Coxeter 群基础知识 （一）：反射
我之前写过两个和双曲空间中的万花筒有关的程序：
这两个程序涉及的数学知识比较复杂，在项目文档里根本没法说清楚，所以我这里开了一个系列，计划分四篇，完整介绍它们涉及的数学内容：
- 两个反射生成的 Coxeter 群。
- 一般 Coxeter 群的几何实现。
- 双曲 Coxeter 群与圆堆。
- Coxeter 群的极小根与正则语言。
本文是这个系列的第一篇，介绍两个反射生成的 Coxeter 群的结构，直白点就是两个反射镜面得到的万花筒的结构。这是最简单的 Coxeter 群的例子，许多对一般 Coxeter 群成立的重要性质在这种情形也可以看得非常清楚。本文的风格是受到了 Casselman 的影响，他的讲义中对两个反射的情形进行了挖地三尺般的讨论。我开始念的时候很不适应，心想两个反射放在一起能复杂到哪里去呢？后来才认识到，熟悉这种情形对后面的理解大有助益。特别是 \(n_{s,t}>4\) 的情形对应的是两个双曲空间中超平行的镜面，关于它们的镜面反射是两个反演变换。如果只把对万花筒的认识停留在生活中见到的万花筒的样子的话，是难以领会许多定理的含义的。
在本文中，需要始终抓住的一条主线是同时注意发生在 \(V\) 和 \(V^\ast\) 上的两个现象：
- 在 \(V\) 上群在 Tits 锥上是如何作用的。
- 在 \(V^\ast\) 上根系 \(\Phi\in V^\ast\) 的结构。
单个反射
我们先从反射变换的定义说起。在本文中，\(V\) 始终表示一个有限维实向量空间，\(V^\ast\) 是其对偶空间。
设 \(\alpha\in V^\ast\) 是一个线性泛函，对 \(v\in V\)，我们用双线性对 \(\langle \,,\,\rangle\) 来表示 \(\alpha(v)=\langle \alpha,\,v\rangle\)。这种记号有个明显的好处是它关于两个分量都是线性的，而且由于 \(V\) 和 \(V^\ast\) 互为对偶空间所以还是对称的，即 \(\alpha\) 和 \(v\) 在括号中的顺序并不重要。
设 \(\alpha^\vee\in V\) 使得 \(\langle \alpha,\,\alpha^\vee\rangle=2\)，\(V\) 上的线性变换 \[s(v) = v - \langle \alpha,\,v\rangle\alpha^\vee,\quad v\in V.\] 满足如下性质：
- \(s\) 保持 \(n-1\) 维的超平面 \(\alpha=0\) 不变；
- \(s\) 将非零向量 \(\alpha^\vee\) 映射为 \(-\alpha^\vee\)；
- \(s^2=1\)。（这一点可以由 1, 2 推出）
我们称 \(s\) 是一个反射变换。
为了方便，本文也用记号 \(s_{\alpha,\alpha^\vee}\) 来表示反射 \(s\)。注意到给 \(\alpha,\alpha^\vee\) 分别乘以非零实数 \(\lambda,\lambda^{-1}\) 保持 \(s\) 不变。
对任何 \(g\in\mathrm{GL}(V)\)，定义 \(g\) 在 \(V^\ast\) 上的作用为 \[\langle gf,\,v\rangle = \langle f,\,g^{-1}v\rangle,\quad f\in V^\ast, v\in V.\] 这样定义的目的是让 \(g\) 保持双线性对 \(\langle \,,\,\rangle\) 不变： \[\langle gf,\,gv\rangle = \langle f,\,v\rangle.\]
于是 \(V\) 上的反射 \(s\) 也成为 \(V^\ast\) 上的反射 \[\langle sf,\,v\rangle = \langle f,\,sv\rangle = \langle f,\,v\rangle-\langle \alpha,\,v\rangle\langle f,\,\alpha^\vee\rangle=\langle f-\langle \alpha^\vee,\,f\rangle\alpha,\,v\rangle.\] 即 \(s\) 在 \(V^\ast\) 上的作用为 \[s(f)=f-\langle \alpha^\vee,\,f\rangle\alpha.\] 它保持 \(V^\ast\) 中的超平面 \(\langle \alpha^\vee,\,\cdot\rangle=0\) 不变，将泛函 \(\alpha\) 映射为 \(-\alpha\)。
这种将反射在 \(\langle \,,\,\rangle\) 两侧 “跳来跳去” 的技巧后面会经常使用。
两个反射
设 \(s_{\alpha,\alpha^\vee},\,t_{\beta,\beta^\vee}\) 是两个反射，且线性泛函 \(\alpha,\beta\) 是线性无关的。考虑 \(s,t\) 在 \(\mathrm{GL}(V)\) 中生成的子群 \(W_{s,t}\)，记 \(K=\{\alpha>0\}\cap\{\beta>0\}\) 是 \(\alpha,\beta\) 的正半空间的交。我们希望 \(W_{s,t}\) 在 \(V\) 上的作用有如下性质：
