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三质点 - 弹簧系统的简正模式

赵亮 / 2011-08-22


今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用:

问题:平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\),它们位于一个正三角形的三个顶点处。质点之间两两由一根弹簧相连,三个弹簧都是一样的,但是弹簧质量忽略不计。 初始时所有质点都处于静止状态,弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度,使这三个质点在平面内作刚体运动,不考虑任何摩擦力和空气阻力。那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么?

这里简正模式的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。

比较容易发现的简正模式有:

  1. 平移。初始时给所有质点以同样的速度,则它们会继续以相同的速度移动。

  2. 旋转。初始时给所有质点以相同的切向速度,则它们会继续绕中心旋转。

  3. "呼吸"。初始时给每个质点相同的径向速度,则整个三角形会重复膨胀—收缩的过程。

但是要找出其它的简正模式,并保证没有遗漏,就不能只靠想象了。

我们首先把这个物理问题转换为一个线性代数问题,然后用一些简单的群表示论知识解决它。

这个三质点—弹簧组成的系统在任一时刻的状态可以由 6 个物理量 \(q_1\sim q_6\) 来刻画:\((q_1,q_2)\) 分别表示质点 \(A\)\(x,y\) 方向上相对于其平衡位置的位移,\((q_3,q_4)\)\((q_5,q_6)\) 的含义类似。

设弹簧的弹性系数为 \(k\),原点在三角形中心,\(x\) 轴水平向右,于是三个弹簧所含的弹性势能为 (投影到弹簧所在的方向) \[\begin{align*}V=&\frac{1}{2}k(q_3-q_1)^2+\frac{1}{2}k\left[\frac{-1}{2}(q_5-q_3) + \frac{\sqrt{3}}{2}(q_6-q_4)\right]^2+\\&\frac{1}{2}k\left[\frac{1}{2}(q_1-q_5) + \frac{\sqrt{3}}{2}(q_2-q_6)\right]^2.\end{align*}\] 这实际上是一个关于 \(\mathbf{q}=(q_1,q_2,\ldots,q_6)^T\in\mathbb{R}^6\) 的二次型: \[V =\frac{1}{2}k\,\mathbf{q}^TU\mathbf{q}.\] 其中 \[U=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}5&\sqrt{3}&-4&0&-1&-\sqrt{3}\\ \sqrt{3}&3&0&0&-\sqrt{3}&3\\ -4&0&5&-\sqrt{3}&-1&\sqrt{3}\\ 0&0&-\sqrt{3}&3&\sqrt{3}&-3\\ -1&-\sqrt{3}&-1&\sqrt{3}&2&0\\ -\sqrt{3}&-3&\sqrt{3}&-3&0&6 \end{pmatrix}.\]

由牛顿第二定律我们有

\[m\frac{\mathrm{d}^2q_i}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{\partial V}{\partial q_i}=-k\sum_{j=1}^6U_{ij}q_j.\]

系统的简正模式就是所有坐标按照同一个频率作简谐振动变化,故而可以设 \(q_i=\overline{q}_i\mathrm{e}^{i\omega t}\),其中 \(\overline{q}_i\) 是与时间 \(t\) 无关的常数。代入上式得到 \[\frac{m\omega^2}{k}\overline{q}_i = \sum_{j=1}^6U_{ij}\overline{q}_j,\]\(U\overline{\mathbf{q}}=\lambda\overline{\mathbf{q}}\)\(\lambda=m\omega^2/k\),于是简正模式对应的向量 \(\overline{\mathbf{q}}=(\overline{q}_1,\overline{q}_2,\ldots,\overline{q}_6)\) 必然是 \(U\) 的特征向量,从而问题转化为求矩阵 \(U\) 的特征值和特征向量。由于 \(U\) 是一个对称矩阵所以是可对角化的,从而其存在 \(6\) 个线性无关的特征向量。

你当然可以直接硬算,但是手动求一个 6 阶矩阵的特征值还是一件挺麻烦的事情,鉴于搞数学的人一般比较懒,我们可以换个思路想一想。

注意到这个系统具有对称性,其对称群是 \(S_3\)\(S_3\) 这个群很特殊,一方面它是三元集合 \(\{1,2,3\}\) 上的置换群,另一方面它是平面上正三角形的对称群 \(D_3\)\(S_3\) 在这个系统上有一个自然的作用,它在置换顶点的同时也变换顶点的 \((x,y)\) 坐标,这两种表示合起来给出了 \(S_3\) 在状态空间 \(\mathbb{R}^6\) 上的作用。

回忆 \(S_3\) 的一个表现为

\[D_3=\{a,b\, |\, a^2=b^3=(ab)^2=1\}.\]

