朝花夕拾

轻飘飘的旧时光就这么溜走 转头回去看看时已匆匆数年

有限群的不可约实 / 复表示

2012-10-21


在数学中有许多 "三分天下" 的例子,比如说:

  1. 常曲率空间只有欧式、球面、双曲三种。
  2. 三类典型的偏微分方程:热方程 (抛物)、Laplace 方程 (椭圆)、波方程 (双曲)。
  3. 复平面上全纯等价下只有三种单连通区域: 单位圆 \(\mathbb{D}\)、复平面 \(\mathbb{C}\)、扩充复平面 \(\bar{\mathbb{C}}\)
  4. 不可约代数簇 (素理想) 在扩张下的三种行为:分解、惯性、分歧。
  5. 随机游动可以分为零常返、正常返、暂态。
  6. 三维空间中的正多面体 (Platonic solids) 只有三种可能的对称群:\(S_4\) (tetrahedron)、\(S_4\times\mathbb{Z}_2\) (cube, octahedron)、\(A_5\times\mathbb{Z}_2\) (dodecahedron, icosahedron)。
  7. 实数域上的有限维结合可除代数只有三种:实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、四元数 \(\mathbb{H}\)

本文要介绍的是另外两个 "三分天下" 的例子,它们来自群表示论,即有限群不可约复表示在实数域上的实现与不可约实表示在复数域上的分解,这两个例子是紧密相关的。


不可约复表示在实数域上的实现

\(G\) 是一个有限群,\(V\) 是一个不可约的 \(\mathbb{C}G\) - 模,其特征为 \(\chi\)\(V^\ast\)\(V\) 的对偶模。我们想知道这个表示是否能在实数域上实现?这里 "表示 \(V\) 可以在实数域上实现" 有三种等价的说法:

  1. 存在一个 \(\mathbb{R}G\) - 模 \(W\) 使得 \(V\cong \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}W\)
  2. 存在 \(V\) 的一组基使得 \(G\) 在这组基下的矩阵都是实矩阵。
  3. 存在一个 \(\mathbb{R}G\) - 模 \(W\)\(W\) 的特征也是 \(\chi\)

显然 \(V\) 可以在实数域上可以实现的一个必要条件是 \(\chi\) 是实特征 (即取值均为实数),但是这个条件是否也是充分的呢?

答案是否定的。最著名的反例就是四元数群 \(Q=\{\bf \pm1, \pm i,\pm j, \pm k\}\)\(Q\) 有四个不可约一维复表示,这四个一维复表示同时也是实表示 (除平凡表示外,一个一维表示把 \(\{\bf i,j,k\}\) 之一映射为 -1,其余两个映射为 +1)。此外 \(Q\) 在四元数体 \(\mathbb{H}\) 上的左乘给出其一个不可约 4 维实表示,因此我们有群代数分解 \[\mathbb{R}Q \cong 4\mathbb{R} \oplus \mathbb{H}.\] 另一方面 \(Q\) 有一个不可约的二维复表示,这个表示由 Pauli 矩阵给出: \[{\bf i}\to\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix},\quad {\bf j}\to\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad {\bf k}\to\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}.\] 这三个矩阵和恒等矩阵一起构成 \({\rm Mat}_2(\mathbb{C})\) 的一组基,因此有群代数分解 \[\mathbb{C}Q\cong4\mathbb{C}\oplus {\rm Mat}_2(\mathbb{C}).\] 我们看到 \(Q\) 没有二维不可约实表示,因此这个二维不可约复表示不能在实数域上实现。后面会看到 \(Q\) 的这个 4 维不可约实表示在复数域上分解为其二维不可约复表示的二重和。

那要使得一个不可约复表示可以在实数域上实现,它应该满足怎样的条件?下面就来讨论这个问题。

首先我们将论证 \(V\) 必然属于下面三种情形之一,且这三种情形是互斥的:

  1. 如果 \(V\ncong V^\ast\),就称 \(V\) 是复的 (complex type);
  2. 如果 \(V\cong V^\ast\)\(V\) 是某个不可约 \(\mathbb{R}G\) - 模 \(W\) 的复化:\(V\cong \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}W\),就称 \(V\) 是实的 (real type);
  3. 如果 \(V\cong V^\ast\)\(V\) 是某个不可约 \(\mathbb{H}G\) - 模在复数域上的限制,就称 \(V\) 是四元数的 (quaternion type)。

