从 Coxeter 群到双曲球堆(四):有限、仿射、双曲三种情形的 Tits 锥

本文来研究当 \(W\) 分别是有限、仿射和双曲三种情形时,其 Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 和对偶锥 \(\mathcal{C}^\ast\) 的结构。我们约定 \(W\) 都是不可约的。

有限

关于 Coxeter 群的一个熟知的结论是,\(W\) 是有限群当且仅当内积 \((\cdot,\cdot)\) 是正定的 (见 Humphreys 1990, sec. 6.4)。我们来证明这还等价于 \(\mathcal{C}=V^\ast\)

定理 1.1. Tits 锥 \(\mathcal{C}=V^\ast\) 当且仅当 \(W\) 是有限群。

在下图中,\(W\) 是正二十面体群 \(H_3\),红色的锥是基本区域,它在 \(W\) 的作用下铺满了整个空间,所以 \(\mathcal{C}=\mathbb{R}^3\)\(\mathcal{C}\) 与球面的交给出球面上的密铺。

证明

\(\Rightarrow\): \(\mathcal{C}=V^\ast\) 当然可以推出 \(-\mathcal{D}\in\mathcal{C}\)\(\mathcal{D}\) 是基本区域),而对任何 \(x\in-\mathcal{D}\) 都有 \(\Phi^+\subseteq \mathrm{Neg}(x)\),根据前文得到的 Tits 锥的刻画\(|\Phi^+|=|\mathrm{Neg}(x)|<\infty\),从而 \(\Phi^+\) 是有限集,从而 \(\Phi\) 也是有限集。

\(\Leftarrow\): \(W\) 是有限群说明 \(\Phi\) 也是有限的,从而对任何 \(x\in V^\ast\) 都有 \(|\mathrm{Neg}(x)|\leq |\Phi^+|<\infty\),从而 \(x\in\mathcal{C}\)\(\blacksquare\)

我们还需要另一种 \(W\) 有限的刻画方式,它在后面分析仿射和双曲的情形时会用到。

命题 1.2. \(W\) 是不可约 Coxeter 群。如果存在 \(J\subsetneqq S\) 使得 \(\Phi\setminus\Phi_J\) 是有限集,则 \(W\) 必然是有限群。

证明:由于 \(J\subsetneqq S\) 所以 \(\Phi\setminus\Phi_J\) 是非空的。我们考虑 \(W\) 的 Coxeter 图 \(\Gamma\):由于 \(W\) 不可约,所以对任何 \(s\in S\) 都存在一条连接 \(s\)\(S\setminus J\) 的路径:即存在 \(s_0,s_1,\ldots,s_m\) 使得 \[s_0=s\sim s_1\sim\cdots\sim s_m\in S\setminus J.\] 我们称 \(m\) 为这条路径的长度。所有这样的路径的最短长度是 \(s\)\(S\setminus J\) 之间的图距离,记作 \(d(s)\)。于是 \(d(s)=0\) 当且仅当 \(s\in S\setminus J\)

我们按照 \(d(s)\) 的升序对 \(S\) 重新排序,得到 \(S=\{s_1,s_2,\ldots,s_n\}\),使得对任何 \(i<j\) 都有 \(d(s_i)\leq d(s_j)\)。于是 \(S\setminus J\) 中的顶点都排在最前面,即存在 \(1\leq r<n\) 使得 \[S\setminus J=\{s_1,\ldots,s_r\}.\] 然后把 \(\Phi^+\) 拆成 \(n\) 个不相交集合的并:记 \(\Phi_i^+\) 是所有可以由 \(\{\alpha_i,\ldots,\alpha_n\}\) 张成,且 \(\alpha_i\) 项系数不为 0 的正根组成的集合: \[\Phi_i^+=\{\lambda\mid \lambda\in\Phi^+,\ \lambda=\sum_{j=i}^nc_j\alpha_j,\ c_i\ne 0\}.\] 则不难看出有 \(\Phi^+=\Phi_1^+\cup\cdots\cup\Phi^+_n\),以及 \(\Phi^+\setminus\Phi_J^+=\Phi_1^+\cup\cdots\cup\Phi^+_r\)。由于假设了 \(\Phi\setminus\Phi_J\) 是有限的,所以 \(\Phi_1^+,\ldots,\Phi^+_r\) 都是有限的。

