从 Coxeter 群到双曲球堆(一):抽象 Coxeter 群与几何实现

抽象 Coxeter 群

\(S\) 是一个集合,一个基于 \(S\) 的 Coxeter 矩阵 \(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是一个对称矩阵,其对角线上都是 1,非对角线元素取值范围为 \(\{2,3,\ldots,\infty\}\)\(|S|\) 叫做 \(M\) 的秩 (rank),在本文中我们只考虑 \(|S|<\infty\) 的情形。

任一 Coxeter 矩阵 \(M\) 都确定了一个有限表现群 \(W\),其生成元为集合 \(S\),表现如下: \[W = \langle s\in S\ |\ (st)^{m_{s,t}}=1\ {\rm if}\ m_{s,t}<\infty\rangle.\]

\(S\) 作为 \(W\) 的生成元,其元素满足的生成关系是:

  1. 对任何 \(s\in S\)\(s^2=1\)
  2. 对任何 \(s\ne t, m_{s,t}<\infty\)辫关系 (braid relation) \(\overbrace{sts\cdots}^{m_{s,t}}=\overbrace{tst\cdots}^{m_{s,t}}\) 成立。(当 \(m_{s,t}=\infty\) 时的关系是无用的)

我们称 \((W, S)\) 是一个 Coxeter 系\(W\) 是一个有限生成 Coxeter 群

用 Coxeter 矩阵或者群表现的形式来描述一个 Coxeter 群有点不太方便。我们可以用一个有限图 \(\Gamma\) 更直观地表示一个 Coxeter 群 \((W,S)\)\(\Gamma\) 叫做 \((W,S)\) 的 Coxeter 图:\(\Gamma\) 的顶点集就是 \(S\),两个顶点 \(s,t\in S\) 之间连一条边当且仅当 \(m_{s,t}\ne 2\),并且这条边的标号是 \(m_{s,t}\)。在 \(m_{s,t}=3\) 时这个标号通常省略不写。如果 \(\Gamma\) 是连通的,就称 \((W,S)\)不可约的

Coxeter 矩阵 \[\begin{pmatrix}1 & 3 & 4\\3&1&\infty\\4&\infty&1\end{pmatrix}\] 对应的 Coxeter 图 \(\Gamma\)

\(\Gamma\) 是连通的,从而 \(W\) 是不可约的。

Coxeter 矩阵 \[\begin{pmatrix}1 & m & 2\\m&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\] 对应的 Coxeter 图 \(\Gamma\)

\(\Gamma\) 有两个连通分支,从而 \(W\) 是可约的。

我们主要关心的是 \(\Gamma\) 不可约的情形。这是因为,如果 \(\Gamma\) 包含的连通分支个数大于 1,则 \(\Gamma\) 可以写成若干连通分支的并: \(\Gamma=\Gamma_1\cup\cdots\cup\Gamma_k\),其中任何 \(\Gamma_i\)\(\Gamma_j\) 之间互相没有边相连,即对任何 \(s\in\Gamma_i\)\(t\in\Gamma_j\)\(m_{s,t}=2\),从而 \(st=ts\),于是 \(\Gamma_i\) 中的生成元与 \(\Gamma_j\) 中的生成元两两交换,这时 \(W\) 有直积分解 \[W=W_1\times\cdots\times W_k.\] 其中 \(W_1,\ldots,W_k\) 分别是 \(\Gamma_1,\ldots,\Gamma_k\) 对应的 Coxeter 群。所以我们只要研究 \(\Gamma\) 不可约的情形即可。

还有一种给 \(\Gamma\) 的边标号的方式,叫做 Vinberg 记号,允许给 \(m_{s,t}=\infty\) 的那些边用 \(\leq-1\) 的实数作为标号。比如像下面这样:

作为抽象 Coxeter 群,它和

是同一个群,但是前者的 \(\infty\) 边的标号是 \(-1.1\)。我们后面会解释,这样做相当于指定了这条边的两个顶点在几何实现中的镜面夹角。在后文中我们也会采用这种记号。

\(W\) 中的任一元素 \(w\),它可能有许多种不同的方式表示为 \(S\) 中生成元的乘积。在 \(w\) 的所有表示中,长度最短的表示叫做 \(w\)既约表示:即若 \(w=s_1s_2\cdots s_k\) 是一个长度为 \(k\) 的乘积,且 \(w\) 不存在任何长度小于 \(k\) 的表示,就称 \(s_1s_2\cdots s_k\)\(w\) 的既约表示。\(w\) 的既约表示可能不唯一,但它们都具有相同的长度。\(w\) 的长度 \(l(w)\) 就定义为 \(w\) 的任意一个既约表示的长度。

\(l(w)\) 具有如下的性质:

