从 Coxeter 群到双曲球堆(五):Coxeter 群的 level

在本文中,我们来介绍 Coxeter 群的 level 的概念,并证明 level 等于 1 或 2 的群都是双曲的。不同之处在于,level 1 的群没有超理想顶点,但 level 2 的群一定有超理想顶点。这里的证明主要改写自 Maxwell (1982)Maxwell (1989) 这两篇文章。Maxwell 的原文读起来有点费劲,我作了更详细的解释。

level 的定义

\(\Gamma\)\(W\) 的 Coxeter 图,如果 \(\Gamma'\)\(\Gamma\) 的子图,其顶点集是 \(I\subseteq S\),则我们可以讨论 \(\Gamma'\) 的类型,这个子图的类型由 \((\cdot,\cdot)\) 在子空间 \(V_I={\rm span}\{\alpha_s,s\in I\}\) 上的限制决定。

定义 1.1 (Maxwell (1982)). 一个 Coxeter 群 \((W,S)\) 的 level 定义为最小的非负整数 \(l\),使得在其 Coxeter 图 \(\Gamma\) 中删去任何 \(l\) 个顶点后,剩下的每个连通分支都是仿射或者有限的。

根据定义有限和仿射 Coxeter 群的 level 都是 0(因为不需要删去任何顶点)。

我们来看几个 level 大于 0 的例子:

level=1 level=2 level=3
  • 第一个图的三条边标号分别是 \((3,3,7)\),它不是有限的也不是仿射的,但是删去任何一个顶点以后剩下的两个顶点都构成一个有限二面体群,所以其 level 等于 1。
  • 第二个图的三条边标号分别是 \((3, 4, -1.1)\),它删去红色顶点以后剩下的两个顶点仍然构成一个 Vinberg 记号下的双曲群,所以 level 肯定大于 1;删去任何两个顶点的话只剩一个顶点当然是有限的,所以这个群的 level 等于 2。
  • 第三个图删去两个红色顶点以后剩下的两个顶点仍然构成一个 Vinberg 记号下的双曲群,所以 level 肯定大于 2;删去任何三个顶点以后只剩一个顶点当然是有限的,所以这个群的 level 等于 3。

定理 1.2. \(\Gamma\) 是连通的,且 level 等于 \(l\),则在 \(\Gamma\) 中删去任何 \(l+1\) 个顶点后,剩下的每个连通成分都是有限的。

证明:对 \(l\) 归纳。当 \(l=0\) 时,根据 前面介绍过的不可约有限和仿射 Coxeter 群的性质,在一个有限或者仿射的连通图中删去任何一个顶点剩下的一定是有限子图,所以结论成立。

假设结论对所有小于 \(l\) 的正整数成立,考虑 \(l\) 的情形。用反证法。

不妨设删去 \(\{i_1,\ldots,i_{l+1}\}\)\(l+1\) 个顶点后得到的不都是有限子图,那么剩下的部分中某个连通分支必然是仿射的。不妨设 \(\Gamma\setminus\{i_1,\ldots,i_{l+1}\}=\Gamma'\cup\Gamma''\),其中 \(\Gamma'\) 是一个仿射的连通分支,\(\Gamma''\)(可能为空集)和 \(\Gamma'\) 之间没有边相连。

由于 \(\Gamma\) 是连通的,所以 \(\Gamma'\) 必然和 \(\{i_1,\ldots,i_{l+1}\}\) 中某个顶点有边连接,不妨设为 \(i_{l+1}\)

由于 \(\Gamma\) 的 level 是 \(l\),所以 \(\{i_{l+1}\}\cup\Gamma'\subseteq\Gamma\setminus\{i_1,\ldots,i_l\}\) 是一个仿射的连通子图,这个仿射子图删除 \(i_{l+1}\) 后得到的 \(\Gamma'\) 仍然是仿射的,这与 \(l=0\) 的情形矛盾,所以结论得证。\(\blacksquare\)

Level 1 是双曲的

本节来证明 level 1 的群都是双曲的。

首先是一个定义:

定义 2.1.

  • 如果 \(v\in V\) 满足 \((v, v)>0\),我们就称 \(v\)实的
  • 如果 \(u,v\in V\) 满足 \((u,v)\leq 0\)\(u,v\) 张成的二维子空间 \(\mathrm{span}\{u,v\}\) 不是正定的,就称 \(u,v\)分离的 (disjoint)。

\((\cdot,\cdot)\) 是 Lorentzian 内积时,\(v\) 是实的等价于 \(v\) 是 space-like 的。

引理 2.2. 如果 \(\Gamma\) 的 level 大于等于 1,并且不是双曲的,则 \(V\) 中存在两个互相正交的向量 \(u,v\) 满足 \((u,u)<0\)\((v,v)=0\)

证明:由于 \(\Gamma\) 的 level 大于等于 1,所以 \((\cdot,\cdot)\) 不可能是正定或者半正定的,显然也不可能是负定/半负定的(因为所有根 \(\alpha\) 的范数都是 1),所以 \((\cdot,\cdot)\) 的正负惯性指数都非 0。如果 \(W\) 不是双曲的,那么有两种可能:

  1. \((\cdot,\cdot)\) 的负惯性指数是 1 且 \(\mathrm{rad}(V)\ne\{0\}\)
  2. \((\cdot,\cdot)\) 的负惯性指数至少是 2。