证明:先补充一个定义:

定义:设 \(V\) 是复数域上的有限维向量空间,若 \(J: V\to V\) 满足下面两个条件,就称 \(J\) 是一个共轭线性变换:

  1. 对任何 \(u,v\in V\)\(J(u+v)=J(u)+J(v)\)
  2. 对任何 \(c\in\mathbb{C}\)\(v\in V\)\(J(cv)=\bar{c}J(v)\)

于是共轭线性变换保持向量的加法,但是复数域的乘法变成了复共轭。

此外如果 \(J^2=1\) 就称 \(J\)\(V\) 上的一个实结构;若 \(J^2=-1\) 就称 \(J\)\(V\) 上的一个四元数结构,为什么这样称呼后面会解释。

此外对任意的 \(G\) - 模 \(M\),用 \(M^G\) 表示 \(G\)\(M\) 中的不动点组成的子模: \[M^G = \{m\in M\ |\ gm=m,\ \forall g\in G \}.\]

回到结论的证明。考虑表示 \(V^\ast\otimes V^\ast\),作为向量空间它等同于 \(V\) 上的全体双线性函数组成的空间 \(\mathrm{Bil}(V)\),此表示总是可以分解为两个子表示的和: \[V^\ast\otimes V^\ast=\mathrm{Sym}^2(V^\ast)\oplus\mathrm{Alt}^2(V^\ast).\] 其中 \(\mathrm{Sym}^2(V^\ast)\) 是二阶对称张量组成的空间,\(\mathrm{Alt}^2(V^\ast)\) 是二阶反对称张量组成的空间。特别地 \[(V^\ast\otimes V^\ast)^G=(\mathrm{Sym}^2(V^\ast))^G\oplus(\mathrm{Alt}^2(V^\ast))^G,\] 即任何 \(G\) - 不变双线性型总可以表示为一个 \(G\) - 不变的对称双线性型和一个 \(G\) - 不变的反对称双线性型的和。

我们有 \(\mathbb{C}G\) - 模同构 \[V^\ast\otimes V^\ast\cong\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(V, V^\ast).\] 于是 \[(V^\ast\otimes V^\ast)^G\cong\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(V, V^\ast)^G=\mathrm{Hom}_{\mathbb{CG}}(V, V^\ast).\]

如果 \(V\) 是复的,即 \(V\ncong V^\ast\),则 \(\dim_{\mathbb{C}}(V^\ast\otimes V^\ast)^G=0\),即 \(V\) 上不存在非零的 \(G\) - 不变双线性型。

如果 \(V\) 不是复的,则 \(V\cong V^\ast\) 以及 \[(V^\ast\otimes V^\ast)^G\cong\mathrm{Hom}_{\mathbb{CG}}(V, V^\ast)\cong\mathbb{C}.\]\(\dim_{\mathbb{C}}(V^\ast\otimes V^\ast)^G=1\),换句话说,\(V\) 上的 \(G\) - 不变双线性型组成的空间是一维的,可以由一个非零双线性型 \(B\) 生成,且 \(B\) 要么是对称的,要么是反对称的。

\(\langle\,,\,\rangle\)\(V\) 上的任一 \(G\) - 不变的正定 Hermite 内积,则 \(B\) 可以写成 \[B(u, v) = \langle u, Jv\rangle.\] 其中 \(J:V\to V\) 是一个可逆共轭线性变换。由于 \(B\)\(G\) - 不变的,因此 \(J\) 必然与 \(G\) 的作用交换。

由于共轭线性变换的平方是线性的,所以 \(J^2\) 是线性的且与 \(G\) 的作用交换,由 Schur 引理存在 \(c\in\mathbb{C}\) 使得 \(J^2=c\)\(c\ne0\),我们来说明必有 \(c>0\) 或者 \(c<0\)