当作为置换群时,\(a=(12)\) 是对换,\(b=(123)\) 是轮换。当作为三角形的对称群时,\(a=\left(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) 是关于 \(y\) 轴的对称,\(b=\left(\begin{smallmatrix}\cos2\pi/3&-\sin2\pi/3\\\sin2\pi/3&\cos2\pi/3\end{smallmatrix}\right)\) 是关于三角形中心的角度为 \(2\pi/3\) 的逆时针旋转。

\(S_3\) 在系统状态上的作用由如下方式定义:我们把系统状态 \(\mathbf{q}\) 所在的空间 \(\mathbb{R}^6\) 看做是 \(\mathbb{R}^3\)\(\mathbb{R}^2\) 的张量积 \(\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^2\)\(S_3\)\(\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^2\) 上的表示就是其在 \(\mathbb{R}^3\) 上的表示 (三元坐标的置换) 和在 \(\mathbb{R}^2\) 上的表示 (正三角形的对称群) 的张量积。

我们把这个张量积表示记作 \(\rho\),其特征记作 \(\chi\),记 \[R=\begin{pmatrix}\frac{\cos2\pi}{3}&-\frac{\sin2\pi}{3}\\\frac{\sin2\pi}{3}&\frac{\cos2\pi}{3}\end{pmatrix},\quad S=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]

下面列出了 \(S_3\) 的各个元素在 \(\rho\) 下对应的矩阵:

\[ \begin{align*} \rho(e)&=I_3\otimes I_2=\begin{pmatrix}I_2&0&0\\0&I_2&0\\0&0&I_2\end{pmatrix},\\ \rho(a)&=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\otimes S=\begin{pmatrix}0&S&0\\S&0&0\\0&0&S\end{pmatrix},\\ \rho(b)&=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\otimes R=\begin{pmatrix}0&R&0\\0&0&R\\R&0&0\end{pmatrix},\\ \rho(b^2)&=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\otimes R^2=\begin{pmatrix}0&0&R^2\\R^2&0&0\\0&R^2&0\end{pmatrix},\\ \rho(ab)&=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\otimes SR=\begin{pmatrix}0&0&SR\\0&SR&0\\SR&0&0\end{pmatrix},\\ \rho(ab^2)&=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\otimes SR^2=\begin{pmatrix}SR^2&0&0\\0&0&SR^2\\0&SR^2&0\end{pmatrix}. \end{align*} \]

一个比较直观的事实是 \(\rho\) 保持系统的势能不变,即对任何状态 \(\mathbf{q}\)\(V(\rho(g)\mathbf{q})=V(\mathbf{q})\),即 \(\rho(g)U=U\rho(g)\) (不放心的话可以对 \(a,b\) 验证即可),所以 \(U\) 是表示 \(\rho\) 的一个自同态。

容易验证 \(\chi(e)=6\)\(\chi(g)=0, \forall g\ne e\),于是 \(\rho\) 同构于 \(S_3\) 的正则表示,从而可以分解为两个一次表示和两个二次不可约表示的和: \[\chi = \chi_1 + \chi_2 + 2\chi_3.\] 其中 \(\chi_1\) 是平凡表示的特征,\(\chi_2\) 是符号表示的特征,这两个特征都是一次的。\(\chi_3\)\(S_3\) 作为二面体群的二维不可约表示的特征。

那么表示 \(\rho\)\(U\) 的特征值有何关系呢?

注意由于 \(U\)\(\rho\) 的自同态所以 \(\rho\) 保持 \(U\) 的任何特征子空间不变,从而 \(\rho\) 的任何不可约子模都是 \(U\) 的特征子空间,于是 \(U\) 的特征子空间分解形如 \[\mathbb{R}^6=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus V_{\lambda_3}\oplus V_{\lambda_4}.\] 其中每个 \(V_{\lambda_i}\)\(U\) 的特征值为 \(\lambda_i\) 的特征子空间,同时也是表示 \(\rho\) 的不可约子模,并且 \(\dim V_{\lambda_1}=\dim V_{\lambda_2}=1\)\(\dim V_{\lambda_3}=\dim V_{\lambda_4}=2\)。这里可能有些 \(\lambda_i\) 是相同的。

选择 \(U\) 的特征向量为一组基,在这组基下 \(U\) 是对角矩阵,形如 \[U=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0&0\\0&\lambda_2&0&0\\0&0&\lambda_3I_2&0\\0&0&0&\lambda_4I_2\end{pmatrix}.\] 每个 \(\rho(g)\) 在这组基下形如 \[\rho(g)=\begin{pmatrix}D_1&0&0&0\\0&D_2&0&0\\0&0&D_3&0\\0&0&0&D_4\end{pmatrix}.\]