情形 1 可以取 \(V\) 的一组正交基包含两个向量 \(u,v\) 满足 \((u, u)=-1\)\((v,v)=0\)。情形 2 可以取 \(V\) 的一组正交基包含三个向量 \(x,y,z\) 满足 \((x,x)=1\)\((y, y)=(z,z)=-1\),然后取 \(u=z\)\(v=x+y\),则 \(u,v\) 正交且 \((u,u)=-1,\,(v,v)=0\)\(\blacksquare\)

定理 2.3 (Maxwell (1982)). 如果 \(\Gamma\) 的 level 是 1,则 \(\Gamma\) 是双曲的。所有的 基本权 都不是实的并且两两分离。

证明:首先注意到 \(\Gamma\) 的 level 是 1 蕴含了 \(\Gamma\) 是连通的,若不然,设 \(\Gamma=\Gamma_1\cup\cdots\cup\Gamma_k\) 是多于一个连通分支的并,则每个分支 \(\Gamma_i\) 作为删去其它分支后剩下的子图必须都是有限或者仿射的,但这导致 \(\Gamma\) 的 level 是 0,矛盾。

我们需要证明三件事情:

  1. 内积 \((\cdot,\cdot)\) 的符号是 \((n-1, 1, 0)\)
  2. 任何基本权 \(\omega_s\) 满足 \((\omega_s,\omega_s)\leq0\)
  3. 任何两个基本权 \(\omega_s,\omega_t\in\Delta^\ast\) 满足 \((\omega_s,\omega_t)\leq0\) 并且它们生成的二维子空间 \(\mathrm{span}\{\omega_i,\omega_j\}\) 不是正定的。

先证明 1。用反证法,如果 \(\Gamma\) 的 level 是 1 但不是双曲的,则根据 引理 2.2 我们可以取两个正交的非零向量 \(u,v\) 满足 \((u,u)<0,\, (v,v)=0\)

我们有如下两个断言:

  1. 任何满足 \((u,u)<0\) 的向量 \(u=\sum_{s\in S}u_s\alpha_s\) 其系数 \(u_s\) 都非零且同号。
  2. 任何满足 \((v,v)=0\) 的向量 \(v=\sum_{s\in S}v_s\alpha_s\) 其系数 \(v_s\) 至多只有一个为 0,其余都同号。

我们把这两个断言的证明放在后面,先承认它们是正确的,用它们来导出矛盾:

\(s\in S\) 使得 \(v_s\ne 0\),则 \(u'=v_su-u_sv\) 满足 \((u',u')=v_s^2(u,u)<0\)\(u'\)\(\alpha_s\) 项的系数 \(u'_s=0\)。但根据断言 1,\(u'\) 的系数必须非零且同号,这就导致了矛盾,所以 \(\Gamma\) 必然是双曲的,从而结论 1 成立。

再来证明结论 2。

注意到对任何 \(s\in S\),由于子图 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 的 level 等于 0,所以 \({\rm span}\{\alpha_t,t\ne s\}\) 是有限或者仿射的 \(n-1\) 维子空间。它的正交补显然是 \(\omega_s\) 张成的一维子空间 \(\mathbb{R}\omega_s\),再结合 \((\cdot,\cdot)\) 是双曲的我们有 \((\omega_s,\omega_s)\leq 0\),所以 \(\{\omega_s\}_{s\in S}\) 都不是实的。

再来证明结论 3。

\(\omega_s=\sum_{t\in S}c_t\alpha_t\),两边用 \(\omega_t\) 作内积不难看出 \(c_t=(\omega_s,\omega_t)\),所以

\[\omega_s = (\omega_s,\omega_s)\alpha_s + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)\alpha_t.\]

结论 2 中已经证明了必然有 \((\omega_s,\omega_s)\leq0\)。根据断言我们有:

  1. 如果 \((\omega_s,\omega_s)<0\),则后面所有的系数 \((\omega_s,\omega_t)\) 都小于 0。
  2. 如果 \((\omega_s,\omega_s)=0\),则后面所有的系数 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 都不为 0 且同号。我们来确定它们的符号:根据 \[1=(\omega_s,\alpha_s) = (\omega_s,\omega_s) + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)(\alpha_t,\alpha_s)=\sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)(\alpha_t,\alpha_s),\] 由于对所有的 \(t\ne s\)\((\alpha_s,\alpha_t)\leq 0\),所以只能是 \((\omega_s,\omega_t)<0\)

总之我们说明了对任何 \(s\ne t\) 都有 \((\omega_s,\omega_t)<0\)。此外二维子空间 \(U={\rm span}\{\omega_s,\omega_t\}\) 的正交补是 \(U^\bot={\rm span}\{\alpha_{k},\,k\ne s,t\}\),根据 定理 1.2 \(U^\bot\) 是正定的,所以 \(U\) 必然是双曲的,从而 \(\{\omega_s,\omega_t\}\) 是分离的。

