Shadertoy 作品:Kleinian 群的极限集与无限 Coxeter 群的极限根

惊喜的发现我的博客又是半年多没更新了。比起折腾博客主题的次数来,我上传文章的频率未免太低了点。太容易的东西没意思不想写,有意思的东西写起来又太不容易。尤其还要白天上班晚上带娃,个人可以静下来独处的时间严重不足。我觉得钻研数学最好的地方是在象牙塔里,不满足这个条件的话就得要么单身,要么娶两个老婆。大老婆以为你在陪小老婆,小老婆以为你在陪大老婆,这样你就有时间做点数学了。

言归正传,下面是正文。

具有超理想顶点的双曲蜂巢

下图来自 Roice Nelson 1,我先不说话,大家欣赏下,看看能不能看懂它画的是什么?

你可以看到图中出现了无数大小不一的 Poincaré 双曲圆盘,它们密密麻麻地铺在一个圆形区域内,但是还留下了一些空洞的部分没有被填充。这还是 Poincaré 双曲密铺吗?好像不太对哎?

其实这个图仍然描述的是一个双曲密铺,只不过这个密铺位于三维双曲空间中,空间的模型是 Poincaré 单位球 \[B_p = \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\, |\, x^2+y^2+z^2<1\},\] 密铺的类型是 Schläfli 记号 2 下的双曲蜂巢 (3, 7, 3),图中绘制的是在球面边界上发生的景象,此景象被球极投影到了 \(z=0\) 平面上。

你可能要问了:球面在球极投影的结果不是应该铺满整个平面吗?怎么上图只有一个圆形区域呢?答案是,圆形区域的外部也是密铺的一部分,它对应的是基本胞腔与边界球面的无穷大交集 (Roice 的文章中叫做 head),基本胞腔的所有面都染成了白色,所以虽然看起来好像投影后的区域只有一个圆形,实际不是的。

下图展示的是投影之前的景象:

注意 (3, 7, 3) 这个密铺是非紧的 (non-compact),其每个胞腔有一部分与无穷远边界相交。图中的每个空洞都来自一个对应的胞腔,特别地图中上半部分的最大的空洞属于基本胞腔。

下图从另一个角度展示了这一点:

这三张图展示的是同一个密铺,仅仅角度和场景不同。在第三张图中,每一个红色的小积木对应于双曲蜂巢中的一个胞腔,你可以把胞腔理解为双曲空间中的正多面体,但是这个多面体有无穷多个顶点和无穷多个面,图中只绘制了一个近似的形状。这些胞腔看起来有大有小,但是实际上它们在双曲空间中都是完全一样的,并且每个胞腔的体积是无穷大。特别地,观察者视角所在的空间也是一个胞腔的内部!场景中一共放置了五个胞腔,每个胞腔与理想平面的交是一个体积无限大的空洞,以及一组无限多个全等的正七边形。

图中每个双曲圆盘对应于密铺的一个顶点。这个顶点并不在上半空间中,甚至也不在理想平面上,实际上它位于双曲空间之外,是“虚拟的”,这样的顶点叫做超理想顶点 (ultra-ideal)。由于 (3, 7, 3) 密铺的顶点配置 (vertex configure) 是 (7, 3),所以任一顶点处有无穷多个胞腔与其相邻,这些胞腔构成一个 (7, 3) 类型的双曲密铺。圆盘中的每个正七边形是某个胞腔的“柱子”与理想平面的交,这个柱子在理想平面的另一侧汇聚到该顶点处。

以上内容在 Roice 的文章中都可以找到,我强烈建议读者去看看原文,里面有非常多精彩的图片。

不过等等,好像我们还漏掉了什么,注意到图中那些位于圆盘缝隙之间的点了吗?它们有什么含义吗?

双曲动力系统的极限集与无限 Coxeter 群的极限根

圆盘之间的缝隙是上面几张图中最有趣也是最神秘的部分,它有两种完全不同但是等价的描述:一方面它们是 (3, 7, 3) 的对称群 \(W\) 作为 Kleinian 群作用在三维双曲空间 \(\mathbb{H}_3\) 上的极限集 (limit set) \(\Lambda(W)\),另一方面它们也是 \(W\) 作为无限 Coxeter 群的极限根 (limit roots) \(E(\Phi)\) (具体解释见后)。

\(W\) 作为 Kleinian 群的极限集 \(\Lambda(W)\) 有若干种不同的等价描述方式。

\(x_0\in\mathbb{H}_3\) 是三维双曲空间中一点,\(W(x_0)=\{w(x_0)\,|\, w\in W\}\)\(x_0\)\(W\) 作用下的轨道,则集合 \(W(x_0)\) 的聚点都位于无穷远边界球面 \(S^3\) 上。我们把 \(W(x_0)\) 的所有聚点组成的集合叫做 \(W\)极限点,把极限点的闭包叫做 \(W\)极限集,记作 \(\Lambda(W)\)。可以证明 \(\Lambda(W)\) 的定义不依赖于 \(x_0\) 的选取,并且 \(\Lambda(W)\) 是理想球面上在 \(W\) 作用下不变的最小非空闭集。

