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中心单代数

赵亮 / 2010-03-13


本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告,目的是介绍中心单代数的三个最基本的结论:中心单代数对张量积运算是封闭的,Noether - Skolem 定理,双中心化子定理。写这篇文章时参考了不少代数学的教材,经过提炼整理得到了本文,希望我的表述做到了清楚易懂。

中心单代数对张量积运算是封闭的

定义:设 \(A\) 是域 \(F\) 上的一个有限维的结合代数,有乘法单位元 \(\rm 1\),如果 \(A\) 除了 \((0)\) 和自身以外不含有其它的双边理想,就称 \(A\) 是域 \(F\) 上的单代数;进一步如果 \(A\) 的中心 \(Z(A)=F\cdot{\rm 1}\cong F\),就称 \(A\) 是域 \(F\) 上的中心单代数。

最基本也是最重要的中心单代数的例子就是矩阵代数 \(M_n(F)\)。有多重要?后面就会看到,当我们研究一个中心单代数的时候,最有效的手段就是建立一个从它到矩阵代数的同态。

中心单代数有个很好的性质,就是它们对张量积的运算是封闭的:

定理 1:设 \(A,B\) 是域 \(F\) 上的两个中心单代数,则 \(A\otimes B\) 也是中心单代数。

证明:取定 \(B\) 的一组基 \(\{b_1,\ldots,b_m\}\),我们知道 \(A\otimes B\) 中的任何元素 \(x\) 可以唯一地写成 \[x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m,\quad a_i\in A.\] 当然这里的 \(a_i\) 某些可以是 \(0\)。我们称上面这个表达式中非零项的个数为 \(x\) 的长度。

\(I\)\(A\otimes B\) 的任一非零理想,取 \(x\ne 0\) 使得 \(x\)\(I\) 中所有非零元素中长度最小的,不妨假设 \[x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_r\otimes b_r,\quad 0<r\leq m.\] 这里每个 \(a_i\) 都不是 \(0\),特别 \(a_1\ne0\)。由于 \(A\) 是单代数因此 \(A=Aa_1A\) (即 \(a_1\) 生成的双边理想),所以存在一组 \(\{a_j^{'}, a_j^{'\phantom{}'}\}\) 满足 \[1=\sum_{j=1}^p a_j^{'}a_1a_j^{'\phantom{}'}.\] 由于 \(I\) 是双边理想因此每个 \[(a_j^{'}\otimes 1)x(a_j^{'\phantom{}'}\otimes 1)=(a_j^{'}a_1a_j^{'\phantom{}'})\otimes b_1+\cdots+(a_j^{'}a_ra_j^{'\phantom{}'})\otimes b_r\] 都在 \(I\) 中,当然它们的和也在 \(I\) 中,设这个和为 \(x'\),则 \(x'\)\(x\) 有同样的长度但是形如 \(x'=1\otimes b_1+\cdots\)所以我们不妨一开始就假设在 \(x\) 的表达式中有 \(b_1=1\) (第一个结论)。

任取 \(a\in A\),则 \[(a\otimes 1)x -x(a\otimes1) =(aa_2-a_2a)\otimes b_2+\cdots+(aa_r-a_ra)\otimes b_r\in I.\] 然而它的长度小于 \(r\) 因此必须是 \(0\),即对每个 \(i=2,\ldots,r\)\(aa_i=a_ia\),由 \(a\) 的任意性可知每个 \(a_i\) 都属于 \(A\) 的中心 \(Z(A)=F\),因此 \[x=1\otimes b_1+\cdots+1\otimes a_rb_r=1\otimes(b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r)\in I.\] 注意由于 \(b_i\) 是线性无关的所以 \(b=b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r\ne0\)

总之我们证明了在 \(I\) 中存在一个形如 \(1\otimes b\) 的元素 (第二个结论)。

剩下的事情就很容易了: \[I\supset (1\otimes B)1\otimes b(1\otimes B)=1\otimes BbB=1\otimes B,\] 从而 \[I\supset (A\otimes1)(1\otimes B)=A\otimes B,\] 这就证明了 \(I=A\otimes B\),即 \(A\otimes B\) 是单代数 (最终结论)。