最后我们来给出断言 1 和 2 的证明。这两个断言的证明并不困难,但是比较琐碎。

首先是断言 1 的证明。记

\[I_+=\{s\in S\mid u_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid u_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid u_s=0\}.\] 并记 \(u_+=\sum_{s\in I_+}u_s\alpha_s\)\(u_-=\sum_{t\in I_-}u_t\alpha_t\),则 \(u=u_++u_-\)\[(u,u)=(u_+,u_+) + (u_-,u_-) + 2(u_+,u_-)<0.\] 但是注意到 \[(u_+, u_-)=\sum_{s\in I_+}\sum_{t\in I_-}\underbrace{u_s}_{>0}\underbrace{u_t}_{<0}\underbrace{(\alpha_s,\alpha_t)}_{\leq0}\geq 0.\] 所以 \((u_+, u_+) < 0\)\((u_-, u_-)<0\) 中至少有一个成立,不妨设 \((u_+, u_+)<0\)。如果 \(I_-\cup I_0\) 不是空集,那么 \(I_+\) 作为从 \(\Gamma\) 中删去 \(I_-\cup I_0\) 后得到的真子图包含 time-like 的向量 \(u_+\),这与 \(\Gamma\) 的 level 等于 1 矛盾。所以 \(I=I_+\),即所有系数 \(u_s\) 都大于 0。相应地如果是 \((u_-,u_-)<0\) 的话则所有 \(u_s\) 都小于 0。

对断言 2 我们仍然采用类似的记号,记 \[I_+=\{s\in S\mid v_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid v_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid v_s=0\}.\] 并记 \(v_+=\sum_{s\in I_+}v_s\alpha_s\)\(v_-=\sum_{t\in I_-}v_t\alpha_t\),则同样有 \((v_+,v_-)\geq0\)

我们想证明 \(|I_0|\leq1\),并且 \(I_+\)\(I_-\) 中必有一个是空集。

如果 \(|I_0|\geq2\),那么 \((v, v)=0\) 说明删除 \(I_0\) 以后得到的子图不是有限的,这与 \(\Gamma\) 的 level 是 1 和 定理 1.2 矛盾。所以 \(|I_0|\leq 1\)

如果 \(I_+,\,I_-\) 都不是空集的话,则 \(v_+,v_-\) 都非零,并且必然有 \((v_+, v_+)\geq0\)\((v_-, v_-)\geq0\),否则删掉 \(I_+\) 或者 \(I_-\) 以后剩下的子图不是有限或者仿射的,与 \(\Gamma\) 的 level 是 1 矛盾。然而 \[0=(v, v) = (v_+,v_+) + (v_-,v_-) + 2(v_+,v_-).\] 三个非负数的和等于 0,只能是 \((v_+,v_+) = (v_-,v_-) =(v_+, v_-)=0\)。现在分情况讨论:

  1. 如果 \(|I_0|=1\),那么删掉 \(I_-\cup I_0\) 会至少删掉两个顶点,但 \((v_+,v_+)=0\) 说明剩下的子图不是有限的,与 \(\Gamma\) 的 level 是 1 和 定理 1.2 矛盾。
  2. 如果 \(I_0=\emptyset\),则 \(S=I_+\cup I_-\)。然而 \((v_+,v_-)=\sum_{s\in I_+,\,t\in I_-}v_sv_t(\alpha_s,\alpha_t)=0\) 说明对任何 \(s\in I_+,\,t\in I_-\)\((\alpha_s,\alpha_t)=0\),从而 \(I_+\)\(I_-\)\(\Gamma\) 分成互不连通的两个集合,这与 \(\Gamma\) 连通矛盾。

总之 \(I_+\)\(I_-\) 必有一个是空集,断言 2 得证。

至此定理得证。\(\blacksquare\)

推论 2.4. \(W\) 的 level 为 1,则 Tits 锥的闭包 \(\overline{ \mathcal{C} }\) 等于 \(\mathcal{Q}_+\) 或者 \(\mathcal{Q}_-\) 之一(加上原点)。

证明:由于 level 1 的群是双曲的,根据我们 前面对双曲情形 Tits 锥的分析\(\overline{ \mathcal{C} }\) 包含 \(\mathcal{Q}\) 的一个连通分支,不妨设为 \(\overline{ \mathcal{C} }\supset\mathcal{Q}_+\)。还要再证明反向的包含关系。为此只要证明 \(\overline{ \mathcal{C} }\subset\mathcal{Q}\)\(\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-=\emptyset\)

根据 定理 2.3,所有的基本权 \(\{\omega_s\}\) 都不是实的且两两分离,所以它们都属于 \(\mathcal{Q}\)。对任意 \(x\in\overline{\mathcal{D}}\),设 \(x=\sum_{s\in S}c_s\omega_s\),其中每个 \(c_s\geq0\),则 \[(x,x)=\sum_{s,t\in S}c_sc_t\underbrace{(\omega_s,\omega_t)}_{\leq0}\leq0.\]\(\overline{\mathcal{D}}\subset\mathcal{Q}\)\(W\) 作为正交变换群保持 \(\mathcal{Q}\) 不变,所以 \(\mathcal{C}=\bigcup\limits_{w\in W}w\overline{\mathcal{D}}\subset\mathcal{Q}\),从而 \(\overline{ \mathcal{C} }\subset\mathcal{Q}\)

