但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文

A Martingale Approach to the Study of Occurrence of Sequence Patterns in Repeated Experiments.

中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法,本文就来介绍他的方法。

洛奇绵羊问题

我们的问题源自中世纪威尔士人的故事集 "Mabinogion" 中的一段:

一个男孩来到了一个美丽的山谷,有一条小河在谷中流淌。他看到河一边的草地上有一群黑绵羊,另一边的草地上有一群白绵羊。羊群被施以一种魔法:每个时刻都恰有一只绵羊发出咩咩的叫声。如果发出叫声的是白绵羊,就会有一只黑绵羊趟过小河跑过来并且变成白绵羊;如果发出叫声的是黑绵羊,则会有一只白绵羊趟过小河跑过去并且变成黑绵羊。每个时刻发出叫声的绵羊是完全随机的,整个过程没有绵羊出生或者死亡,一直持续到所有绵羊都变成同一种颜色为止。

问题是这样的:

问题:如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\),或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷,那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊,他应该采取怎样的策略?

飞船空间跳跃问题

本文的问题出自 Williams 的教材 "Probability with Martingales",虽然不算很难但是综合使用了许多知识,展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。

问题:一艘太空船正在宇宙中做星际航行时,飞船的控制系统出了故障,飞船不能正常地进行空间跳跃,而是只能预先设定一个距离,然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在的问题是飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\),发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R\),这里 \(R>r\)。在每个时刻,飞船能够知道自身与太阳系的距离。

求证:不论采用怎样的跳跃策略,飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\);但是对任何 \(\epsilon>0\),可以采取适当的策略,使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\),即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么?

Schur 多项式,Littlewood-Richardson rule 与 Hook 长度公式

在数学中有那么一些问题,它们的表述简单而初等,但是解决起来却非常困难,往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具,而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起,演绎出许多奇妙的故事来。

Young 表就是其中一个精彩的例子,组合数学,表示论,概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们先从两个有趣的问题开始:

问题 1\(n\) 位选民要在一次选举中依次走到投票箱前给 \(m\) 个候选人投票,每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\),这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\)\(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是:这 \(n\) 个选民有多少种不同的投票顺序,使得在投票过程中的任一时刻,对任何的 \(i<j\),第 \(i\) 位候选人的得票数总不少于第 \(j\) 位候选人的得票数?

问题 2:在一个体积为 \(a\times b\times c\) 的房间中堆箱子,堆放的方式要满足递降的条件:从墙角的那一摞开始,每一行从左到右,每一列从上到下,箱子的高度是弱递减的。问: 有多少种满足要求的方法?

这两个问题的表述很简单,但其实答案相当复杂,绝非一般的初等方法所能解决。对付它的最好方法是 Schur 多项式的理论,我接下来就来介绍它。

不可能的铺砌

依次将 \(1,2,\ldots,n\) 个全等的正六边形摞在一起,得到的图案记作 \(T_n\),下图是 \(n=7\) 的例子:

我们把连在一起的、对称中心在一条直线上的三个正六边形组成的图案叫做一块 "骨头",根据摆放的角度有三种不同的骨头:

我们的问题是:

问题:求证对任何 \(n\)\(T_n\) 都不可能用若干块骨头不重叠不遗漏地恰好铺砌。

中心单代数

本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告,目的是介绍中心单代数的三个最基本的结论:中心单代数对张量积运算是封闭的,Noether - Skolem 定理,双中心化子定理。写这篇文章时参考了不少代数学的教材,经过提炼整理得到了本文,希望我的表述做到了清楚易懂。

Jordan 标准形

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理,专门为它写一篇长文好像有点多余:这方面的教材讲义实在是太多了!一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢?

理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候,突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法,照念几个不在话下,但是感觉有点疙疙瘩瘩的:怎么才能说清定理背后的想法,让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢?于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的,而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形,这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。

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