Jordan 标准形

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理,专门为它写一篇长文好像有点多余:这方面的教材讲义实在是太多了!一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢?

理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候,突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法,照念几个不在话下,但是感觉有点疙疙瘩瘩的:怎么才能说清定理背后的想法,让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢?于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的,而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形,这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。

矩阵空间的子空间

在数学里面经常可以提出这样一些问题:它们叙述起来很简单,答案看起来也很显然,但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的“入门课”中也不缺少这样的问题:

问题 设域 \(\mathbb{F}\) 上的所有 \(n\) 阶矩阵构成的向量空间为 \({\rm Mat}_n(\mathbb{F})\)\(M\)\({\rm Mat}_n(\mathbb{F})\) 的一个子空间。

  1. 如果 \(M\) 中的所有矩阵关于矩阵乘法两两可以交换,那么 \(M\) 的维数最大是多少?
  2. 如果 \(M\) 中的所有矩阵的秩都不超过 \(r\),这里 \(0<r<n\),那么 \(M\) 的维数最大是多少?
  3. 如果 \(M\) 中所有矩阵都是幂零的,即对任何 \(A\in M\),存在一个正整数 \(m\) 使得 \(A^m=0\),那么 \(M\) 的维数最大是多少?
  4. 如果 \(M\) 中所有非零矩阵都是可逆矩阵,那么 \(M\) 的维数最大是多少?

国际象棋棋盘的多米诺骨牌密铺

下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关:

问题 一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘,用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌密铺,有多少种不同的方法?

下图是其中一种:

答案是 12988816,非常大的一个数字,绝对不是一个一个数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助于线性代数中的一个结论首先解决了这个问题,接下来就介绍他的方法。

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