还需要说明 \(\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-=\emptyset\)。首先注意到 \(\mathcal{C}^\ast\) 必然包含某个 time-like 的向量 \((z,z)<0\)。若不然,则 \(\mathcal{C}^\ast\) 中的非零向量都是 light-like 的。由于 \((\cdot,\cdot)\) 是双曲的,\(\mathcal{C}^\ast\) 不能包含两个线性无关的 light-like 的向量(否则它们的正线性组合会得到 time-like 的向量,这个向量属于 \(\mathcal{C}^\ast\)),所以 \(\mathcal{C}^\ast\) 由一个 light-like 的向量 \(\delta\) 生成。取对偶得到 \(\overline{ \mathcal{C} }=\{v\in V\mid (v,\delta)\geq0\}\),这是一个半空间,显然包含 space-like 的向量,这与 \(\overline{ \mathcal{C} }\subset\mathcal{Q}\) 矛盾。所以我们确实可以取 \(z\in\mathcal{C}^\ast\) 满足 \((z,z)<0\)。显然 \(z\in\mathcal{Q}_-\),于是对任何 \(x\in\mathcal{Q}_-\)\((z,x)<0\),而 \((z,\overline{ \mathcal{C} })\geq0\),从而 \(\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-=\emptyset\)\(\blacksquare\)

下面的结论来自 Maxwell (1989)

命题 2.5. \(s\in S\) 使得如下条件成立:

  1. \((\omega_s,\omega_s)=0\)
  2. 子图 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 是不可约、仿射的。
  3. 对任何 \(t\ne s\)\((\omega_s,\omega_t)<0\)

\(I=S\setminus\{s\}\),则对任意的 \(p\in\overline{\mathcal{D}}\) 都有 \(\omega_s\in\overline{ \mathrm{cone}(\bigcup_{w\in W_I}wp) }\)

注意这里没有要求 \(W\) 必须是双曲的,也没有限制 \(W\) 的 level。

此外 \(\bigcup_{w\in W_I}wp\) 是一个无限集,\(\mathrm{cone}(\bigcup_{w\in W_I})\) 未必是闭的,因此闭包记号不可少。

\(W\) 的 level 是 1 时,若 \(\omega_s\) 是一个位于双曲空间边界上的理想顶点,则命题的条件都满足。这时经过 \(\omega_s\) 的那些镜面生成的椭圆子群会把基本区域无限压缩到 \(\omega_s\) 附近,如下图所示:

证明:由已知子空间 \(V_I=\mathrm{span}\{\alpha_t,\,t\ne s\}\) 是仿射的,并且 \(\mathrm{rad}(V_I)\) 是一维的。由 \[\omega_s = \underbrace{(\omega_s,\omega_s)}_{=0}\alpha_s + \sum_{t\ne s}(\omega_s, \omega_t)\alpha_t = \sum_{t\ne s}(\omega_s, \omega_t)\alpha_t\in V_I,\] 所以 \(\mathbb{R}\omega_s=\mathrm{rad}(V_I)\)。于是 \(W_I\) 保持 \(\omega_s\) 不动,即 \[\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ W_I\, -\, 1\ } = 0.\] 从而 \(W_I\) 同样作用在商空间 \(V_I/\mathbb{R}\omega_s\) 上,此作用给出了一个同态 \(W_I\to\mathrm{GL}(V_I/\mathbb{R}\omega_s)\)。令 \(K\) 为此同态的核,则对任何 \(w\in K\)\[w(v + \mathbb{R}\omega_s) = v + \mathbb{R}\omega_s,\quad v\in V_I.\]\[V_I\xrightarrow{\ K - 1\ }\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ W_I\, -\, 1\ } = 0.\] 由于 \(K\leqslant W_I\),所以 \[V_I\xrightarrow{\ K - 1\ }\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ K-1\ }0.\]\((K-1)^2\) 在整个 \(V_I\) 上恒为 0。

更进一步,对任何 \(w\in K\)\(w\alpha_s\) 形如 \(w\alpha_s=\alpha_s+\sum\limits_{t\ne s}c_t\alpha_t\),所以 \((w-1)\alpha_s\in V_I\),从而 \[V\xrightarrow{\ K-1\ } V_I\xrightarrow{\ K - 1\ }\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ K-1\ }0.\]\((K-1)^2V\subset\mathbb{R}\omega_s\)\((K-1)^3V\equiv0\)

如果 \(p\)\(\omega_s\) 的正倍数,则结论是平凡的。否则取 \(w\in K\)\(w\ne 1\),由于 \(w\)\(V_I\) 上不是恒等变换,所以存在 \(t\in I\) 使得 \(w\alpha_t\ne\alpha_t\)。设 \(w\alpha_t=\alpha_t+a\omega_s,\,a\ne 0\),并构造换位子 \(w_1=twtw^{-1}\in K\),则由 \((K-1)^2V\subset\mathbb{R}\omega_s\)\((w_1-1)^2p=b\omega_s,\,b\in\mathbb{R}\)。我们来计算 \(b\)

