从 Coxeter 群到双曲球堆(二):根系

书接 上文,我们来分析 Coxeter 群的根系的性质。

根系

定义 1.1. 我们称集合 \[\Phi=\{w\alpha_s\mid w\in W, \, s\in S\}\]\((W, S)\)根系,任何 \(\lambda\in\Phi\) 叫做根向量,简称为\(\Delta=\{\alpha_s\mid s\in S\}\) 叫做单根系,其中的根叫做单根。由于 \(\Delta\) 构成 \(V\) 的一组基,所以 \(\Phi\) 中任何根 \(\lambda\) 都是单根的线性组合: \[\lambda = \sum_{s\in S}c_s\alpha_s,\quad c_s\in\mathbb{R}.\] 如果上面的所有系数 \(c_s\) 都非负,就称 \(\lambda\) 是一个正根;若所有系数 \(c_s\) 都非正,就称 \(\lambda\) 是一个负根。正根和负根组成的集合分别记作 \(\Phi^+\)\(\Phi^-\),显然 \(\Phi^+\cap\Phi^-=\emptyset\)

这里有个问题:每个根都必然是正根或者负根吗?即是否有 \(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\) 成立?虽然答案是肯定的,但这并不显然。为此我们需要一个关键引理。这个引理的证明有点长,但是它非常重要,Coxeter 群的几乎所有性质的证明多少都会用到它。在引入它之前,我们需要做一点小小的准备。

\(I\subseteq S\)\(S\) 的子集,\(I\) 中的生成元在 \((W,S)\) 中生成一个子群 \(W_I \leqslant (W,S)\)\(W_I\) 叫做标准椭圆子群。记 \(l_I(\cdot)\)\(W_I\) 上的长度函数,则显然对任何 \(w\in W_I\)\(l(w)\leq l_I(w)\) 成立(因为 \(W_I\) 中的最短表示放到 \(W\) 里可能进一步缩短)。我们后面会看到 \(l_I=l\mid_{W_I}\),但现在我们暂时还证明不了它。

现在我们给出一个重要的引理,不夸张地说,几乎所有 Coxeter 群性质的证明中多少都要用到它。

引理 1.2. \(s\in S,\, w\in W\),则

  1. \(l(ws) > l(w)\) 当且仅当 \(w\alpha_s\in\Phi^+\)
  2. \(l(ws) < l(w)\) 当且仅当 \(w\alpha_s\in\Phi^-\)

这里 1 和 2 是等价的:如果 1 成立,则

\[ \begin{align*} l(ws)<l(w)&\Leftrightarrow l((ws)s) > l(ws)\\ &\Leftrightarrow ws(\alpha_s)\in\Phi^+\\ &\Leftrightarrow w(-\alpha_s)\in\Phi^+\\ &\Leftrightarrow w\alpha_s\in\Phi^-. \end{align*} \]

所以只需要证明 1 即可。

我们先证明充分性:若 \(l(ws)>l(w)\)\(w\alpha_s\in\Phi^+\)

\(l(w)\) 归纳:\(l(w)=0\)\(w=1\),结论显然成立。下面设结论对所有长度小于 \(l(w)\) 的元素成立。

我们总是可以取 \(t\ne s\) 使得 \(l(wt)<l(w)\),比如 \(t\) 取为 \(w\) 的某个既约表达式的最后一项。令 \(I=\{s,t\}\),定义 \[A = \{(x,x_I)\in W\times W_I\mid w=xx_I,\,l(w)=l(x)+l_I(x_I)\}.\] 由于 \((wt,t)\in A\) 所以 \(A\) 不是空集。取 \((v,v_I)\in A\) 使得 \(l(v)\) 取得最小值,则 \(l(v)\leq l(wt)=l(w)-1\)。我们断言对任何 \(u\in I\) 都有 \(l(vu)>l(v)\)。若不然,则 \(l(vu)=l(v)-1\),于是 \[\begin{align*} l(w)&=l(vu\cdot uv_I)\leq l(vu) + l(uv_I) = (l(v) -1) + l(uv_I)\\ &\leq (l(v) -1) + l_I(uv_I)\\ &\leq (l(v) -1) + (l_I(v_I) + 1)\\ & = l(v) + l_I(v_I)=l(w). \end{align*}\] 于是所有的不等号都是等式,从而 \((vu,uv_I)\in A\),但这与 \((v,v_I)\) 的选择矛盾。所以不论 \(u=s\) 或是 \(u=t\) 都有 \(l(vu)>l(v)\)