我们用归纳法依次论证 \(\Phi^+_{r+1},\ldots,\Phi^+_{n}\) 也都是有限集:设 \(r+1\leq i\leq n\) 且已知对所有 \(j<i\)\(\Phi_1^+,\ldots,\Phi^+_j\) 都是有限集, 现在观察 \(\Phi^+_i\),注意必然有 \(d(s_i)\geq1\),所以存在 \(j<i\) 使得 \(d(s_j)<d(s_i)\)\(s_j\sim s_i\)。集合 \(s_j\Phi_i^+\) 仍然都是正根,并且它们的 \(\alpha_j\) 项系数都不是 0,从而 \(s_j\Phi_i^+\subset\Phi^+_j\),于是 \(|\Phi_i^+|\leq |\Phi^+_j|\) 从而也是有限集。

于是所有 \(\Phi^+_1,\ldots,\Phi^+_n\) 都是有限集,从而 \(\Phi\) 也是有限的。由于 \(W\)\(\Phi\) 同为有限或者无限,所以 \(W\) 是有限群,命题得证。\(\blacksquare\)

这个命题有如下的推论:

推论 1.3. 如果 \(W\) 不可约且是无限群,则 Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 满足 \(\mathcal{C}\cap-\mathcal{C}=\{0\}\),从而 \(\mathcal{C}\) 是一个点锥 (pointed cone)。

证明:由于 \[\mathcal{C}\cap-\mathcal{C}=\bigcup_{w_1,w_2\in W}w_1\overline{\mathcal{D}}\cap w_2(-\overline{\mathcal{D}}),\] 所以若 \(\mathcal{C}\cap-\mathcal{C}\ne\{0\}\) 则存在非零向量 \(x\in\overline{\mathcal{D}}\)\(w\in W\) 满足 \(-wx\in\overline{\mathcal{D}}\)。令 \[J=\{s\in S\mid \langle \alpha_s,\,x\rangle=0\},\]\(x\ne 0\) 说明 \(J\subsetneqq S\) 是真子集,且对任何 \(\lambda\in\Phi^+\setminus\Phi^+_J\) 都有 \(\langle \lambda,\,x\rangle>0\),并且对这样的 \(\lambda\)\[\langle w\lambda,\,-wx\rangle = \langle \lambda,\,-x\rangle<0.\]\(-wx\in\overline{\mathcal{D}}\),所以 \(w\lambda\) 是负根,从而 \(\Phi^+\setminus\Phi^+_J\subset\mathrm{Neg}(w)\),从而 \(|\Phi^+\setminus\Phi^+_J|\leq |\mathrm{Neg}(w)|=l(w)<\infty\),由 命题 1.2 \(W\) 是有限群,这与已知矛盾。

推论 1.4. 如果 \(W\) 不可约且是无限群,则对偶锥 \(\mathcal{C}^\ast\ne\{0\}\)

证明:用反证法,若不然,则 \(\overline{\mathcal{C}}=\mathcal{C}^{\ast\ast}=V^\ast\) 是全空间。由于一个凸集的内点和它的闭包的内点集相同,所以 \(\mathcal{C}=V\),这与 推论 1.3 的结论 \(\mathcal{C}\) 是点锥矛盾。

仿射

在本节中,我们需要如下关于不可约仿射 Coxeter 群的事实 (见 Humphreys 1990, secs. 2.6, 6.5)

\(W\) 是不可约、仿射 Coxeter 群,则:

  1. \(\mathrm{rad}(V)\) 的维数是 1,它由一个向量 \(\delta=\sum_{s\in S}z_s\alpha_s\) 生成,其中每个 \(z_s>0\)
  2. \(\delta\) 的坐标 \(z=(z_1,\ldots,z_s)^T\) 满足 \(Az=z^TAz=0\),其中 \(A=((\alpha_s, \alpha_t))_{s,t\in S}\) 是内积 \((\cdot,\cdot)\) 的 Gram 矩阵。
  3. \(w\delta=\delta\) 对所有 \(w\in W\) 成立。
  4. \(A\) 的任何 \(\leq n-1\) 阶主子式都是正定的。

