朝花夕拾

轻飘飘的旧时光就这么溜走 转头回去看看时已匆匆数年

一道关于对称矩阵正负惯性指数的题目

2009-02-20


我在研究生期间给学弟学妹们当高等代数课助教时,除了改改作业,讲讲习题,还经常需要出一些有点巧妙但又不太复杂的题目,帮助他们理解所学的内容。某一次我出了这样一道题:

问题:我们知道如果 \(A\) 是一个对称矩阵,\(T\) 是一个可逆矩阵,则 \(B=T'AT\) 也是对称矩阵且与 \(A\) 有相同的正负惯性指数。如果 \(T\) 是不可逆矩阵呢?这时 \(A\)\(B\) 的正负惯性指数有怎样的关系?

当时班上无人能立刻给出答案。

其实这个题目不过是我把他们作业中的一道题改了改说法而已:

\(f(x_1,\cdots, x_n)=l_1^2+\cdots+l_p^2-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2\),其中每个 \(l_i\) 都是 \(x_1,\dots,x_n\) 的一次齐次式,证明 \(f(x_1,\cdots, x_n)\) 的正惯性指数 \(\leq p\),负惯性指数 \(\leq q\)

这个题目可以在

高等代数 (第三版),王萼芳、石生明著。高等教育出版社 2010。

这本书的二次型一章的习题中找到。题目已经给出了结论,即 \(B\) 的正负惯性指数均小于等于 \(A\) 的正负惯性指数。其证明方法与教材正文中合同矩阵保持正负惯性指数的证明类似,只不过采用教材中的叙述方式很啰嗦,掩盖了问题的本质,从线性变换的角度可以很容易说清楚。

\(f(x,x)\) 是向量空间 \(V\) 上的一个二次型,其在某一组基下的矩阵是 \(A\)\(T:V\rightarrow V\) 是一个线性变换,则二次型 \(g(x,x)=f(Tx,Tx)\) 在这组基下的矩阵就是 \(B=T'AT\)

此外设 \(f\) 的正负惯性指数为 \((p,q)\)\(g\) 的正负惯性指数为 \((p',q')\)

\(W\)\(f\) 的极大半正定子空间,即 \(f\)\(W\) 上是半正定的,且不存在子空间 \(W'\supsetneqq W\) 使得 \(f\)\(W'\) 上也是半正定的,于是 \[\dim W=n-q.\]

显然 \(W\)\(T\) 下的原像 \(T^{-1}W\) 就是二次型 \(g\) 的一个半正定子空间,从而 \[\dim T^{-1}W\leq n-q'.\] 由于变换后的像空间维数总是不超过原空间维数,所以 \[\dim W\leq \dim T^{-1}W.\] 综合这三个式子就得到 \[n-q=\dim W\leq \dim T^{-1}W \leq n-q',\]\(q'\leq q\)。类似的考虑极大半负定子空间可得 \(p'\leq p\)