\(\beta = w\alpha_t=\alpha_t+a\omega_s\),则 \(wtw^{-1}=s_\beta\),所以 \[\begin{align*} s_\beta(p)&=p - 2(p,\beta)\beta\\ &=p-2(p,\beta)(\alpha_t+a\omega_s)\\ &=p-2(p,\beta)\alpha_t-c\omega_s\\ &=p-2(p,\alpha_t+a\omega_s)\alpha_t-c\omega_s\\ &=p-2(p,\alpha_t)\alpha_t- 2a(p, \omega_s)\alpha_t - c\omega_s\\ &=t(p) - 2a(p, \omega_s)\alpha_t - c\omega_s. \end{align*}\] 其中 \(c=2(p,\alpha_t+a\omega_s)a\) 是实数。于是 \[(w_1-1)p=ts_\beta(p)-p=-2a(p, \omega_s)t(\alpha_t) - ct(\omega_s)=2a(p,\omega_s)\alpha_t - c\omega_s.\label{eq:wp1}\tag{1}\] 其中我们利用了 \(t(\alpha_t)=-\alpha_t\)\(t(\omega_s)=\omega_s\)。继续由于 \((w_1-1)\omega_s=0\),所以 \[(w_1-1)^2p = 2a(p,\omega_s)(w_1-1)\alpha_t.\label{eq:wp2}\tag{2}\] 对于 \((w_1-1)\alpha_t\),我们可以在 \((\ref{eq:wp1})\) 式中取 \(p=\alpha_t\),得到 \[(w_1-1)\alpha_t=2a\underbrace{(\alpha_t,\omega_s)}_{=0}\alpha_t -c\omega_s=-c\omega_s= -2(\alpha_t,\alpha_t+a\omega_s)a\omega_s=-2a\omega_s.\] 将其代入 \((\ref{eq:wp2})\) 中我们得到 \((w_1-1)^2p=-4a^2(p,\omega_s)\omega_s\),即 \(b=-4a^2(\omega_s,p)\)。由于 \(p\in\overline{\mathcal{D}}=\mathrm{cone}(\Delta^\ast)\)\(\Delta^\ast\) 的非负线性组合,设 \(p=\sum c_t\omega_t,\,c_t\geq0\),则 \((p,\omega_s)=\sum_{t\ne s}c_t(\omega_s,\omega_t)\)。又由于 \(p\)\(\omega_s\) 不共线,所以至少有一个 \(t\ne s\) 满足 \(c_t>0\)。而已知对任何 \(t\ne s\)\((\omega_s,\omega_t)<0\),所以 \((\omega_s, p)<0\),从而 \(b>0\)

最后利用 \((w_1-1)^3=0\)\((w_1-1)^2p=b\omega_s\) 我们得到对任何 \(N\geq 1\)\[w_1^N(p)=(1 + w_1-1)^N(p)= p + \binom{N}{1}(w_1-1)(p) + \binom{N}{2}b\omega_s,\] 可见 \(\lim\limits_{N\to\infty}\dfrac{w_1^Np}{\binom{N}{2}b} = \omega_s\),即得所证。\(\blacksquare\)

Level 2 也是双曲的

本节我们在上一小节的结论中再进一步,证明 level 2 的群也是双曲的。论证会更加繁琐一些。

定理 3.1. level 等于 2 的群都是双曲的,所有的基本权两两分离。\(\omega_s\in\Delta^\ast\) 是实的当且仅当 \(T\setminus\{s\}\) 的 level 等于 1,且对这样的 \(\omega_s\)\(0<(\omega_s,\omega_s)\leq 1\)

证明:我们先来证明 \(\Gamma\) 是双曲的。

如果 \(\Gamma\) 是不连通的,则 \(\Gamma\) 必须是一个 level 为 1 的子图和一个独立顶点的并,由于 定理 2.3 已经证明了 level 1 的群是双曲的,再加上一个独立顶点仍然是双曲的,所以 \(\Gamma\) 是双曲的。于是我们不妨假设 \(\Gamma\) 是连通的。

再针对 \(\Gamma\) 的顶点个数是否大于 3 分别处理。在 \(\Gamma\) 只包含 3 个顶点的情形,\(\Gamma\) 的 level 是 2 说明其必然有一条边的 Vinberg 标号小于 -1。不妨设 \((\cdot,\cdot)\) 的 Gram 矩阵形如 \[\begin{pmatrix}1&a&b\\a&1&c\\b&c&1\end{pmatrix}.\] 其中 \(a,\,b,\,c\leq0\)\(a < -1\)。这个矩阵的行列式是 \[1 - a^2 + 2abc - b^2-c^2 = 1-a^2 + 2bc(a+1)-(b+c)^2<0.\] 由于矩阵的迹等于 3,所以其符号必然是 \((2, 1)\),从而是双曲的。

再处理 \(\Gamma\) 包含至少 4 个顶点的情形。

仍然根据 引理 2.2,如果 \(\Gamma\) 不是双曲的,则我们可以取两个非零且正交的向量 \(u,v\) 满足 \((u, u)<0,\,(v, v)=0\)

我们也有如下两个断言:

  1. 任何满足 \((u,u)<0\) 的向量 \(u=\sum_{s\in S}u_s\alpha_s\) 除去至多一个系数 \(u_j\) 之外,其它的 \(u_s\) 都非零且同号。
  2. 任何满足 \((v,v)=0\) 的向量 \(v=\sum_{s\in S}v_s\alpha_s\) 除了满足断言 1 的情形之外,还有一种情形是 \(\{v_s\}\) 中有两个是 0,其余的非零且同号。

我们仍然把断言的证明放在后面,先承认它们是正确的并完成证明。

由于 \(u\) 的系数 \(\{u_s\}\) 中至多只有一个是 0,\(v\) 的系数 \(\{v_s\}\) 中至多只有两个是 0,而 \(|\Gamma|\geq4\),所以存在下标 \(i\) 使得 \(u_i,\,v_i\) 均不为 0。于是 \(u'=v_iu-u_iv\) 仍然满足 \(u'\)\(v\) 正交和 \((u',u')<0\),但是它的下标 \(i\) 的系数 \(u'_i=0\),所以我们不妨一开始就取 \(u\)\(u'\),于是 \(u\) 有一个系数 \(u_i=0\),其它系数都非 0 且同号,不妨假设这些非零系数都大于 0。