我们花点笔墨解释一下这几个事实的含义。回忆 \(W\) 称作仿射是指内积 \((\cdot,\cdot)\) 是半正定但不是正定的。这个定义中没有要求 \((\cdot,\cdot)\) 的符号中有几个 0,但是上面的结论 1, 2 告诉我们,在 \(W\) 不可约的前提下,\((\cdot,\cdot)\) 的符号中有且只有一个 0,并且 \(\mathrm{rad}(V)\) 由一个向量 \(\delta\) 生成。3, 4 告诉我们 \(\delta\) 的所有系数都非零并且同号,并且 \(W\) 保持 \(\delta\) 不动。

我们可以利用 1, 2 来快速验证一下 3。由 \(z^TA=0\) 可得对任何 \(t\in S\)\[\sum z_s(\alpha_s,\alpha_t)=(\delta,\alpha_t)=0,\] 从而 \(t(\delta)=\delta-2(\delta,\alpha_t)\alpha_t=\delta\),即任何单反射保持 \(\delta\) 不动,从而 \(W\) 保持 \(\delta\) 不动。

4 说的是对任何 \(I\subsetneqq S\),标准椭圆子群 \(W_I\) 都是有限群;或者等价地,从 \(W\) 的 Coxeter 图 \(\Gamma\) 中删去至少一个顶点以后,剩下的子图是有限的。

定理 2.1. 在仿射的情形 \(\mathcal{C}^\ast\) 是一条射线:\(\mathcal{C}^\ast=\{c\delta\mid c\geq0\}\),Tits 锥是以 \(\delta\) 为法向量的半空间加上原点:\(\mathcal{C}=\{0\}\cup\{\delta > 0\}\)

在下图中,\(W\) 是仿射 \(\widetilde{A}_2\),红色的锥是基本区域,它在 \(W\) 的作用下铺满了整个上半空间,所以 \(\mathcal{C}=\{z>0\}\cup\{0\}\)\(\mathcal{C}\) 与平面 \(z=1\) 的交给出二维的 Euclidean 密铺。

证明:我们已经知道 \(\mathrm{rad}(V)=\mathbb{R}\delta\)。根据 推论 1.4\(\mathcal{C}^\ast\) 包含非零向量,且对任何这样的非零向量 \(v\),由于 \(\mathcal{C}^\ast\) 中的向量 满足 \((v,v)\leq0\),以及 \((\cdot,\cdot)\) 半正定,所以 \((v,v)=0\),即 \(v\in\mathrm{rad}(V)\),从而 \(v\)\(\delta\) 共线,从而 \(\{0\}\ne\mathcal{C}^\ast\subseteq\mathbb{R}\delta\)。即 \(\mathcal{C}^\ast\) 包含在 \(\delta\) 生成的一维直线中。

另一方面 \(\mathcal{C}^\ast\cap-\mathcal{C}^\ast=\{0\}\),以及 \(\delta\)\(\{\alpha_s\}\) 的正线性组合,所以 \(\mathcal{C}^\ast\) 必须包含在半直线 \(\{c\delta\mid c\geq0\}\) 中。这就给出了对偶锥 \(\mathcal{C}^\ast\) 的刻画。

再来分析 Tits 锥 \(\mathcal{C}\)。取对偶我们得到 \(\overline{\mathcal{C}}=\mathcal{C}^{\ast\ast}=\{\delta\geq0\}\)。我们将证明 \(\mathcal{C}\) 不包含超平面 \(\{\delta=0\}\) 的除去 0 以外的任何点,但是包含超平面 \(\{\delta>0\}\) 的所有点,这就证明了 \(\mathcal{C}=\{0\}\cup\{\delta > 0\}\)

