模式的等待时间与反直觉概率

著名概率学家 Feller 在他的名著 "An introduction to probability and its applications" 中提到了这样一个实验:

重复抛掷一枚均匀的硬币,用 H 代表正面向上,T 代表背面向上,一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 组成的模式记作 HHHHHH,所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量,最小值是 6,最大值可以是无限。Feller 问:等待时间的均值是多少?

这个问题可以用 Markov 链来解,但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文

A Martingale Approach to the Study of Occurrence of Sequence Patterns in Repeated Experiments.

中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法,本文就来介绍他的方法。

洛奇绵羊问题

我们的问题源自中世纪威尔士人的故事集 "Mabinogion" 中的一段:

一个男孩来到了一个美丽的山谷,有一条小河在谷中流淌。他看到河一边的草地上有一群黑绵羊,另一边的草地上有一群白绵羊。羊群被施以一种魔法:每个时刻都恰有一只绵羊发出咩咩的叫声。如果发出叫声的是白绵羊,就会有一只黑绵羊趟过小河跑过来并且变成白绵羊;如果发出叫声的是黑绵羊,则会有一只白绵羊趟过小河跑过去并且变成黑绵羊。每个时刻发出叫声的绵羊是完全随机的,整个过程没有绵羊出生或者死亡,一直持续到所有绵羊都变成同一种颜色为止。

问题是这样的:

问题:如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\),或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷,那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊,他应该采取怎样的策略?

飞船空间跳跃问题

本文的问题出自 Williams 的教材 "Probability with Martingales",虽然不算很难但是综合使用了许多知识,展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。

问题:一艘太空船正在宇宙中做星际航行时,飞船的控制系统出了故障,飞船不能正常地进行空间跳跃,而是只能预先设定一个距离,然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在的问题是飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\),发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R\),这里 \(R>r\)。在每个时刻,飞船能够知道自身与太阳系的距离。

求证:不论采用怎样的跳跃策略,飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\);但是对任何 \(\epsilon>0\),可以采取适当的策略,使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\),即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么?

Schur 多项式,Littlewood-Richardson rule 与 Hook 长度公式

在数学中有那么一些问题,它们的表述简单而初等,但是解决起来却非常困难,往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具,而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起,演绎出许多奇妙的故事来。

Young 表就是其中一个精彩的例子,组合数学,表示论,概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们先从两个有趣的问题开始:

问题 1\(n\) 位选民要在一次选举中依次走到投票箱前给 \(m\) 个候选人投票,每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\),这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\)\(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是:这 \(n\) 个选民有多少种不同的投票顺序,使得在投票过程中的任一时刻,对任何的 \(i<j\),第 \(i\) 位候选人的得票数总不少于第 \(j\) 位候选人的得票数?

问题 2:在一个体积为 \(a\times b\times c\) 的房间中堆箱子,堆放的方式要满足递降的条件:从墙角的那一摞开始,每一行从左到右,每一列从上到下,箱子的高度是弱递减的。问: 有多少种满足要求的方法?

这两个问题的表述很简单,但其实答案相当复杂,绝非一般的初等方法所能解决。对付它的最好方法是 Schur 多项式的理论,我接下来就来介绍它。

不可能的铺砌

依次将 \(1,2,\ldots,n\) 个全等的正六边形摞在一起,得到的图案记作 \(T_n\),下图是 \(n=7\) 的例子:

我们把连在一起的、对称中心在一条直线上的三个正六边形组成的图案叫做一块 "骨头",根据摆放的角度有三种不同的骨头:

我们的问题是:

问题:求证对任何 \(n\)\(T_n\) 都不可能用若干块骨头不重叠不遗漏地恰好铺砌。

中心单代数

本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告,目的是介绍中心单代数的三个最基本的结论:中心单代数对张量积运算是封闭的,Noether - Skolem 定理,双中心化子定理。写这篇文章时参考了不少代数学的教材,经过提炼整理得到了本文,希望我的表述做到了清楚易懂。

Jordan 标准形

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理,专门为它写一篇长文好像有点多余:这方面的教材讲义实在是太多了!一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢?

理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候,突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法,照念几个不在话下,但是感觉有点疙疙瘩瘩的:怎么才能说清定理背后的想法,让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢?于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的,而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形,这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。

矩阵空间的子空间

在数学里面经常可以提出这样一些问题:它们叙述起来很简单,答案看起来也很显然,但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的 "入门课" 中也不缺少这样的问题:

设域 \(\mathbb{F}\) 上的所有 \(n\) 阶矩阵构成的向量空间为 \(\mathbb{M}_n(\mathbb{F})\)\(M\)\(\mathbb{M}_n(\mathbb{F})\) 的一个子空间。

  1. 如果 \(M\) 中的所有矩阵关于矩阵乘法两两可以交换,那么 \(M\) 的维数最大是多少?

  2. 如果 \(M\) 中的所有矩阵的秩都不超过 \(r\),这里 \(0<r<n\),那么 \(M\) 的维数最大是多少?

  3. 如果 \(M\) 中所有矩阵都是幂零的,即对任何 \(A\in M\),存在一个正整数 \(m\) 使得 \(A^m=0\),那么 \(M\) 的维数最大是多少?

  4. 如果 \(M\) 中所有非零矩阵都是可逆矩阵,那么 \(M\) 的维数最大是多少?

我是在几年前一个偶然的时刻自己想到了这几个问题,那个时候我已经本科毕业了,不是初学线性代数的新手了,但是苦思冥想了很久,结果一个也没做出来。我当时很惊讶,这么有趣而不平凡的问题居然在我身边潜伏了那么久而没有注意到。长久以来我们一直都是把各种习题集做的滚瓜烂熟,然后考试拿个高分就自以为学的很好了,很少自己去发现问题。我可以肯定的讲这几个问题在任何本科线性代数的教材中都没有提到,但是教材上不讲并不是我们无视它们的理由。于是我开始查阅资料,发现这四个问题的确是有难度的问题,要完全弄懂并不容易,但是这种探索本身就是一种令人难忘而愉悦的经历。

接下来将依次介绍前三个问题的解答,它们综合使用了各种各样的线性代数的技巧,这些技巧如果一步步拆开来,其实也很普通。总之这三个问题是对读者基本功的一次很好的检验。至于第四个问题嘛 ... 不会做很正常,会做才不正常。

棋盘的多米诺骨牌铺砌

前言

下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关:

一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘,用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌铺砌,有多少种不同的方法?

下图是其中一种 (图片来自 wiki 百科):

答案是 12988816,非常大的一个数字,绝对不是一个一个数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助于线性代数中的一个结论首先解决了这个问题,接下来就介绍他的方法。

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