如果 \(B\) 是对称的,则 \(B(u,v)=B(v,u)\),即 \(\langle u, Jv\rangle= \langle v, Ju\rangle\),将 \(v=Ju\) 带入得到 \[\langle u, J^2u\rangle=\langle Ju, Ju\rangle\geq0.\]\(\langle u, cu\rangle=c\langle u, u\rangle\geq 0\),从而 \(c>0\)

类似地当 \(B\) 是反对称双线性型时可得 \(c<0\)

总之适当放缩以后我们可以得到一个共轭线性变换 \(J^2=\pm1\),其中 \(+1\) 对应 \(B\) 对称的情形,\(-1\) 对应 \(B\) 反对称的情形。

  1. 如果 \(J^2=1\),则 \(J\)\(V\) 上的一个实结构:考虑 \[W = \{v\in V:\ Jv = v\},\]\(W\)\(iW\) 都是实向量空间且 \(V=W\oplus iW\),此外由于 \(G\) 的作用与 \(J\) 交换 \(W\) 是一个 \(\mathbb{R}G\) - 模,从而 \(V\)\(W\) 的复化:\(V\cong\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}} W\),表示 \(V\) 是实的。

  2. 如果 \(J^2=-1\),则 \(J\)\(V\) 上的一个四元数结构:对任一四元数 \(q=z_1+z_2j\),其中 \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\),定义 \(q\)\(V\) 上的乘法为 \[qv = z_1+z_2J(v).\] 容易验证在这个乘法下 \(V\) 成为四元数体 \(\mathbb{H}\) 上的向量空间且 \(G\) 的作用与 \(\mathbb{H}\) 的乘法交换,因此定义了 \(G\) 的一个四元数表示 \(V_\mathbb{H}\),将此表示限制在复数域上即为表示 \(V\),从而表示 \(V\) 是四元数的。

注意 1, 2 两点是互斥的,\(V\) 上不可能同时存在一个实结构 \(J_1\) 和一个四元数结构 \(J_2\),否则 \(V\) 上将同时存在一个对称双线性型和一个反对称双线性型。

总之我们证明了表示 \(V\) 必然恰好属于实、复、四元数三种类型之一,其中只有实类型可以在实数域上实现。而且由上面的分析不难得出下面的推论:

推论

  1. \(V\) 是复的当且仅当 \(V\) 上不存在任何非零的 \(G\) - 不变双线性型。
  2. \(V\) 是实的当且仅当 \(V\) 上存在一个非零的 \(G\) - 不变对称双线性型。
  3. \(V\) 是四元数的当且仅当 \(V\) 上存在一个非零的 \(G\) - 不变反对称双线性型。

这三种情形分别对应 \(\dim_{\mathbb{C}}(\mathrm{Sym}^2(V^\ast))^G-\dim_{\mathbb{C}}(\mathrm{Alt}^2(V^\ast))^G\) 的值是 0, +1 和 -1,而 \[\begin{align*}&\dim_{\mathbb{C}}(\mathrm{Sym}^2(V^\ast))^G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{\rm sym}(g)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{2}(\chi^2(g)+\chi(g^2)),\\&\dim_{\mathbb{C}}(\mathrm{Alt}^2(V^\ast))^G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{\rm alt}(g)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{2}(\chi^2(g)-\chi(g^2)).\end{align*}\] 其中 \(\chi_{\rm sym}\)\(\chi_{\rm alt}\) 分别是表示 \(\mathrm{Sym}^2(V^\ast)\)\(\mathrm{Alt}^2(V^\ast)\) 的特征。因此 \[\dim_{\mathbb{C}}(\mathrm{Sym}^2(V^\ast))^G-\dim_{\mathbb{C}}(\mathrm{Alt}^2(V^\ast))^G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g^2).\]

\(F(\chi)=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\chi(g^2)\) 叫做 \(\chi\) 的 Frobenius - Schur 指标,于是我们有

Frobenius-Schur 指标定理

  1. \(V\) 是复的当且仅当 \(F(\chi)=0\)
  2. \(V\) 是实的当且仅当 \(F(\chi)=1\)
  3. \(V\) 是四元数的当且仅当 \(F(\chi)=-1\)