现在我们已经有了 \(v_i\ne0\),由于 \(\{v_s\}\) 中至多只有两个为 0,而 \(|\Gamma|\geq4\),所以 \(\{v_j,\,j\ne i\}\) 中至少还有一个非零。

  • 如果 \(\{v_j,\,j\ne i\}\) 中仅有一个非零,则这时必有 \(|\Gamma|=4\)\(v\) 形如 \(v=v_i\alpha_i + v_j\alpha_j\)。根据 定理 1.2 \({\rm span}\{\alpha_i,\alpha_j\}\) 是有限/或者仿射的,但是由于此平面包含 \((v,v)=0\),所以是仿射的,从而 \((\alpha_i,\alpha_j)=-1\)。我们可以不妨把 \(v\) 取为 \(v=\alpha_i+\alpha_j\)

    \(i\) \(j\) \(k\) \(m\)
    \(u\) 0 \(>0\) \(>0\) \(>0\)
    \(v\) \(\ne0\) \(\ne0\) 0 0

    \(u_i=0\) 说明 \(u\) 形如 \(u=u_j\alpha_j+u_k\alpha_k+u_m\alpha_m\)。 由 \((u,v)=0\)\[(u, v)=(u_j\alpha_j+u_k\alpha_k+u_m\alpha_m, v)=(u_k\alpha_k+u_m\alpha_m, \alpha_i+\alpha_j)=0,\] 由于 \(\{\alpha_k,\alpha_m\}\)\(\{\alpha_i,\alpha_j\}\) 之间的内积都小于等于 0,而 \(u_k,u_m\) 大于 0,这说明 \[(\alpha_k,\alpha_i) = (\alpha_k,\alpha_j) =(\alpha_m, \alpha_i) =(\alpha_m,\alpha_j)=0.\] 即顶点 \(\{i, j\}\)\(\{k,m\}=\Gamma\setminus\{i,j\}\) 是不连通的,与 \(\Gamma\) 连通矛盾。

  • 如果 \(\{v_j,\,j\ne i\}\) 至少有两个非零,则可以取下标 \(j,k\) 使得 \(v_j/u_j\ne0,\,v_k/u_k\ne0\)

    \(i\) \(j\) \(k\) \(\cdots\)
    \(u\) 0 \(>0\) \(>0\) \(>0\)
    \(v\) \(<0\) \(\ne0\) \(\ne0\) \(\cdots\)

    由于 \(v_i\ne0\),通过选择 \(v\) 或者 \(-v\) 可以不妨设 \(v_i<0\),并不妨设 \(v_j/u_j\leq v_k/u_k\)。记 \(a=v_j/u_j\),则 \(u'=au-v\) 满足 \((u',u')<0\),但是 \(u'_i=-v_i>0\)\(u'_j=0\)\(u'_k\leq 0\),这与上面断言中 \(u'\) 的系数除去至多一个例外,剩下的均非零且同号矛盾。

至此我们证明了当 \(\Gamma\) 的 level 等于 2 时是双曲的。

我们接下来证明所有的基本权 \(\{\omega_s\}\) 是两两分离的。

仍然利用恒等式

\[\begin{align*} \omega_s &= (\omega_s,\omega_s)\alpha_s + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)\alpha_t,\\ 1 &= (\omega_s,\omega_s) + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)\underbrace{(\alpha_t,\alpha_s)}_{\leq0}.\end{align*}\]

并分情况讨论:

  • 如果 \((\omega_s,\omega_s)\leq0\),则根据第二个等式,\(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 中必然至少有一个严格小于 0,从而根据断言,在 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 中至多有一个为正。但我们将证明这不可能。否则不妨设 \(k\ne s\) 使得 \((\omega_s,\omega_k)>0\)。在第一个等式两边用 \(\alpha_k\) 内积得到 \[0=(\omega_s,\omega_s)(\alpha_s,\alpha_k) +\sum_{t\ne s,k} (\omega_s,\omega_t)(\alpha_t,\alpha_k) + (\omega_s,\omega_k).\] 上面的和项前两个都非负,最后一个大于 0,矛盾。所以所有的 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 都非正。

  • 如果 \((\omega_s,\omega_s)>0\),则其正交补 \(U=\omega_s^\bot={\rm span}\{\alpha_t,\,t\ne s\}\) 是双曲的,即 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 的 level 是 1。考虑 \(\alpha_s\)\(U\) 上的正交投影 \(\alpha_s'=\alpha_s-\omega_s/(\omega_s,\omega_s)\)\(\alpha_s'\) 满足对任何 \(t\ne s\)\((\alpha_s',\alpha_t)\leq0\),从而 \(-\alpha_s'\) 属于 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 的基本区域的闭包 \(\overline{\mathcal{D}}_s=\mathrm{cone}(\{\omega_t,t\ne s\})\subset U\)。而根据 推论 2.4\(\overline{\mathcal{D}}_s\) 中的点都是 time-like 或者 light-like 的,并且属于 \(\mathcal{Q}\) 的同一个连通分支(此 \(\mathcal{Q}\)\(U\)\((v,v)\leq0\) 构成的集合),从而 \((\alpha_s',\alpha_s')= 1-(\omega_s,\omega_s)^{-1}\leq0\),即 \(0<(\omega_s,\omega_s)\leq1\),以及对任何 \(t\ne s\)\((-\alpha_s',\omega_t)=(\omega_s,\omega_t)/(\omega_s,\omega_s)\leq0\),即 \((\omega_s,\omega_t)\leq 0\),于是所有的 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 都非正。

