遛狗中的数学:曲线的环绕数、Rouché 定理和开映射定理

我写了一个 Shadertoy 小动画,演示 Needham 的《Visual complex analysis》一书中第七章 "Winding numbers and topology" 中的结论:

一个人和他的狗在公园里绕着一棵树散步,人和狗各自走的路径都是闭曲线,即经过一段时间后都会回到起点。如果人把狗绳抓的紧一些,使得整个过程中狗无法接触到树,则结束后人和狗绕着树走的圈数是一样的,这就是下面这个动画演示的:(树的位置是原点,用一个表盘标记)

对应的数学结论是:两条闭曲线 \(\gamma_1,\gamma_2\) 如果都不经过原点,且 \(\gamma_1\) 可以在不碰触到原点的前提下通过连续的形变变为 \(\gamma_2\) (同伦),则 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点的环绕数相等。

其实动画中还包含了幅角原理:动画中左下角的圆周是单位圆 \(S^1:\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\),动画右边的两条路径分别是 \(S^1\) 在两个解析函数 \(f,g\) 下的像,这里的 \(f\) 我取的形如 \[f(z) =\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}\frac{z-c}{1-\overline{c}z} (z-2-2i),\quad a,b,c\in\mathbb{D}.\] 于是 \(f(z)\) 在单位圆 \(\mathbb{D}:\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}\) 的内部有 3 个根 (我用红点标出来了),在边界 \(S^1\) 上不为 0,在单位圆外部有一个根 (图中没有画)。\(f(z)\) 的前三个因子构成一个 Blaschke 乘积,这是一个多对一的映射,它把圆盘 \(\mathbb{D}\) 的内部仍然映射为内部,把边界 \(S^1\) 仍然映射为 \(S^1\),于是对任何 \(z\in S^1\)\[|f(z)| = |z - 2 - 2i| \geq 2\sqrt{2} - 1,\quad z\in S^1.\] 所以如果绳子 \(l(z)\) 满足 \(|l(S^1)| < 2\sqrt{2}-1\),则狗走的路径 \(g(S^1)=f(S^1)+l(S^1)\) 就不可能接触到原点。我这里取了 \(l(z) = cz\),其中 \(c\) 是一个小于 \(2\sqrt{2}-1\) 的正实数。

根据幅角原理\(f(S^1)\)\(g(S^1)\) 关于原点的环绕数等于它们在 \(\mathbb{D}\) 内的零点个数,于是我们知道 \(g(z)\) 也必然在 \(\mathbb{D}\) 内有三个零点。这就是 Rouché 定理的结论。

Rouché 定理说的是两条曲线关于一个点的环绕数相等的结论。它可以稍微改动一下变成一条曲线关于两个点的环绕数:

\(\gamma\) 是一条简单闭曲线,内部围的区域为 \(\Omega\)\(f(z)\) 是一个非常数的解析函数。假设有两棵树分别位于 \(w_0,\,w_1\) 两点,且人行走的路线 \(f(\gamma)\)\(w_0\) 的距离始终大于两棵树之间的距离:即对任何 \(z\in\gamma\)\(|f(z)-w_0| > |w_0-w_1|\) 成立,则 \(f(\gamma)\) 关于 \(w_0,w_1\) 的环绕数相等,从而 \(w_0,w_1\)\(\gamma\) 内部的原像个数相同:\(\sharp\{z\in \Omega: f(z)=w_0\} = \sharp\{z\in \Omega: f(z)=w_1\}\)

这是因为将 \(f(\gamma)\)\(w_1\) 同时平移 \(w_0-w_1\) 不改变环绕数,所以 \(g(\gamma)=f(\gamma)+(w_0-w_1)\) 关于 \(w_0\) 的环绕数等于 \(f(\gamma)\) 关于 \(w_1\) 的环绕数。而已知绳子的长度 \(|w_0-w_1|\) 小于 \(f(z)\)\(w_0\) 的距离,所以 \(g(\gamma)\)\(f(\gamma)\) 关于 \(w_0\) 有相同的环绕数,从而它们在 \(\Omega\) 内关于 \(w_0\) 的原像个数相同,此即为所证。

由此我们不难得出复分析中的开映射定理

定理:如果 \(U\subseteq\mathbb{C}\) 是开集,\(f:U\to\mathbb{C}\)非常数的解析函数,则 \(f(U)\) 也是开集。

我把这个证明留给你 (欢迎在评论区写出你的答案)。

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