首先对任何 \(x\in\{\delta=0\}\),若 \(x\in\mathcal{C}=\bigcup\limits_{w\in W}w\overline{\mathcal{D}}\),则存在 \(w\in W\)\(y\in\overline{\mathcal{D}}\) 使得 \(x=wy\)。于是 \[0 = \langle \delta,\,x\rangle=\langle \delta,\,wy\rangle=\langle w^{-1}\delta,\,y\rangle=\langle \delta,\,y\rangle=\sum_{s\in S}z_s\langle \alpha_s,\,y\rangle.\]\(0=\sum_{s\in S}z_s\langle \alpha_s,\,y\rangle\)。然而每个 \(z_s>0\),并且由于 \(y\in\overline{\mathcal{D}}\) 所以每个 \(\langle \alpha_s,\,y\rangle\geq0\),这只能是 \(\langle \alpha_s,\,y\rangle=0\) 对所有 \(s\in S\) 成立。结合 \(\{\alpha_s\}\)\(V\) 的一组基,这导致 \(y=0\),从而 \(x=0\),所以超平面 \(\{\delta=0\}\) 中属于 \(\mathcal{C}\) 的只有 0。

由于一个凸集的内点和它的闭包的内点集相同,所以 \(\mathcal{C}^\circ=\{\delta>0\}\),于是 \(\{\delta>0\}\subset\mathcal{C}\),这就证明了 \(\mathcal{C}=\{0\}\cup\{\delta>0\}\)

双曲

我们已经给出了有限和仿射的情形 Tits 锥和对偶锥的完整刻画,但对双曲的情形,Tits 锥的结构要复杂许多,一般来说没有完整的刻画。

我们首先来介绍一些关于 Lorentzian 内积的基本知识。

\(V\) 是一个 \(n\) 维实向量空间,其上有一个内积 \((\cdot,\cdot)\)。我们分别用 \(p,q\) 表示 \((\cdot,\cdot)\) 的正负惯性指数。当 \((p,q)=(n-1,1)\) 时,\(V\) 在此内积下成为一个 Lorentzian 空间。我们称 \(v\in V\)

  1. space-like 的,如果 \((v,v)>0\)
  2. light-like 的,如果 \((v,v)=0\)
  3. time-like 的,如果 \((v,v)<0\)

这个概念也可以推广到 \(V\) 的子空间中:如果 \(U\subset V\) 是一个子空间,我们称 \(U\)

  1. space-like 的,如果 \((\cdot,\cdot)\mid_U\) 是正定的;
  2. light-like 的,如果 \((\cdot,\cdot)\mid_U\) 是半正定的,但不是正定的;
  3. time-like 的,如果 \((\cdot,\cdot)\mid_U\) 不属于以上两种情形,即 \(U\) 包含 time-like 的向量。

由于 Lorentzian 内积是非退化的,所以对任何子空间 \(U\) 都有 \(\dim U + \dim U^\bot=n\) 成立。

命题 3.1.

  1. \(U\) 是 space-like 的当且仅当 \(U^\bot\) 是 time-like 的;
  2. \(U\) 是 light-like 的当且仅当 \(U^\bot\) 是 light-like 的。

  1. 如果 \(v\) 是 space-like 的向量,那么 \((\mathbb{R}v)^\bot\)\(n-1\) 维的 time-like 的子空间,符号为 \((p,q)=(n-2, 1)\),并且 \(V=\mathbb{R}v\oplus (\mathbb{R}v)^\bot\)
  2. 如果 \(v\) 是 time-like 的向量,那么 \((\mathbb{R}v)^\bot\)\(n-1\) 维的 space-like 的子空间,符号为 \((p,q)=(n-1, 0)\),并且 \(V=\mathbb{R}v\oplus(\mathbb{R}v)^\bot\)
  3. 如果 \(v\) 是 light-like 的向量,那么 \((\mathbb{R}v)^\bot\)\(n-1\) 维的 light-like 的子空间,符号为 \((p,q)=(n-2,0)\)。这时 \(V\ne \mathbb{R}v\oplus(\mathbb{R}v)^\bot\),因为 \(v\in\mathbb{R}v\cap(\mathbb{R}v)^\bot\)