总之我们证明了不论 \((\omega_s,\omega_s)\) 的符号如何,它与其它的基本权的内积 \((\omega_s, \omega_t)\) 都非正。

又因为对任何 \(s,t\)\(\Gamma\setminus\{s,t\}\) 是有限或者仿射的,所以其正交补,即 \(\{\omega_s,\omega_t\}\) 张成的二维子空间不是正定的,从而 \(\{\omega_s\}\) 之间是两两分离的。

我们需要考虑 \(\alpha_s\) 的投影 \(\alpha_s'\) 是因为 \(\alpha_s\) 不属于 \({\rm span}\{\alpha_t,\,t\ne s\}\),无法直接根据 \((\alpha_s,\alpha_t)\leq0\) 得出 \(-\alpha_s\) 属于 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 的基本区域的闭包。

最后我们来补上断言的证明。

首先是断言 1 的证明。和 level 1 那里的证明一样,我们仍然记 \[I_+=\{s\in S\mid u_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid u_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid u_s=0\}.\] 并记 \(u_+=\sum_{s\in I_+}u_s\alpha_s\)\(u_-=\sum_{t\in I_-}u_t\alpha_t\)。则 \((u,u)<0\)\((u_+,u_-)\geq0\) 说明 \((u_+, u_+) < 0\)\((u_-, u_-)<0\) 中至少有一个成立。

如果 \(|I_0|\geq2\),则 \((u,u)<0\)\(\Gamma\) 的 level 是 2 矛盾。所以 \(|I_0|\leq 1\)

  1. 如果 \(I_+,I_-\) 都不是空集,则 \(u_+,\,u_-\) 均不为 0。由于 \((u_+, u_+) < 0\)\((u_-, u_-)<0\) 中至少有一个成立,不妨设 \((u_+,u_+)<0\),结合 \(\Gamma\) 的 level 是 2,这要求 \(|I_-\cup I_0|\leq 1\),从而只能是 \(|I_-|=1,\, I_0=\emptyset\)。即系数全部非 0 且恰好有一个异号。
  2. 如果 \(I_+,I_-\) 中有一个是空集,不妨设 \(I_-=\emptyset\),我们仍然有 \(|I_-\cup I_0|=|I_0|\leq1\)。即系数至多有一个为 0 且其它的均同号。

总之我们证明了除去至多一个系数之外,其它的系数均非 0 且同号。断言 1 得证。

对断言 2,类似地我们记 \[I_+=\{s\in S\mid v_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid v_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid v_s=0\}.\] 并记 \(v_+=\sum_{s\in I_+}v_s\alpha_s\)\(v_-=\sum_{t\in I_-}v_t\alpha_t\)

首先 \(|I_0|\leq2\) 是显然的,否则 \((v,v)=0\)\(\Gamma\) 的 level 是 2 和 定理 1.2 矛盾。

  1. 如果 \(I_0\ne\emptyset\),则 \(I_+,I_-\) 中必有一个为空。否则 \(|I_+\cup I_0|\geq2,\,|I_-\cup I_0|\geq2\)。level 2 要求 \((v_+,v_+)\geq0,\,(v_-,v_-)\geq0\),从而 \((v,v)=0\)\((v_+,v_-)\geq0\) 导致 \((v_+,v_+)=(v_-, v_-)=(v_+,v_-)=0\)。由于 \(\Gamma\) 至少包含 4 个顶点,所以 \(I_+,\,I_-\) 中必有一个包含两个或者更多的顶点。不妨设 \(|I_+|\geq2\),则删除 \(I_+\cup I_0\) 会至少删掉 3 个顶点,但得到的子图不是正定的,与 \(\Gamma\) 的 level 等于 2 矛盾。所以系数 \(\{v_s\}\) 中如果有 0 的话,则至多只有两个 0,且剩下的都同号。
  2. 如果 \(I_0=\emptyset\) 是空集,则要么 \(I_+,I_-\) 中有一个也是空集,从而所有的系数都非 0 且同号;要么 \(v_+,\,v_-\) 均不为 0。这时 \(\Gamma\) 连通说明 \((v_+,v_-)>0\),结合 \((v,v)=0\) 可以得出 \((v_+,v_+) < 0\)\((v_-, v_-)<0\) 中至少有一个成立。不妨设 \((v_+,v_+)<0\),则 level 2 要求 \(|I_-|\leq1\),即 \(\{v_s\}\) 均非零且恰有一个元素与其它元素异号。

至此断言 2 得证,从而定理得证。\(\blacksquare\)

level = 1, 2 等价于双曲和分离

定理 4.1. 下面两点是等价的:

  1. \(\Gamma\) 的 level 等于 1 或 2;
  2. \(\Gamma\) 是双曲的,且任何两个权都互相分离。

证明

\(1\Rightarrow 2\):只要再证明对任何 \(w\in W\),以及两个基本权 \(\omega_i,\,\omega_j\),如果有 \(\omega_i\ne w(\omega_j)\),则 \((\omega_i,w(\omega_j))\leq0\),并且二维子空间 \(\{\omega_i,w(\omega_j)\}\) 不是正定的。

对长度 \(l(w)\) 归纳:\(l(w)=0\) 的情形在 定理 2.3定理 3.1 中已经证明。下面假设 \(l(w)>0\),且结论对所有长度 \(<l(w)\) 的群元素成立。