由于 \(l(v)\leq l(w)-1\) 所以根据归纳假设 \(v\alpha_s,\,v\alpha_t\) 都是正根。如果我们能够证明 \(v_I\alpha_s\)\(\alpha_s\)\(\alpha_t\) 的非负线性组合:\[v_I\alpha_s = a\alpha_s + b\alpha_t,\quad a,\,b\geq0,\]\[w\alpha_s=vv_I\alpha_s=v(a\alpha_s + b\alpha_t)=av\alpha_s + bv\alpha_t\in\Phi^+.\] 这就证明了结论。

首先注意到 \(v_I\in W_I\) 的任何既约表示都是 \(s,t\) 的交错乘积,而且不能以 \(s\) 结尾,否则 \(l_I(v_Is)=l_I(v_I)-1\),从而 \[l(ws)=l(vv_Is)\leq l(v) + l(v_Is)\leq l(v)+l_I(v_Is)=l(v)+l_I(v_I)-1=l(w)-1.\] 这与 \(l(ws) > l(w)\) 矛盾!

于是 \(v_I\) 形如 \(v_I=st\cdots t\) 或者 \(v_I=ts\cdots t\),问题归结为分析这样的 \(v_I\)\(\alpha_s\) 上的作用。这个我们已经在 前一篇文章中计算过了

  1. \(m=m_{s,t}<\infty\) 时,\[\alpha_s\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 其中 \(\theta=\pi/m\)。这个链的第 \(k\) 项形如 \[ \begin{cases} \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha_s + \dfrac{\sin (k-1)\theta}{\sin\theta}\alpha_t, & \text{$k$ odd},\\ \newline \dfrac{\sin (k-1)\theta}{\sin\theta}\alpha_s + \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha_t, & \text{$k$ even}. \end{cases} \] 看起来并不是每一项都是 \(\alpha_s,\alpha_t\) 的非负线性组合,但是前 \(m\) 项都是,这就足够了:由于 \(v_I\) 的任何既约表示不能以 \(s\) 结尾,所以 \(v_I\) 可能的取值是二面体群 \(D_m\) 中所有长度小于 \(m\) 且以 \(t\) 结尾的那些元素: \[1,\ t,\ st,\ \ldots,\ \overbrace{\ast\cdots\ast t}^{\leq m-1},\] 它们正好构成序列的前 \(m\) 项。

    为什么 \(v_I\) 的长度不能等于 \(m\)?因为根据辫关系 \[\overbrace{sts\cdots}^{m_{s,t}}=\overbrace{tst\cdots}^{m_{s,t}}.\]\(v_I\) 会等于以 \(s\) 结尾的另一个既约表示,与 \(v_I\) 的任何既约表示不能以 \(s\) 结尾矛盾。

  2. \(m=m_{s,t}=\infty\) 时,仍然记 \(\cosh\theta=a_{s,t},\,\theta\geq0\),则 \[\alpha_s\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 每一项都是 \(\alpha_s,\alpha_t\) 的非负线性组合。

\(\theta=0\) 时,\(W_{s,t}\) 是一维直线上两个平行镜面生成的(仿射)反射群(包含了平移),它可以处理成二维平面上的线性反射群:

\(\theta>0\) 时,\(W_{s,t}\) 是双曲空间中两个超平行的镜面生成的双曲反射群,它也可以处理成二维平面上的线性反射群:

必要性的证明:

我们要证明若 \(w\alpha_s\in\Phi^+\)\(l(ws)>l(w)\)。若不然,则 \(l(w)=l(wss)>l(ws)\),从而由充分性的证明知道 \(ws\alpha_s\in\Phi^+\),即 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),矛盾!至此关键引理得证。\(\blacksquare\)

引理 1.2 出发我们可以得到许多重要推论:

推论 1.3. 如果 \(w\in W\) 满足对任何 \(v\in V\)\(wv=v\)\(w=1\)。即表示 \(\rho: W\to{\rm GL}(V)\) 是忠实的。

证明:若 \(w\ne 1\),则存在 \(s\in S\) 使得 \(l(ws)<l(w)\),从而 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),这与 \(w\alpha_s=\alpha_s\) 矛盾。

推论 1.4. 每个根不是正根就是负根,即 \(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\)

证明:由定义任何 \(\lambda\in\Phi\) 可以表示为 \(\lambda=w\alpha_s\)。若 \(l(ws)>l(w)\)\(\lambda\in\Phi^+\),否则 \(\lambda\in\Phi^-\)