\(z\) 是任一满足 \((z,z)=-1\) 的 time-like 的向量,记 \(U=\mathbb{R}z\),则 \(U^\bot\) 是 space-like 的并且有 \(V=U\oplus U^\bot\) 成立。于是任何 \(v\in V\) 可以写成 \(v = x + cz\) 的形式,这里 \(x\in U^\bot\) 是一个 Euclidean 度量空间中的向量,\(c\in\mathbb{R}\) 是实数,\(x\)\(z\) 是正交的。

\[\mathcal{Q}=\{v\in V\mid (v,v)\leq 0\}\] 是所有非 space-like 的向量组成的集合,则 \(v=x+cz\in\mathcal{Q}\) 当且仅当 \((x,x)-c^2\leq0\)

在除去原点以后,\(\mathcal{Q}-\{0\}\) 由两个连通分支 \(\mathcal{Q}_+,\,\mathcal{Q}_-\) 组成,它们分别由 \(\mathcal{Q}\) 中满足 \(c>0\)\(c<0\) 的点组成,并且 \(\mathcal{Q}_+=-\mathcal{Q}_-\)

在本文中我们用记号 \(u\sim v\) 来表示 \(u,v\) 属于同一个连通分支,\(u\not\sim v\) 表示 \(u,v\) 属于不同的连通分支。

命题 3.2. \(u,v\in \mathcal{Q}-\{0\}\)

  1. 如果 \(u\sim v\)\((u,v)\leq0\)
  2. \((u,v)=0\) 当且仅当 \(u,v\) 是 light-like 的向量。

证明

  1. 不妨设 \(u,v\) 都属于 \(\mathcal{Q}_+\)。记 \(u=x+cz,\, v=y+dz\),其中 \(x,y\) 是 space-like 的向量,\(c,d>0\)。记 \(|x|=\sqrt{(x,x)}\)\(x\) 的 Euclidean 范数,\(|y|\) 同理,则 \(|x|\leq c,\, |y|\leq d\)。由 Cauchy-Schwartz 不等式有 \[(u,v)=(x,y) - cd\leq |x| |y| - cd\leq cd-cd=0.\] 此即为所证。

  2. \((u,v)=0\) 可得 \((x,y)=cd\)。结合 \(|(x,y)|\leq |x| |y|\) 可得 \(|cd|\leq |x||y|\)。然而 \(|x|\leq |c|,\, |y|\leq |d|\),所以所有的等号都成立,从而 \(|x|=|c|,\, |y|=|d|\)。即 \(u,v\) 都是 light-like 的向量。由 \(|(x,y)|=|x||y|\) 可得 \(x,y\) 共线,设 \(x=\lambda y\),代入 \((x,y)=cd\) 可得 \(c=\lambda d\),从而 \(u=\lambda v\)

\(\blacksquare\)

这个命题有显然的推论是:

推论 3.3. \(u,v\in\mathcal{Q}-\{0\}\)

  1. \((u,v)>0\)\(u\not\sim v\)
  2. \((u,v)\leq0\),且 \(u,v\) 中有一个是 time-like 的,则 \(u\sim v\)

为了简化记号,我们记 \(\mathcal{Q}_+\)\(\mathcal{Q}_-\) 的内点分别为 \(\mathcal{N}_+\)\(\mathcal{N}_-\),即 \(\mathcal{N}_+\)\(\mathcal{N}_-\) 分别是 \(\mathcal{N}=\{v\in V\mid (v,v)<0\}\) 的两个连通分支。

在双曲的情形,由于内积 \((\cdot,\cdot)\) 非退化,所以我们可以把 \(V\)\(V^\ast\) 等同起来,从而根系 \(\Phi\) 和 Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 都在 \(V\) 中。

我们将证明在双曲的情形,Tits 锥的闭包 \(\overline{ \mathcal{C} }\) 必然包含 \(\mathcal{Q}_+,\,\mathcal{Q}_-\) 中的一个,同时与另一个的交为空。由于 \(\mathcal{C}\) 的内点和 \(\overline{ \mathcal{C} }\) 的内点相同,这意味着 \(\mathcal{C}\) 也恰好包含 \(\mathcal{N}_+\)\(\mathcal{N}_-\) 中的一个。