  1. 如果存在 \(k\ne i\) 使得 \(l(s_kw)<l(w)\),则 \(\omega_i=s_k(\omega_i)\ne s_kw(\omega_j)\),由归纳假设 \(\{\omega_i,s_k(\omega_j)\}\) 是分离的,从而 \(\{\omega_i,\omega_j\}\) 作为 \(\{\omega_i,s_k(\omega_j)\}\) 的正交变换得到的向量组也是分离的。

  2. 如果对任何 \(k\ne i\) 都有 \(l(s_kw)>l(w)\),则 \(w\) 的任一既约表示必然以 \(s_i\) 开头,即 \(w\) 形如 \(w=s_iw'\)\(l(w)>l(w')\)。从而 \[(\omega_i,w(\omega_j))=(s_i(\omega_i), w'(\omega_j))=(\omega_i, w'(\omega_j))-2(\alpha_i,w'(\omega_j)).\]

    • 如果 \(\omega_i\ne w'(\omega_j)\),则由归纳假设上面第一项 \((\omega_i, w'(\omega_j))\leq0\)。第二项由于 \(l(s_iw')>l(w')\),即 \(l(w'^{-1}s_i)>l(w'^{-1})\),所以 \(w'^{-1}\alpha_i\in\Phi^+\),从而 \((w'^{-1}\alpha_i, \omega_j)\geq0\),即 \((\alpha_i, w'(\omega_j))\geq0\),所以 \((\omega_i,w(\omega_j))\leq0\) 成立。
    • 如果 \(\omega_i=w'(\omega_j)\),则 \(s_i(\omega_i)=w(\omega_j)\),于是 \[(\omega_i, w(\omega_j))=(\omega_i, s_i(\omega_i))=(\omega_i,\omega_i-2\alpha_i)=(\omega_i, \omega_i)-2 <0.\] 其中最后一个不等号是利用了 定理 2.3定理 3.1 的结论:若 \(\Gamma\) 的 level 是 1 则 \((\omega_i, \omega_i)\leq0\),若 \(\Gamma\) 的 level 是 2 则 \((\omega_i,\omega_i)\leq 1\)

    为了证明 \({\rm span}\{\omega_i,w(\omega_j)\}\) 不是正定的,用反证法。我们先插入一个简单的线性代数引理,它的证明很简单,我这里省略。

    引理:在一个内积空间中,设 \(x\) 是一个向量,\(U\) 是一个子空间,\(v\)\(x\)\(U\) 上的投影分量,\(U_1\)\(v\)\(U\) 中的正交补,则 \(U_1=x^\bot\cap U\)

    回到反证法。如果二维子空间 \({\rm span}\{\omega_i,w(\omega_j)\}\) 是正定的,设 \(v\)\(w(\omega_j)\)\[U=\omega_i^\bot={\rm span}\{\alpha_k,\,k\ne i\}\] 上的投影分量,\(U_1\)\(v\)\(U\) 中的正交补,则 \[U_1=w(\omega_j)^\bot\cap U=w(\omega_j)^\bot\cap\omega_i^\bot=\{\omega_i,w(\omega_j)\}^\bot\] 是一个 time-like 的子空间,所以 \(v\in U_1^\bot\) 是 space-like 的:\((v,v)>0\)。然而对任何 \(k\ne i\),由于 \(\alpha_k\in U\) 所以 \((\alpha_k, w(\omega_j)-v)=0\),所以 \[(v,\alpha_k) = (w(\omega_j),\alpha_k)=(\omega_j, w^{-1}\alpha_k).\] \(l(s_kw)>l(w)\) 说明 \(w^{-1}\alpha_k\in\Phi^+\),所以 \((\omega_j, w^{-1}\alpha_k)\geq0\),即 \((v,\alpha_k)\geq0\)。这对任何 \(k\ne i\) 都成立所以 \(v\) 属于 \(\Gamma\setminus\{i\}\) 的基本区域的闭包。但是根据反证假设 \(\omega_i\) 是实的,所以 \(\Gamma\setminus\{i\}\) 的 level 是 1,它的基本区域的闭包中的点都是 time-like 或者 light-like 的,从而必须有 \((v, v)\leq0\),这与 \(v\) 是 space-like 的矛盾。

\(2\Rightarrow 1\):由于内积 \((\cdot,\cdot)\) 是双曲的,而子空间 \(\mathrm{span}\{\omega_i,\omega_j\}\) 不是正定的,所以其正交补是正定或者半正定的。于是 \(\Gamma\setminus\{i,j\}\) 是有限或者仿射的,从而 \(\Gamma\) 的 level 等于 1 或 2。

这里考虑 \(w(\omega_j)\) 的投影分量 \(v\) 的理由同样是因为 \(w(\omega_j)\) 未必属于 \({\rm span}\{\alpha_k,\,k\ne i\}\),所以由 \((w(\omega_j),\alpha_k)\geq0\) 无法得出 \(w(\omega_j)\) 属于 \(\Gamma\setminus\{i\}\) 的基本区域。

References

Maxwell, George. 1982. “Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups.” Journal of Algebra 79 (1): 78–97. https://doi.org/10.1016/0021-8693(82)90318-0.
———. 1989. “Wythoff’s Construction for Coxeter Groups.” Journal of Algebra 123 (2): 351–77. https://doi.org/10.1016/0021-8693(89)90051-3.

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