- \(K\ne\emptyset\)。（由于我们假定了 \(\alpha,\beta\) 是线性无关的泛函，所以这一点其实是自动满足的）
- 对任何 \(w\in W_{s,t},\,w\ne1\) 有 \(wK\cap K=\emptyset\)。
这时我们称 \(W\) 离散地作用在 \(V\) 上，\(K\) 是此作用的基本区域。
“离散地作用”翻译成万花筒的语言，就是原像 \(K\) 与其所有虚像都不发生重叠。
我们想分析如果 \(W_{s,t}\) 离散地作用在 \(V\) 上，\(W_{s,t}\) 和万花筒的结构分别是怎样的。我们先来说明只要对 \(\dim V=2\) 的情形分析即可，即本质上 \(W_{s,t}\) 对应的万花筒可以在二维中实现。为此只要对 \(s\) 和 \(t\) 共同的不动点空间取商即可。
记 \(H_\alpha=\{\alpha=0\},\,H_\beta=\{\beta=0\}\)，\(H_\alpha,\,H_\beta\) 都是 \(n-1\) 维超平面，由于 \(\alpha,\beta\) 线性无关所以 \(H=H_\alpha\cap H_\beta\) 是 \(n-2\) 维超平面，\(s,t\) 均保持 \(H\) 不动。在商空间 \(V/H\) 中，\(\alpha,\beta\) 仍然是两个线性无关的泛函，\(H_\alpha,H_\beta\) 是两条不同的直线，\(K/H\) 是这两条直线所夹的一个锥形区域。
我们有如下引理：
引理：\(K\) 是 \(V\) 中的基本区域当且仅当 \(K/H\) 是 \(V/H\) 中的基本区域。
这个证明简单且枯燥，不过我还是加上这一段吧。
\(\Rightarrow\)：若不然，\(K/H\) 不是基本区域，则存在 \(w\ne 1\) 使得 \(w(K/H)\cap K/H\) 非空，即存在 \(x,y\in K\) 使得 \(w (x + H) = y + H\), 从而 \(wx - y \in H\)。于是 \(\alpha(wx)=\alpha(y) > 0\)，\(\beta(wx) = \beta(y) > 0\)，即 \(wx\in K\)，这与 \(K\) 是 \(V\) 中的基本区域矛盾。
\(\Leftarrow\)：若不然，\(K\) 不是基本区域，则存在 \(w\ne1,x\in K\) 使得 \(wx\in K\)，从而 \(wx + H \in K/H\)，这与 \(K/H\) 是 \(V/H\) 中的基本区域矛盾。
于是根据引理我们只要对 \(\dim V=2\) 的情况进行讨论。
记矩阵 \[A=\begin{pmatrix}\langle \alpha,\,\alpha^\vee\rangle&\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle\\ \langle \beta,\,\alpha^\vee\rangle& \langle \beta,\,\beta^\vee\rangle\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&c_{s,t}\\c_{t,s}&2\end{pmatrix}.\] 其中 \(c_{s,t}=\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle\)，\(c_{t,s}=\langle \beta,\,\alpha^\vee\rangle\)，并记 \(n_{s,t}=c_{s,t}c_{t,s}\)。注意到给 \(\alpha,\alpha^\vee\) 分别乘以非零实数 \(\lambda,\lambda^{-1}\) 保持 \(s\) 不变，给 \(\beta,\beta^\vee\) 分别乘以非零实数 \(\mu,\mu^{-1}\) 保持 \(t\) 不变，\(c_{s,t}\) 变为 \(\lambda/\mu c_{s,t}\)，\(c_{t,s}\) 变为 \(\mu/\lambda c_{t,s}\)，所以 \(c_{s,t},c_{t,s}\) 并不是由 \(s,t\) 完全确定的不变量，但是乘积 \(n_{s,t}\) 是不变的。后面会看到，\(n_{s,t}\) 有点类似空间的曲率，它决定了 \(W_{s,t}\) 这个万花筒具体实现的空间类型。
定理：要使得 \(W_{s,t}\) 离散地作用在 \(V\) 上，则必须有：
- \(c_{s,t}\) 和 \(c_{t,s}\) 同时为 0 或者同时小于 0。
- 要么 \(W_{s,t}\) 是有限群且 \(n_{s,t}=4\cos^2(\pi/m)\)，其中 \(m\) 为 \(\geq2\) 的正整数。
- 要么 \(W_{s,t}\) 是无限群且 \(n_{s,t}\geq 4\)。
注：把上面的结论翻译成万花筒的语言，就是：
- 第一条告诉我们在一个万花筒里面镜子的法向量之间不能是锐角。
- 第二条告诉我们如果镜子的夹角是 \(\pi\) 除以一个有理数，则这个有理数必须是整数。
- 第三条的含义比较丰富，我们后面再说。