命题 3.4. \(W\) 不可约且双曲的情形,\(\mathcal{C}^\ast\cap \mathcal{Q}_+,\,\mathcal{C}^\ast\cap\mathcal{Q}_-\) 中必有一个是空集。

证明:若 \(u\in\mathcal{C}^\ast\cap\mathcal{Q}_+,\,u'\in \mathcal{C}^\ast\cap\mathcal{Q}_-\),设 \(u=x+cz,\,u'=y+dz\)如前面讨论的分解,则 \(c>0,\,d<0\)。考察 \(v=cu'-du=cy-dx\in(\mathbb{R}z)^\bot\),由于 \((\mathbb{R}z)^\bot\) 是 space-like 的子空间,所以 \((v,v)\geq0\)。但是 \(v\)\(u\)\(u'\) 的非负线性组合,所以 \(v\in\mathcal{C}^\ast\),从而 必须有 \((v,v)\leq0\),从而由正定性得到 \(v=0\),于是 \(cu'=du\)。再结合 \(c,d\) 异号可得 \(u\)\(-u\) 同时属于 \(\mathcal{C}^\ast\),从而同时属于 \(\mathrm{cone}(\Delta)\)。这只能导致 \(u=0\),矛盾。所以 \(\mathcal{C}^\ast\cap\mathcal{Q}_+\)\(\mathcal{C}^\ast\cap\mathcal{Q}_-\) 中必有一个是空集。

推论 3.5. 在双曲的情形,必有 \(\mathcal{C}^\ast\subset\mathcal{Q}_+\)\(\mathcal{C}^\ast\subset\mathcal{Q}_-\)(加上原点)之一成立。

证明:根据上面的推论并结合 对偶锥中的向量之间内积非正 即得。

推论 3.6. 在双曲的情形,Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 包含 \(\mathcal{N}_+\) 或者 \(\mathcal{N}_-\) 之一。

在下图中,\(W\) 是双曲群 \((7,3)\),红色的锥是射影模型下的基本区域,它在 \(W\) 的作用下得到的 Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 是光锥内部的一个点锥。取 \(\mathcal{C}\) 与 hyperboloid 的交给出双曲密铺。

证明:首先注意到对任何 \(x\in\mathcal{Q}_+\)\(y\in\mathcal{Q}_-\)\((x,y)\geq0\),所以 \(\mathcal{Q}_+\)\(\mathcal{Q}_-\) 互相包含在对方的对偶锥中。

推论 3.5,不妨设 \(\mathcal{C}^\ast\subseteq\mathcal{Q}_+\)(加上原点),取对偶以后有 \(\overline{\mathcal{C}}=\mathcal{C}^{\ast\ast}\supseteq \mathcal{Q}_+^\ast\supseteq\mathcal{Q}_-\),即 \(\overline{\mathcal{C}}\supset\mathcal{Q}_-\)。由于凸集的内点等于其闭包的内点,即得 \(\mathcal{C}\supset\mathcal{Q}_-^\circ=\mathcal{N}_-\)

\(\blacksquare\)

注意 \(\mathcal{C}\) 未必包含 \(\mathcal{Q}_+\) 或者 \(\mathcal{Q}_-\) 的边界。例如对 \((3,3,7)\) 类型的双曲密铺,圆盘边界上的点无法经过有限次反射变换到基本区域中,所以边界不属于 \(\mathcal{C}\)

在下一章中,我们将看到,对 level 1 的群,\(\overline{\mathcal{C}}\) 是包含在 \(\mathcal{Q}\) 中的,从而恰好等于 \(\mathcal{Q}_+,\mathcal{Q}_-\) 之一。而对 level 大于等于 2 的群,\(\overline{\mathcal{C}}\) 一定有一部分落在 \(\mathcal{Q}\) 的外面。

References

Humphreys, James E. 1990. Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511623646.

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