轻飘飘的旧时光就这么溜走 转头回去看看时已匆匆数年

模任何素数都可约的整系数不可约多项式

赵亮 / 2017-03-02


几年前在知乎上有这么一个问题

问题:有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式,它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的,而对任意素数 \(p\),模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的?

当时我给了回答,后来账号注销了,答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里:


我所知道的有两大类多项式:

第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式,它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数,乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式,但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。

第二类来自分圆多项式,分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式,其次数为 \(\phi(n)\),这里 \(\phi(\cdot)\) 是 Euler totient 函数。绝大多数分圆多项式模任何素数 \(p\) 都是可约的!实际上我们有如下结论:

定理:分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 模任何素数 \(p\) 都可约当且仅当 \(n\ne1,2,p,2p^k\),其中 \(p\) 是奇素数,\(k\) 是正整数。

你可以看到知乎那个问题下的回答中举的例子都是最简单的 Swinnerdon-Dyer 多项式或者分圆多项式的例子。

我知道这个结论还是研究生时上夏壁灿老师的符号计算课程,讲到分解整系数多项式的 Zassenhaus 算法,这两类多项式被用来分析算法的最差复杂度。我还在校园书摊上淘到了一本破损的 "Modern Computer Algebra":

在其中 15.3 节 "Frobenius' and Chebotarev's density theorems" 一节中有介绍。

这两类多项式属于比较容易分析的,还有别的例子吗?也是有的,这篇文章给出了更多不那么显然的构造。