下面的论证来自 Vinberg。
证明：我们先说明必须有 \(c_{s,t}\leq0\) 且 \(c_{t,s}\leq0\)。否则不妨设 \(c_{s,t}=\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle>0\)。
注意到 \[\langle \alpha,\,tH_\alpha\rangle=\langle t\alpha,\,H_\alpha\rangle=\langle \alpha-c_{s,t}\beta,\,H_\alpha\rangle=-c_{s,t}\langle \beta,\,H_\alpha\rangle.\] 以及 \[\langle \beta,\,tH_\alpha\rangle=\langle t\beta,\,H_\alpha\rangle=-\langle \beta,\,H_\alpha\rangle.\] 我们可以取 \(x\in H_\alpha\) 使得 \(\langle \beta,\,x\rangle\ne0\) 并适当选择 \(\pm x\) 使得 \(\langle \beta,\,x\rangle<0\)，从而 \(\langle \alpha,\,tx\rangle\) 和 \(\langle \beta,\,tx\rangle\) 都大于 0，于是 \(tH_\alpha\cap K\) 非空。
考虑反射 \(tst\)，其保持超平面 \(tH_\alpha\) 不动。由于 \(tH_\alpha\cap K\ne\emptyset\) 从而 \(tstK\cap K\ne\emptyset\)，与 \(W\) 在 \(V\) 上的作用是离散的矛盾。
于是我们证明了必须有 \(c_{s,t}\leq0\) 且 \(c_{t,s}\leq0\)。接下来说明 \(c_{s,t}=0\) 和 \(c_{t,s}=0\) 必须同时成立。否则不妨设 \(c_{s,t}=0,\,c_{t,s}<0\)。
考虑 \[\begin{align*}\langle \alpha,\,tsH_\beta\rangle&=\langle t\alpha,\,sH_\beta\rangle=\langle \alpha-c_{s,t}\beta,\,sH_\beta\rangle=\langle \alpha,\,sH_\beta\rangle=\langle s\alpha,\,H_\beta\rangle=-\langle \alpha,\,H_\beta\rangle,\\\langle \beta,\,tsH_\beta\rangle&=\langle t\beta,\,sH_\beta\rangle=-\langle \beta,\,sH_\beta\rangle=-\langle s\beta,\,H_\beta\rangle=\langle c_{t,s}\alpha-\beta,\,H_\beta\rangle=c_{t,s}\langle \alpha,\,H_\beta\rangle.\end{align*}\] 同理选择 \(x\in H_\beta\) 使得 \(\langle \alpha,\,x\rangle<0\)，我们得到 \(tsH_\beta\cap K\) 非空。反射 \(tstst\) 保持超平面 \(tsH_\beta\) 不动，从而 \(tststK\cap K\) 非空，矛盾。
至此我们知道 \(n_{s,t}\) 必然大于等于 0。下面针对 \(n_{s,t}\) 的值分情况讨论，我们将会看到它们可以分成三种不同的情形：仿射、有限和双曲。
仿射：\(n_{s,t}=4\)
\(n_{s,t}=4\) 时我们可以通过给 \(\alpha,\alpha^\vee\) 分别乘以正数 \(\lambda,\lambda^{-1}\) 使得 \(c_{s,t}=-2\)，那自然 \(c_{t,s}\) 也等于 \(-2\)，从而 \[A = \begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}.\]
不难计算发现 \(t(\alpha)=\alpha-c_{s,t}\beta=\alpha+2\beta\)，以此类推有 \[\alpha\xrightarrow{\ t\ }\alpha+2\beta\xrightarrow{\ s\ }3\alpha+2\beta\xrightarrow{\ t\ }3\alpha + 4\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ s\ }2\alpha+\beta\xrightarrow{\ t\ }2\alpha+3\beta\xrightarrow{\ s\ }4\alpha + 3\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 同理 \[\alpha\xrightarrow{\ s\ }-\alpha\xrightarrow{\ t\ }-\alpha-2\beta\xrightarrow{\ s\ }-3\alpha-2\beta\xrightarrow{\ t\ }-3\alpha - 4\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ t\ }-\beta\xrightarrow{\ s\ }-2\alpha-\beta\xrightarrow{\ t\ }-2\alpha-3\beta\xrightarrow{\ s\ }-4\alpha-3\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 是将前面两个链分别取负值，即 \(\{\alpha,\beta\}\) 在 \(W_{s,t}\) 的作用下构成的集合为 \(\Phi=\{m\alpha+n\beta\}\)，其中系数 \(m,n\) 都是整数，\(m,n\) 至多相差 1，并且同时非正或者同时非负。\(\Phi\) 叫做 \(W_{s,t}\) 的根系，它由两个不相交的子集组成：\(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\)，其中 \(\Phi^+\) 包含所有非负的线性组合，\(\Phi^-\) 包含所有非正的线性组合，且 \(\Phi^+=-\Phi^-\)。\(\Phi^+\) 中的根叫做正根，\(\Phi^-\) 中的根叫做负根。
设 \(\{e_\alpha,e_\beta\}\) 是 \(V\) 的一组关于 \(\alpha,\beta\) 的对偶基： \[\langle \alpha,\,e_\alpha\rangle=\langle \beta,\,e_\beta\rangle=1,\quad \langle \alpha,\,e_\beta\rangle=\langle \beta,\,e_\alpha\rangle=0.\] 在这组基下，基本区域的坐标为第一象限： \[K=\{ xe_\alpha+ye_\beta\mid x>0,y>0\}.\] \(\alpha^\vee = 2e_\alpha - 2e_\beta\)，\(\beta^\vee = -2e_\alpha + 2e_\beta\)，即 \(\alpha^\vee=-\beta^\vee\) 且二者均位于直线 \(\ell:x+y=0\) 上。
对任何 \(w\in W_{s,t}\), 不难验证 \[wK=\left\{v\in V\colon\ \langle w\alpha,\,v\rangle>0 \text{\ and\ } \langle w\beta,\,v\rangle>0\right\}.\] （等式的证明很简单，我与其啰嗦地写一个证明，还不如请读者自行目视并在脑海中验证一下~）
当 \(w\ne1\) 时，注意到 \(w\alpha\) 和 \(w\beta\) 必然一个属于 \(\Phi^+\)，另一个属于 \(\Phi^-\)（取决于 \(w\) 是以 \(s\) 结尾还是以 \(t\) 结尾），不妨设 \(w\alpha=m\alpha+n\beta\in\Phi^-\)，于是 \(m\leq0,n\leq0\) 且 \(m,n\) 不全为 0，设 \(v=xe_\alpha+ye_\beta\)，则 \[wK\subset \{v\in V\colon\ \langle w\alpha,\,v\rangle> 0 \} =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\ mx+ny > 0\}.\] 显然上式右边与 \(K\)，也就是第一象限的交为空，所以 \(W_{s,t}\) 确实是离散地作用在 \(V\) 上。
为了画图好看我们可以改取 \(V\) 的一组基为 \(\{e_\alpha-e_\beta,e_\beta\}\)，这时 \(\alpha^\vee=(2,0),\beta^\vee=-\alpha^\vee\)。超平面 \(H_\alpha\) 为 \(y\) 轴，\(H_\beta\) 为直线 \(y=x\)，基本区域 \(K\) 是直线 \(x=0\) 和 \(y=x\) 所夹的锥形区域，如下图所示：
可见 \(K\) 在 \(W_{s,t}\) 的作用下填满了整个上半平面 \(\{y>0\}\)。
记 \(\overline{K}\) 为 \(K\) 的闭包， \[\mathcal{C}=\bigcup_{w\in W_{s,t}}w\overline{K},\] \(\mathcal{C}\) 叫做 Tits 锥，它由 \(\{y > 0\}\cup\{(0,0)\}\) 组成。
有限：\(0\leq n_{s,t}<4\)
通过调整 \(\alpha,\alpha^\vee\) 使得 \(c_{s,t}=c_{t,s}\)，我们得到 \(c_{s,t}=-2\cos\theta,0<\theta\leq\pi/2\)。 \[A = \begin{pmatrix}2&-2\cos\theta\\-2\cos\theta&2\end{pmatrix}\] 是正定矩阵，于是 \(\{\alpha^\vee, \beta^\vee\}\) 构成 \(V\) 的一组基。我们规定 \(V\) 上的内积 \(\bullet\) 如下：