\(W\) 作为无限 Coxeter 群,其极限根的概念则是最近几年才提出。完整的描述极限根的概念需要颇为一番周折,我这里简单尝试介绍一下,恐怕不见得说得十分明白,读者最好还是参考论文如 3 4 等。

首先我们知道 (3, 7, 3) 这个密铺的对称群 \(W\) 是由 Coxeter 矩阵 \[\begin{pmatrix}1&3&2&2\\3&1&7&2\\2&7&1&3\\2&2&3&1\end{pmatrix}\] 确定的 Coxeter 群 \((W,\Delta)\),这里的 \(\Delta\) 就是标准几何表示下的单根集。\(W\) 的标准几何表示对应的双线性函数 \(B(\cdot,\cdot)\) 的符号是 (3, 1),因而等价于 \(\mathbb{R}^4\) 上的 Minkowski 内积,\(W\) 是此内积下的离散正交变换群。记 \(q(v)=B(v,v)\) 是由 \(B\) 决定的二次型,则在一组基 \(\{e_i\}\)\(q\) 形如 \[q(v) = x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2,\quad v=\sum_{i=1}^4 x_ie_i.\]

分别记 \(Q=\{v\, |\, q(v)=0\}\)\(Q^-=\{v\, |\, q(v)<0\}\),则用超平面 \(V_1=\{x_4=1\}\) 去截 \(Q^-\) 得到的单位球 \[\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\, |\, x_1^2+x_2^2+x_3^2<1,\ x_4=1\}\] 就是我们所熟悉的双曲几何的 Klein-Beltrami 模型。极限根的故事就发生在这个仿射单位球的边界 \(S^3\) 上。

\(\Delta = \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\)\(W\) 的单根集,\(\Phi\)\((W,\Delta)\) 的根系,\(\Phi^+\) 是其中的正根。

由于 \(W\) 是无限群,\(\Phi\) 也是无限的,而且 \(\Phi\)\(\mathbb{R}^4\) 中是离散的,并不会有聚点。但是如果我们把 \(\Phi^+\) 投影到超平面 \(V_1\) 上去,即对每个正根 \(\rho\),计算射线 \(\mathbb{R}_{>0}\rho\)\(V_1\) 的交点得到点 \(\hat{\rho}\) 5,并规定 \(\pm\rho\)\(V_1\) 上的投影点为 \(\hat{\rho}\),则奇妙的事情发生了,这些投影后的根 \(\hat{\Phi} = \{\hat{\rho}, \rho\in\Phi^+\}\) 是有聚点的,记 \(E(\Phi)\)\(\hat{\Phi}\) 的所有聚点组成的集合,\(E(\Phi)\) 即为 \(W\) 的极限根。则我们有如下定理:

定理 1: 所有的极限根都落在迷向锥上,即 \(E(\Phi)\subseteq Q\cap V_1\)

注意在三维双曲空间的情形,\(Q\cap V_1\) 就是 Klein-Beltrami 模型下的理想球面 (这个球面位于仿射平面 \(x_4=1\) 上),所以极限根都落在球面 \(S^3\) 上。

进一步 Hohlweg 等人证明了在 \(W\) 是 Lorentzian 群的情形,极限根 \(E(\Phi)\)\(\Lambda(W)\) 是相等的:

定理 2: 若 \(W\) 是 Lorentzian 群,即其几何表示对应的双线性型的符号为 \((n, 1)\),则 \(E(\Phi) = \Lambda(W)\)

所以在 (3, 7, 3) 的情形,它既是一个 Kleinian 群,又是一个符号为 (3, 1) 的无限 Coxeter 群,所以图中的缝隙既可以理解为双曲动力系统的极限集,也可以理解为无限 Coxeter 群的根系在投影到某个超平面后的极限集。

前面的插图是怎么画出来的?

你可能想知道 Roice 是怎样画出这些漂亮的图形的,其实原理并不复杂。像 (3, 7, 3) 这种双曲反射群一律可以由四个关于球面的反演变换生成,只要把图像的每个像素对应到空间中的一点,然后将该点关于这四个球面反复作反演变换,如果经过一定次数的反演后该点落入基本区域,则根据反射的次数和最终得到的点的位置给最初的像素染色;否则就将该像素标记为极限集。

Roice 的代码在这里,我正在考虑未来有时间用 C++ 把这个项目的精彩部分用 Coxeter 群的有限状态机的方法实现一遍。

彩蛋

好了,本文最精彩的部分来了:我写了一个 Shadertoy 小 demo 来演示极限集的形状,请欣赏:

图中展示的是 (6, 3, inf) 的极限集。你可以使用鼠标旋转图案,或者点击窗口左上角的标题访问 Shadertoy 网站查看源码,并修改 PQR 的值来获得不同群对应的图案。(5, 4, 4) 看起来也是不错的:


  1. Visualizing Hyperbolic Honeycombs, Roice Nelson, Henry Segerman.↩︎

  2. Schläfli symbol on wikipedia.↩︎

  3. Asymptotical behaviour of roots of infinite Coxeter groups.↩︎

  4. On the Limit Set of Root Systems of Coxeter Groups acting on Lorentzian spaces.↩︎

  5. 这里需要证明每个正根 \(\rho\) 所在的方向确实与 \(V_1\) 有交点,见脚注 4 中的文献。↩︎

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