注意:在证明 \(A\otimes B\) 是单代数的时候,我们只用到了 \(B\) 是单代数这个条件,即只要 \(A,B\) 中一个是单代数,另一个是中心单代数,则 \(A\otimes B\) 就是单代数。但是这个结论对 \(A,B\) 都是单代数的情形是不成立的,比如 \(\mathbb{C}\)\(\mathbb{R}\) 上的单代数但不是中心单的,这时 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\) 就不是单代数。

证明 \(A\otimes B\) 的中心等于 \(F\) 就简单多了:设 \[z= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m\]\(Z(A\otimes B)\) 中的一个非零元素,则对任何 \(a\in A\)\[(a\otimes1)z-z(a\otimes1)=\sum_{i=1}^m(aa_i-a_ia)\otimes b_i=0.\]

由于 $b_i $ 是线性无关的,因此每个 \(aa_i=a_ia\),即 \(a_i\in Z(A)=F\),从而 \[z=1\otimes(a_1b_1+\cdots+a_mb_m)=1\otimes b.\] 同样的推理可得 \(b\in Z(B)=F\),设 \(b=\beta\cdot\mathrm{1}\)\(z=\beta(1\otimes1)\)。于是我们证明了 \(A\otimes B\) 的中心就是 \(F(1\otimes1)\),即 \(A\otimes B\) 是中心单的。

定理 2:设 \(A\)\(F\) 上的中心单代数,则 \(A\otimes A^{op}\cong M_n(F)\),这里 \(n=\dim_F A\)

背后的道理很简单:\(A\) 显然是一个左 \(A\otimes A^{op}\)- 模 (回忆一下,\((S,T)\)- 双模与左 \(S\otimes T^{op}\)- 模是一回事),即存在代数同态 \[A\otimes A^{op}\to \mathrm{End}_F(A).\] 由定理 1 知道 \(A\otimes A^{op}\) 是单代数从而这是一个单射,比较维数即得这是一个同构。

Noether - Skolem 定理

首先我们需要一个简单的引理:

引理:设 \(A,C\) 是域 \(F\) 上的中心单代数,\(B\)\(A\) 的子代数。那么 \(B\otimes 1\)\(A\otimes C\) 中的中心化子就是 \(C_A(B)\otimes C\)\(B\otimes C\)\(A\otimes C\) 中的中心化子就是 \(C_A(B)\otimes1\)

证明:我们只证前半部分,后半部分的道理是一样的 (但是你要想好选谁的一组基)。

\(\{c_i\}\)\(C\) 的一组基,则 \(A\otimes C\) 的任何元素 \(x\) 可以唯一地表示为 \(x=\sum_i a_i\otimes c_i\) 的形式。假设 \(x\in C_{A\otimes C}(B\otimes 1)\),则对任何 \(b\in B\)\[ 0 = x(b\otimes 1)-(b\otimes 1)x=\sum_i (a_ib-ba_i)\otimes c_i.\] 这说明 \(a_ib=ba_i\),即 \(a_i\in C_A(B)\),所以 \[x= \sum_i a_i\otimes c_i \in C_A(B)\otimes C.\] 反之显然 \(C_A(B)\otimes C\subset C_{A\otimes C}(B\otimes 1)\),所以 \(C_A(B)\otimes C = C_{A\otimes C}(B\otimes 1)\),引理得证。

Noether - Skolem 定理:设 \(A\) 是一个中心单代数,\(B\) 是单代数,\(f,g:B\to A\) 是从 \(B\)\(A\) 的两个代数同态,则存在 \(u\in A^{\times}\) 满足 \[f(b) =u^{-1}g(b)u,\quad \forall b\in B.\] 特别的,我们得到中心单代数的自同构都是内自同构。

这个定理背后的想法也是非常的简单,只是需要一点 Wedderburn - Artin 半单代数理论的知识:对于一个单代数 \(B\),在同构意义下 \(B\) 只有唯一的一个不可约模 \(V\)。任何左 \(B\)- 模都是完全可约的,因此可以分解为一些 \(V\) 的直和,从而两个左 \(B\)- 模 \(W,W'\) 是同构的当且仅当它们作为 \(F\)- 向量空间的维数相同:\(\dim_F W=\dim_F W'\),所以对于一个单代数而言,判定它的两个模是否同构是很简单的,只看维数就行。