  1. \(l(xy)\leq l(x) + l(y)\)
  2. \(l(w) = l(w^{-1})\)
  3. \(l(w)=0\) 当且仅当 \(w=1\)
  4. \(l(ws)=l(w)\pm 1\),其中 \(w\in W, s\in S\)

前三点都是显然的,只有 4 需要证明。显然 \(|l(ws)-l(w)|\leq 1\),所以只要说明 \(l(ws)\)\(l(s)\) 不相等即可。这一步需要用到自由群的泛性质:

\(F\) 是由集合 \(S\) 生成的 自由群,定义群同态 \({\rm sgn}: F\to{\pm1}\) 如下:对自由群 \(F\) 的每个生成元 \(s\in S\) 定义映射 \({\rm sgn}(s)=-1\),然后将此映射扩充为 \(F\)\({\pm1}\) 的群同态。容易验证 \((W,S)\) 的所有生成关系都属于这个同态的核,因此根据 自由群的泛性质\({\rm sgn}\) 诱导了一个从 \((W,S)\)\({\pm1}\) 的群同态。在此同态下,若 \(w=s_1s_2\cdots s_k\)\(w\) 的任一既约表示,则 \[{\rm sgn}(w)={\rm sgn}(s_1){\rm sgn}(s_2)\cdots{\rm sgn}(s_k)=(-1)^k=(-1)^{l(w)}.\] 从而 \({\rm sgn}(ws)={\rm sgn}(w){\rm sgn}(s)=-{\rm sgn}(w)\) 说明 \(l(ws)\ne l(w)\)

几何实现

抽象 Coxeter 群是用生成元和生成关系定义的,直接从这种定义出发研究群结构是非常困难的。在这一节中,我们将介绍如何将抽象的 Coxeter 群实现为一个内积空间中的正交反射群,从而可以使用几何、线性代数等多种工具来研究它。

\((W,S)\) 是一个 Coxeter 系,\(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是 Coxeter 矩阵,\(V\) 是一个维数为 \(n=|S|\) 的实向量空间,其一组基为 \(\{\alpha_s \mid s\in S\}\)。我们规定 \(V\) 上的一个内积 \((\cdot,\cdot)\) 如下:

\[(\alpha_s,\alpha_t)=\begin{cases}-\cos\frac{\pi}{m_{s,t}}&m_{s,t}<\infty,\\-a_{s,t}&m_{s,t}=\infty.\end{cases}\]

这里 \(a_{s,t}\geq 1\),不同的 \((s,t)\) 对可以使用不同的 \(a_{s,t}\)

根据定义 \((\alpha_s,\alpha_s)=-\cos\frac{\pi}{1}=1\),即每个 \(\alpha_s\) 都是单位向量。

\(a_{s,t}=1\) 表示 Euclidean 空间中两个平行的镜面(或者双曲空间中两个平行的镜面);\(a_{s,t}>1\) 表示双曲空间中两个超平行的镜面;\(m_{s,t}<\infty\) 表示两个相交的镜面。

下图显示了对同一个抽象 Coxeter 群

对标号为 \(\infty\) 的边选择 \(a_{s,t}=1\)\(a_{s,t}=1.15\) 时给出的效果:

平行 \(a_{s,t}=1\) 超平行 \(a_{s,t}=1.15\)

上面定义的 \((\cdot,\cdot)\) 未必是通常所指的 Euclidean 内积,而且不同的 \(W\) 给出的 \((\cdot,\cdot)\) 的符号可能是不同的。但我们最关心的情形有三种:

  1. 如果 \((\cdot,\cdot)\) 是正定的,就称 \((\cdot,\cdot)\) 是有限型的;
  2. 如果 \((\cdot,\cdot)\) 是半正定的,但不是正定的,就称 \((\cdot,\cdot)\) 是仿射型的;
  3. 如果 \((\cdot,\cdot)\) 的符号是 \((n-1, 1)\),就称 \((\cdot,\cdot)\) 是双曲型的。

不属于以上三种类型的一律称为不定的。

正如名字所暗示的那样,\((\cdot,\cdot)\) 是有限型的当且仅当 \(W\) 是有限反射群,这时 \(W\) 给出的万花筒是球面上的密铺;\((\cdot,\cdot)\) 是仿射型的当且仅当 \(W\) 可以实现为 Euclidean 空间上的仿射 Weyl 群,这时 \(W\) 给出的万花筒是 Euclidean 空间中的密铺;\((\cdot,\cdot)\) 是双曲型的意味着 \(W\) 给出的是双曲空间中的密铺。这些我们会在后面进行仔细的讨论。

对任何 \(s\in S\),定义 \(V\) 上的反射 \(\rho_s\)\[\rho_s(v) = v -2(v,\alpha_s)\alpha_s ,\quad v\in V.\] 容易验证 \(\rho_s\) 满足 \(\rho_s^2=1\),并且它保持 \((\cdot,\cdot)\) 不变:\((\rho_s(u),\rho_s(v)) = (u,v)\) 对所有 \(u,v\in V\) 都成立。