我们来计算 \(\rho(g)U\) 对不同 \(g\in S_3\) 的迹。首先 \[\mathrm{tr}\rho(g)U=\mathrm{tr}\begin{pmatrix}\lambda_1D_1&0&0&0\\0&\lambda_2D_2&0&0\\0&0&\lambda_3D_3&0\\0&0&0&\lambda_4D_4\end{pmatrix}=\sum_{i=1}^4\lambda_i\chi_i(g). \]

将不同的 \(g\in S_3\) 代入得到 \[ \begin{align*} \mathrm{tr}\rho(e)U&=\mathrm{tr}U=\frac{1}{4}(5+3+5+3+2+6)=6,\\ \mathrm{tr}\rho(a)U&=\mathrm{tr}\begin{pmatrix}0&S&0\\S&0&0\\0&0&S\end{pmatrix}\frac{1}{4}\begin{pmatrix}5&\sqrt{3}&-4&0&-1&-\sqrt{3}\\ \sqrt{3}&3&0&0&-\sqrt{3}&3\\ -4&0&5&-\sqrt{3}&-1&\sqrt{3}\\ 0&0&-\sqrt{3}&3&\sqrt{3}&-3\\ -1&-\sqrt{3}&-1&\sqrt{3}&2&0\\ -\sqrt{3}&-3&\sqrt{3}&-3&0&6 \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{4}(4+0+4+0-2+6)=3,\\ \mathrm{tr}\rho(b)U&=\mathrm{tr}\begin{pmatrix}0&R&0\\0&0&R\\R&0&0\end{pmatrix}\frac{1}{4}\begin{pmatrix}5&\sqrt{3}&-4&0&-1&-\sqrt{3}\\ \sqrt{3}&3&0&0&-\sqrt{3}&3\\ -4&0&5&-\sqrt{3}&-1&\sqrt{3}\\ 0&0&-\sqrt{3}&3&\sqrt{3}&-3\\ -1&-\sqrt{3}&-1&\sqrt{3}&2&0\\ -\sqrt{3}&-3&\sqrt{3}&-3&0&6 \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{4}(2+0-1+3+2+0)=\frac{3}{2}. \end{align*} \] 于是我们得到一组方程 \[ \begin{align*} 6&=\lambda_1+\lambda_2+2(\lambda_3+\lambda_4),\\ 3&=\lambda_1-\lambda_2,\\ 3/2&=\lambda_1+\lambda_2-(\lambda_3+\lambda_4). \end{align*} \] 于是 \(\lambda_1=3\)\(\lambda_2=0\)\(\lambda_3+\lambda_4=3/2\)

现在还缺一个方程!你可以用 \(\mathrm{tr}U^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+2(\lambda_3^2+\lambda_4^2)\) 来做,但这需要计算 \(U\) 中所有元素的平方和。可以用物理直观:我们已经看到平移和旋转是两种简正模式,这两种模式下质点的振动频率是 0,而平移包含了 \(x\) 轴和 \(y\) 轴两个线性无关的方向上的平移,所以 0 作为 \(U\) 的特征值至少是三重的。我们已经解得 \(\lambda_2=0\) 是一个,所以 \(\lambda_3\)\(\lambda_4\) 中必然还有一个是 0,不妨设 \(\lambda_3=0\),则 \(\lambda_4=3/2\)。(严格的话可以论证 \(U\) 的秩是 2,从而齐次线性方程组 \(UX=0\) 有三个线性无关解)

总结起来就是:

\(S_3\) 在系统状态空间 \(\mathbb{R}^6=\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^2\) 上的表示 \(\rho\) 可以分解为平凡表示、符号表示和二维不可约表示的二重和,其中

  1. \(S_3\) 的平凡表示对应的简正模式是呼吸,其频率为 \(\omega=\sqrt{\dfrac{3k}{m}}\)

  1. \(S_3\) 的符号表示对应的简正模式是旋转,这是一个刚体运动,其频率 \(\omega=0\)

  1. 第一个二维不可约表示包含了两种简正模式,它们是沿着 \(x\) 方向和 \(y\) 方向的平移:

    这两种都是刚体运动,其频率 \(\omega=0\)

  2. 第二个二维不可约表示也包含了两种简正模式,它们分别是两个不同方向上的 "鼓掌":

    另一种可以由上面的旋转 \(2\pi/3\) 后得到。这两个简正模式的频率都是 \(\omega=\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}\)

至此我们就求出了系统的全部简正模式。