至此我们用三种不同的方式描述了不可约复表示的实现中的 "三分天下" 的现象。


不可约实表示在复数域上的分解

仍然设 \(G\) 是一个有限群,\(W\) 是一个不可约的 \(\mathbb{R}G\) - 模,那么将 \(W\) 看成复数域上的表示的话,\(W\) 会怎样分解为不可约复表示的和?这等价于分析复表示 \(V=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}W\) 的分解情况。而我们知道 \(\mathbb{C}G\) - 模 \(V\) 的分解可以直接从它的 \(G\) - 模自同态 \(\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V)\) 看出来:若 \[V = n_1V_1\oplus n_2V_2\oplus\cdots\oplus n_rV_r,\] 其中 \(\{V_i,1\leq i\leq r\}\) 是互不同构的 \(\mathbb{C}G\) - 模,则 \[\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V) = \mathrm{Mat}_{n_1}(\mathbb{C})\times \mathrm{Mat}_{n_2}(\mathbb{C})\times\cdots\times\mathrm{Mat}_{n_r}(\mathbb{C}).\] 所以我们只要分析 \(\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V)\) 的结构即可。然而 \[\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V)=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathrm{End}_{\mathbb{R}G}(W)=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} D.\] 其中 \(D=\mathrm{End}_{\mathbb{R}G}(W)\) 是实数域上的可除代数 (因为 \(W\) 是不可约的 \(\mathbb{R}G\) - 模,所以根据 Schur 引理其 \(G\) - 模自同态环是一个可除代数),从而 \(D=\mathbb{R}, \mathbb{C},\mathbb{H}\) 之一。

  1. 如果 \(D=\mathbb{R}\),则有 \(\mathbb{C}\) 代数同构 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{R}\cong\mathbb{C}\),因此 \(V\) 的分解为 \(V=V_1\),即 \(V\) 仍然是不可约的。
  2. 如果 \(D=\mathbb{C}\),则有 \(\mathbb{C}\) 代数同构 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}\) 1,因此 \(V\) 的分解为 \(V=V_1\oplus V_2\),即 \(V\) 是两个不同构的不可约模的直和。注意 \(V\) 的特征仍然是 \(\chi\),这是个实特征,所以表示 \(V_1\)\(V_2\) 是共轭的,即 \(V_2=\overline{V_1}\)
  3. 如果 \(D=\mathbb{H}\),则有 \(\mathbb{C}\) 代数同构 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{H}\cong\mathrm{Mat}_2(\mathbb{C})\) 2,因此 \(V\) 的分解为 \(V=2V_1\),即 \(V\) 是某个不可约模的二重和。

总结起来就是

不可约 \(\mathbb{R}G\) - 模 \(W\) 在复数域上的分解由其自同态环 \(D=\mathrm{End}_{\mathbb{R}G}(W)\) 完全决定:

  1. \(D=\mathbb{R}\)\(W\) 在复数域上仍然是不可约的;
  2. \(D=\mathbb{C}\)\(W\) 在复数域上分解为一对共轭的不可约表示的直和;
  3. \(D=\mathbb{H}\)\(W\) 在复数域上分解为某个不可约表示的二重和。

  1. 一个同构由 \(z_1\otimes z_2\to (z_1z_2, z_1\bar{z_2})\) 给出。首先此映射是一个 \(\mathbb{C}\) - 代数同态,其中 \(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\)\(c\in\mathbb{C}\) 的乘法定义为 \(c(z\otimes w)= (cz)\otimes w\)。此同态是满射,因为 \(\frac{1}{2}(1\otimes1+ i\otimes i)\) 被映射为 \((1,0)\)\(\frac{1}{2}(1\otimes1 - i\otimes i)\) 被映射为 \((0, 1)\)。此外由于两边维数相同所以是一个同构。

  2. 有一个一般性结论:设 \(D\) 是域 \(F\) 上的有限维可除代数且 \(D\) 的中心为 \(F\)\(K\)\(D\) 的极大子域,\(n=[D:K]\)。则我们有 \(K-\) 代数同构 \(K\otimes_F D\cong\mathrm{Mat}_n(K)\)。将此结论应用于 \(D=\mathbb{H}\)\(F=\mathbb{R}\)\(K=\mathbb{C}\) 即可。