我们来证明 \(s\to\rho_s\) 实际上是从 \((W,S)\)\(\mathrm{GL}(V)\) 的群同态,从而 \[\rho: W\to\rho(W)\leqslant\mathrm{GL}(V)\] 是一个线性表示。当然还是要用到泛性质。我们只要证明:

命题 2.1. \((\rho_s\rho_t)^{m_{s,t}}=1\) 对任何 \(s,t\in S\) 成立。

这个结论的证明在 (Humphreys 1990, sec. 5.3)Howlett (1996) 中都可以找到,但我更喜欢 Howlett 的做法,把 rank 2 情形的根系具体的算出来。因为这是最简单,但又非平凡的根系的例子,熟悉它的重要性怎么强调也不为过。

证明:当 \(s=t\) 时所证即为 \(\rho_s^2=1\),由于 \(\rho_s\) 是反射这当然是成立的。

下设 \(s\ne t\),令 \(V_{s,t}={\rm span}\{\alpha_s,\alpha_t\}\)\(\alpha_s,\alpha_t\) 张成的二维子空间,并记 \(V_{s,t}^\bot\)\(V_{s,t}\)\((\cdot,\cdot)\) 下的正交补空间。不难验证 \(\rho_s\)\(\rho_s\) 限制在 \(V_{s,t}^\bot\) 上都是恒等变换。

注意不一定有 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\) 成立,因为 \((\cdot,\cdot)\) 有可能是退化的。但是只要 \((\cdot,\cdot)\) 非退化,或者 \((\cdot,\cdot)\mid_{V_{s,t}}\) 是非退化的,那么 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\) 就成立。

我们来计算 \(\sigma=\rho_s\rho_t\) 的阶。记 \(m=m_{s,t}\),分情况讨论:

  1. \(m<\infty\)。这时 \((\cdot,\cdot)\) 限制在 \(V_{s,t}\) 上的 Gram 矩阵是 \[\begin{pmatrix}1&-\cos\theta\\-\cos\theta&1\end{pmatrix},\qquad \theta=\frac{\pi}{m}.\] 这个矩阵是正定的,从而 \((\cdot,\cdot)\mid_{V_{s,t}}\) 非退化,这时 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\) 是成立的,而 \(\sigma\) 限制在 \(V_{s,t}^\bot\) 上是恒等变换,所以 \(\sigma\)\(V\) 上的阶就等于它在 \(V_{s,t}\) 上的阶。我们有 \(\rho_s(\alpha_s)=-\alpha_s\)\(\rho_s(\alpha_t)=2\cos\theta\alpha_s+\alpha_t\),以及关于 \(\rho_t\) 的类似表达式。不难验证有 \[\begin{align*}&\alpha_s\xrightarrow{\ \rho_t\ }\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 4\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\cdots\\ &\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\dfrac{\sin 4\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\cdots\end{align*} \] 这两个链的周期都是 \(2m\),因为它们的第 \(2m+1\) 项分别是 \[\dfrac{\sin (2m+1)\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin (2m)\theta}{\sin\theta}\alpha_t=\alpha_s\]\[\dfrac{\sin (2m)\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin (2m+1)\theta}{\sin\theta}\alpha_t=\alpha_t.\] 又回到了各自的第一项。所以 \(\sigma\) 的阶等于 \(m\)

  2. \(m=\infty\)。这时未必有 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\)。但我们可以论证 \(\sigma\)\(V_{s,t}\) 上的阶是无穷,那么自然它在 \(V\) 上的阶也是无穷。 设 \(\theta\geq0\) 使得 \(a_{s,t}=\cosh\theta\),不难验证有 \[\begin{align*}&\alpha_s\xrightarrow{\ \rho_t\ }\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 4\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\cdots\\ &\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\dfrac{\sinh 4\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\cdots\end{align*} \](当 \(a_{s,t}=1\)\(\theta=0\)\(\dfrac{\sinh k\theta}{\sinh\theta}\) 应当理解为 \(k\)

    这两个链条都是永不重复的,所以 \(\sigma\) 的阶是无穷。

至此命题得证。\(\blacksquare\)

我知道你肯定不喜欢看到这种涉及繁琐计算的证明。但我的经验是,慢就是快。花大量时间在掌握例子上是值得的。

后面我们会看到 \(\rho\) 实际是一个同构,这样就把抽象的 Coxeter 群 \(W\) 实现为具体的反射群 \(\rho(W)\)

最后是一个记号的简化:我们把 \(w\in W\)\(V\) 上的作用简写为 \(wv=\rho(w)(v)\)

References

Howlett, Robert B. 1996. “Introduction to Coxeter Groups.” https://www.maths.usyd.edu.au/u/ResearchReports/Algebra/How/1997-6.html.
Humphreys, James E. 1990. Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511623646.

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