\[\begin{pmatrix}\alpha^\vee\bullet\alpha^\vee&\alpha^\vee\bullet\beta^\vee\\\beta^\vee\bullet\alpha^\vee&\beta^\vee\bullet\beta^\vee\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-\cos\theta\\-\cos\theta&1\end{pmatrix}=A/2.\] \(V\) 在此内积下成为一个二维欧式平面。
不难验证对任何 \(v\in V\) 有 \[\langle \alpha,\,v\rangle=2(\alpha^\vee\bullet v),\quad \langle \beta,\,v\rangle=2(\beta^\vee\bullet v).\] （只需要对 \(v=\alpha^\vee,\beta^\vee\) 验证即可）
所以 \(\langle \alpha,\,v\rangle=0\Leftrightarrow \alpha^\vee\bullet v=0\)，\(\langle \beta,\,v\rangle=0\Leftrightarrow \beta^\vee\bullet v=0\)，即 \(\alpha^\vee,\beta^\vee\) 分别是与直线 \(H_\alpha,H_\beta\) 在此内积下垂直的单位法向量，\(s,t\) 是关于镜面 \(H_\alpha,H_\beta\) 的正交反射。由于 \(\alpha^\vee\bullet\beta^\vee=-\cos\theta\) 所以基本区域 \(K\) 是一个角度为 \(\theta\) 的锥，于是 \(st\) 是一个角度为 \(2\theta\) 的旋转。要使得 \(W_{s,t}\) 的作用是离散的显然 \(st\) 的阶必须有限，不妨设为 \(m\)，则 \(W_{s,t}\) 是二面体群 \(D_m\)，\(\theta\) 形如 \(\theta=k\pi/m\)，其中 \(k\) 是与 \(m\) 互素的正整数。这里 \(k\) 必须是 1，否则将 \(K\) 绕着原点旋转 \(m\) 次会覆盖平面 \(k>1\) 次，不可能使得 \(wK\cap K=\emptyset\) 对任何 \(w\ne 1\) 成立，所以 \(\theta=\pi/m\)。
二面体群 \(D_m\) 是一个 \(2m\) 阶的有限群，其元素为 \[\{\,1,s,t, st,ts,\ldots,\overbrace{sts\cdots}^{m}=\overbrace{tst\cdots}^{m}\,\}.\] Tits 锥 \(\mathcal{C}=\bigcup_{w\in W_{s,t}}w\overline{K}\) 是全空间。
目前为止我们了解了 \(W_{s,t}\) 的结构以及它在 \(V\) 上作用的情况，下面分析 \(V^\ast\) 中根系的结构。
不难计算得出 \[\alpha\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] 同理以 \(\alpha\xrightarrow{\ s\ }\) 和 \(\beta\xrightarrow{\ t\ }\) 开始的链是分别将上面的两个链取负值，所以 \(\{\alpha,\beta\}\) 在 \(W_{s,t}\) 的作用下的集合为 \[\Phi =\left\{\dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha + \dfrac{\sin (k\pm 1)\theta}{\sin\theta}\beta,\ k\in\mathbb{Z}\right\}.\] 但是这次 \(\Phi\) 其实是包含 \(2m\) 个元素的有限集，因为 \(k+2m\) 和 \(k\) 对应的是同样的元素，而 \(k+m\) 则是将 \(k\) 对应的元素取负，所以 \(\Phi\) 仍然是两个不交集合的并：\(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\)，其中 \[\Phi^+=\left\{ \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha + \dfrac{\sin (k+1)\theta}{\sin\theta}\beta,\ 0\leq k\leq m-1\right\}.\] \[\Phi^-=\left\{ \dfrac{\sin (k+1)\theta}{\sin\theta}\alpha + \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\beta,\ m\leq k\leq 2m-1\right\}.\] 同样地 \(\Phi^+\) 的元素都是 \(\alpha,\beta\) 的非负线性组合，\(\Phi^-\) 的元素都是 \(\alpha,\beta\) 的非正线性组合，并且 \(\Phi^+=-\Phi^-\)。
双曲：\(n_{s,t}>4\)