推论 1.5. 任何单反射 \(s\) 置换 \(\Phi^+-\{\alpha_s\}\) 中的正根,同时将 \(\alpha_s\) 变为 \(-\alpha_s\)

证明:这是因为对任何正根 \(\lambda\ne\alpha_s\in\Phi^+\),其作为单根的线性组合 \(\lambda=\sum_{t\in S}c_t\alpha_t\) 中必有某个 \(t\ne s\) 使得 \(c_t>0\),于是 \(s\lambda=\lambda-2(\lambda,\alpha_s)\alpha_s\)\(\alpha_t\) 分量保持不变仍然为正,从而根据 推论 1.4 \(s\lambda\) 必须仍然是正根。

推论 1.6. \(w\in W\),定义 \(N(w)\) 为被 \(w\) 变成负根的那些正根组成的集合: \[N(w)=\{\lambda\in\Phi^+\mid w\lambda\in\Phi^-\},\]\(|N(w)|=l(w)\)

证明:我们已经知道 \(l(w)\) 满足如下的递推关系:

\[ l(ws) =\begin{cases} l(w)+1,& w\alpha_s\in\Phi^+,\\ l(w)-1,& w\alpha_s\in\Phi^-. \end{cases} \]

以及 \(l(1)=0\)。由于 \(N(1)=\emptyset\),所以只需要证明 \(|N(w)|\) 也满足同样的递推关系即可:

\[ |N(ws)| =\begin{cases}|N(w)|+1,& w\alpha_s\in\Phi^+,\\ |N(w)|-1,& w\alpha_s\in\Phi^-.\end{cases} \]

实际上对任何 \(\lambda\in\Phi^+\)\(\lambda\ne\alpha_s\),根据 推论 1.5 \(s\lambda\) 也是正根,所以由恒等式 \[(ws)\lambda\in\Phi^- \Leftrightarrow w(s\lambda)\in\Phi^-.\] 可得当 \(\lambda\in\Phi^+-\{\alpha_s\}\) 时有 \[\lambda\in N(ws)\Leftrightarrow s\lambda\in N(w),\]\(\lambda\leftrightarrow s\lambda\) 给出了 \(N(ws)-\{\alpha_s\}\)\(N(w)-\{\alpha_s\}\) 的一一对应。除此之外,\(\alpha_s\) 必然恰好属于 \(N(ws)\)\(N(w)\) 之一:

  • \(l(ws) > l(w)\)\(w\alpha_s\in\Phi^+\Rightarrow ws\alpha_s\in\Phi^-\Rightarrow\alpha_s\in N(ws)\),这对应第一条递推关系;
  • \(l(ws)<l(w)\)\(w\alpha_s\in\Phi^-\Rightarrow\alpha_s\in N(w)\),这对应第二条递推关系。

\(\blacksquare\)

推论 1.7. \(w\in W\) 把正根仍然映射为正根,即 \(w(\Phi^+)\subseteq\Phi^+\),则 \(w=1\)

证明:若 \(w\) 将正根仍然映射为正根,则根据 推论 1.6\(l(w)=|N(w)|=0\),从而 \(w=1\)

推论 1.8. \(|W|<\infty\) 当且仅当 \(|\Phi|<\infty\)

证明:如果 \(W\) 是有限群,由于 \(\Phi=W\cdot \Delta\)\(|\Phi|\leq |W|\cdot |\Delta|\) 也是有限的。

反之若 \(|\Phi|<\infty\),由于 \(W\) 保持 \(\Phi\) 不变,所以 \(W\) 置换地作用在 \(\Phi\) 上,即有 \(W\) 到置换群 \(S_{|\Phi|}\) 的同态 \(W\xrightarrow{\varphi} S_{|\Phi|}\)推论 1.7 说明 \(\varphi\) 是嵌入,从而 \(W\) 也是有限的。

推论 1.9. \(W\) 是一个有限群,则存在唯一的元素 \(w\)\(w\)\(W\) 中长度最大者,它交换 \(\Phi^+\)\(\Phi^-\)\(w(\Phi^+)=\Phi^-\),且 \(w\) 是一个对合:\(w^2=1\)

证明:由于 \(W\) 有限所以可以任取一个长度最大的元素 \(w\)。于是对任何 \(s\in S\)\(l(ws)<l(w)\),从而 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),从而 \(w\)\(\Phi^+\) 变为 \(\Phi^-\)