回到定理的证明,我们先处理 \(A=M_n(F)\) 的情形:这时我们可以在 \(F^n\) 上定义两种不同的 \(B\)- 模结构:\(b\cdot x =f(b)x\)\(b\circ x=g(b)x\)。我们说了由于 \(B\) 是单代数所以两个 \(B\)- 模是否同构只看它们作为向量空间的维数即可,显然这里的 \((B,\cdot)\)\((B,\circ)\) 是同构的,因此存在可逆线性变换 \(T:F^n\to F^n\) 使得 \[b\cdot (Tx)=T(b\circ x),\]\(f(b)=T^{-1}g(b)T\),因此在 \(A=M_n(F)\) 的情形定理成立。

对于一般的情形,我们当然要向矩阵代数靠拢。考虑 \(A\otimes A^{op}\) 的两个单子代数 \(f(B)\otimes A^{op}\)\(g(B)\otimes A^{op}\)。由于 \(A\otimes A^{op}\) 同构于 \(M_n(F)\) 因此上面的情形可用,即存在 \(T \in (A\otimes A^{op})^\times\) 满足对任何 \(b\otimes a^{op}\)\[f(b)\otimes a^{op}=T^{-1}(g(b)\otimes a^{op})T.\qquad (\ast)\]\(b=1\) 我们有 \[1\otimes a^{op}=T^{-1}(1\otimes a^{op})T.\]\(T\)\(1\otimes A^{op}\) 交换。于是根据引理,\(T\in A\otimes1\),从而存在 \(u\in A\) 使得 \(T=u\otimes1\)\(T\in (A\otimes A^{op})^\times\) 说明 \(u\in A^{\times}\),代入到 \((\ast)\) 中去即得 \(f(b)=u^{-1}g(b)u\)

双中心化子定理

双中心化子定理:设 \(A\)\(F\) 上的中心单代数,\(B\)\(A\) 的单子代数,\(C\)\(B\)\(A\) 中的中心化子: \[C=\{ c\in A:\ cb=bc,\ \forall b\in B\}.\] 则我们有

  1. \(C\) 也是 \(A\) 的单子代数。
  2. \(\dim_F A=(\dim_F B)(\dim_F C)\)
  3. \(C\) 的中心化子是 \(B\)

证明:参考下图 (\(i\) 是嵌入映射):

\[\require{amsCd} \begin{CD} B\otimes1 @>{i}>> A\otimes\mathrm{End}_F(B) @<{i}<< 1\otimes l(B)\\ @VVV @. @VVV \\ C\otimes\mathrm{End}_F(B) @>{i}>> A\otimes\mathrm{End}_F(B) @<{i}<< A\otimes r(B) \end{CD}\]

考虑中心单代数 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\),它有两个子代数 \(B\otimes 1\)\(1\otimes l(B)\) (这里 \(l(B)\)\(B\) 在自身上的左乘),它们都同构于单子代数 \(B\),因此 Noether - Skolem 定理断言它俩是共轭的,于是它俩在 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 中的中心化子也是共轭的。利用引理的结论,对它俩在 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 中分别求中心化子,得到 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\)\(A\otimes r(B)\) 是共轭的。

由定理 1 \(A\otimes r(B)\) 是单代数,于是 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 也是单代数,从而 \(C\) 必须是单代数 (否则若 \(C\) 有非平凡理想 \(I\)\(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 有理想 \(I\otimes\mathrm{End}_F(B)\)),这证明了 1;而且比较维数有 \[(\dim_F C) (\dim_F B)^2=(\dim_F A)(\dim_F B),\]\[(\dim_F C)(\dim_F B)=\dim_F A,\] 这证明了 2。

最后设 \(C\) 的中心化子为 \(C_A(C)\),对单子代数 \(C\) 应用结论 2, \[\dim_F C =\frac{\dim_F A}{\dim_F C_A(C)}=\frac{\dim_F A}{\dim_F B}.\]\(\dim_F C_A(C)=\dim_F B\)。然而 \(B\subset C_A(C)\),二者维数相同因此必然相等,这就证明了 3。