我们调整 \(\alpha,\alpha^\vee\) 使得 \(c_{s,t}=c_{t,s}=-2\cosh\theta<-2\)，其中 \(\theta>0\) 是实数， \[A = \begin{pmatrix}2&-2\cosh\theta\\-2\cosh\theta&2\end{pmatrix}\] 是不定的。
这次我们还是先来算 \(V^\ast\) 中的根系：不难得到 \[\alpha\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] 于是 \(\{\alpha,\beta\}\) 在 \(W_{s,t}\) 的作用下的集合为 \[\Phi =\left\{\dfrac{\sinh k\theta}{\sinh\theta}\alpha + \dfrac{\sinh (k\pm 1)\theta}{\sinh\theta}\beta,\ k\in\mathbb{Z}\right\}.\] \(\Phi\) 中的元素对任何 \(k\in\mathbb{Z}\) 都不相同，所以是个无限集合，并且也可以分解为正根 \(\Phi^+\) 和负根 \(\Phi^-\) 的并。相应地 \(W_{s,t}\) 是无限群，其元素由 \(s,t\) 以及它们所有的交错乘积组成。
与 \(n_{s,t}<4\) 的情形类似，\(\{\alpha^\vee, \beta^\vee\}\) 构成 \(V\) 的一组基，我们规定 \(V\) 上的内积 \(\bullet\) 如下：
\[\begin{pmatrix}\alpha^\vee\bullet\alpha^\vee&\alpha^\vee\bullet\beta^\vee\\\beta^\vee\bullet\alpha^\vee&\beta^\vee\bullet\beta^\vee\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-\cosh\theta\\-\cosh\theta&1\end{pmatrix}=A/2.\] \(V\) 在此内积下成为一个二维双曲平面，\(\alpha^\vee,\beta^\vee\) 分别是与直线 \(H_\alpha,H_\beta\) 在此内积 \(\bullet\) 下垂直的单位法向量，\(s,t\) 是关于镜面 \(H_\alpha,H_\beta\) 的正交反射。由于 \(\alpha^\vee\bullet\beta^\vee=-\cosh\theta\) 所以 \(st\) 是一个角度为 \(2\theta\) 的双曲旋转。
仿照仿射的情形不难证明 \(W_{s,t}\) 在 \(V\) 上的作用是离散的。实际上完全可以把仿射情形的证明照抄在这里，它们是一模一样的，唯一的区别只是把 \(m,n\) 换成 \(\dfrac{\sinh m\theta}{\sinh\theta}\) 和 \(\dfrac{\sinh n\theta}{\sinh\theta}\)。
为了画图好看我们再折腾一下 （这些不是数学上必须的）。记 \(t=\cosh\theta>1\)，我们将 \(\{\alpha^\vee,\beta^\vee\}\) 正交化得到一组正交基 \[\alpha^\vee_1=\alpha^\vee,\quad \beta^\vee_1=-\frac{t\alpha^\vee+\beta^\vee}{\sqrt{t^2-1}}=-\coth\theta\cdot\alpha^\vee -\mathop{\mathrm{csch}}\theta\cdot\beta^\vee.\] 注意 \(\alpha^\vee_1\bullet\alpha^\vee_1=1\) 而 \(\beta^\vee_1\bullet\beta^\vee_1=-1\)。这不意外，因为这个内积空间是双曲型的，不可能出现两个正交且范数都是 1 的基向量。
对 \(v\in V\)，设 \(v=x\alpha^\vee_1+y\beta^\vee_1\)，则内积 \(\bullet\) 在新坐标系 \(\{\alpha^\vee_1,\beta^\vee_1\}\) 下对应的二次型为 \[Q(v) = v\bullet v = x^2 - y^2.\] 在这组新基下，\(\alpha^\vee\) 的坐标为 \((1,0)\)，\(H_\alpha\) 是 \(y\) 轴。\(\beta^\vee\) 的坐标为 \((-t,-\sqrt{t^2-1})\)，\(H_\beta\) 是直线 \(y=\tfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}x=\coth\theta\cdot x\)，这印证了基本区域 \(K\) 的双曲角度是 \(\theta\)。\(K\) 和它在 \(W_{s,t}\) 作用下的所有像都位于迷向锥 \(Q(v)<0\) 内部，此迷向锥以 \(y=\pm x\) 为边界。
这时 Tits 锥 \(\mathcal{C}=\bigcup_{w\in W_{s,t}}w\overline{K}\) 由迷向锥上半分支的内部和原点组成。