由于 \(w^2\) 仍然把 \(\Phi^+\) 映射为 \(\Phi^+\),所以由 推论 1.7 \(w^2=1\),因此 \(w\) 是一个对合。

如果还存在其它的最长元素 \(w'\ne w\) 的话,则 \(w'\) 也满足 \(w'(\Phi^+)=\Phi^-\),从而 \(w^{-1}w'\) 保持 \(\Phi^+\) 不变,根据 推论 1.7\(w^{-1}w'=1\),即 \(w=w'\)

推论 1.10. \(I\subsetneqq S\) 是真子集,\(\lambda\in \Phi^+\backslash \Phi^+_I\) 是正根,则对任何 \(w\in W_I\)\(w\lambda\) 仍然是正根。

证明:注意到对任何根 \(\lambda\in\Phi\)\(s\in S\)\(s\lambda=\lambda-2(\alpha_s,\lambda)\alpha_s\)\(\lambda\)\(\alpha_s\) 的线性组合。同理 \(ts\lambda\)\(s\lambda\)\(\alpha_t\) 的线性组合,从而是 \(\lambda,\alpha_s,\alpha_t\) 的线性组合。由此可以推广到对任何 \(w=s_1s_2\cdots s_k\)\(w\lambda\)\(\lambda\)\(\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k\}\) 的线性组合: \[w\lambda=\lambda + \sum_{t\in I}c_t\alpha_t.\] 由于 \(\lambda\in \Phi^+\backslash \Phi^+_I\),所以 \(\lambda\) 表示为单根的线性组合时,其至少有一项 \(\alpha_s,\,s\notin I\) 的系数大于 0,从而 \(w\lambda\) 关于这一项的系数也大于 0,所以 \(w\lambda\) 不可能是负根。\(\blacksquare\)

推论 1.11. \(w=s_{\alpha_1}s_{\alpha_2}\cdots s_{\alpha_n}\),则对任何 \(v\in V\)\[wv = v - \sum_{i=1}^n2(v,\alpha_i)\beta_i.\] 其中 \(\beta_i=s_{\alpha_1}\cdots s_{\alpha_{i-1}}(\alpha_i)\) 是正根。(\(i=1\)\(\beta_1\) 理解为 \(\alpha_1\)

证明:对 \(n\) 归纳,\(n=1\)\(w=s_{\alpha_1}\)\(\beta_1=\alpha_1\),所以 \[wv=s_{\alpha_1}v=v-2(v,\alpha_1)\alpha_1=v-2(v,\alpha_1)\beta_1.\] 结论成立。下设结论在小于 \(n\) 时都成立。对 \(w'=s_{\alpha_2}\cdots s_{\alpha_n}\) 应用归纳假设,有 \[w'v=v - \sum_{i=2}^n2(v,\alpha_i)\beta_i'.\] 其中 \(\beta_i'=s_{\alpha_2}\cdots s_{\alpha_{i-1}}(\alpha_i)\),并且由归纳假设 \(\beta_i'\) 是正根。 于是 \[wv=s_{\alpha_1}w'v=s_{\alpha_1}v-\sum_{i=2}^n2(v,\alpha_i)s_{\alpha_1}(\beta_i')=\sum_{i=1}^n2(v,\alpha_i)\beta_i.\] 注意到每个 \(\beta_i'\)\(\{\alpha_i,2\leq i\leq i\}\) 的线性组合,它是正根说明 \(\beta_i'\ne\alpha_1\),从而 \(s_{\alpha_1}(\beta_i')=\beta_i\) 仍然是正根。于是结论对 \(n\) 也成立。\(\blacksquare\)

推论 1.12. \(w\in W_I\),则对 \(w\) 的任何既约表示 \(w=s_{i_1}\cdots s_{i_r}\) 都有 \(s_{i_1},\ldots,s_{i_r}\in I\),特别地 \(l_I(w)=l(w)\)

证明:我们从右到左依次验证 \(s_{i_r},\ldots,s_{i_1}\in I\)。记 \(s=s_{i_r}\),由于 \(l(ws)<l(w)\) 所以 \(w\alpha_s\in\Phi^-\)。又由于 \(w\in W_I\) 所以 \(w\) 形如 \(w=t_1\cdots t_q,\,t_i\in I\)。于是 \(w\alpha_s\)\(\alpha_s\) 和一些 \(\alpha_{t_i}\) 的线性组合: \[w\alpha_s=\alpha_s+\sum_{i=1}^q c_i\alpha_{t_i}.\] 由于 \(w\alpha_s<0\) 所以必然有某个 \(i\) 使得 \(s=t_i\),即 \(s\in I\)。继续对 \(ws=s_{i_1}\cdots s_{i_{r-1}}\in W_I\) 重复此论证即得每个 \(s_{i_j}\in I\)

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