殷勤昨夜三更雨 又得浮生一日凉

Artinian 环与 Wedderburn-Artin 定理

赵亮 / 2010-10-13


本文目的是介绍 Wedderburn-Artin 的关于半单代数的结构定理。

讲述 Wedderburn-Artin 定理的教材已经是汗牛充栋,证明途径也大同小异,所以本文并不包含新鲜的内容。Wedderburn-Artin 定理在介绍群表示论或者非交换环的书里面基本都可以找到,但是我发现讲群表示论的书往往只针对有限维半单代数的情形介绍最基本的结论,显得不太够用;而讲非交换环的书则往往从 Jacobson 根,密度定理等讲起,包含了过多环论的内容,对初学者又不太友好。这篇文章希望能补上这个空白,用尽可能简洁的篇幅,介绍清楚 Wedderburn-Artin 定理证明的来龙去脉。在内容的选择上不求全/深刻,而是尽量采用容易理解和记忆的表述途径。这里采用的是当年 Wedderburn 的思路,即通过极大幂零理想来定义半单性。与通过完全可约性或者 Jacobson 根来定义半单性相比这个思路显得不够现代,但是我想它应该更容易被接受。

引子

Wedderburn-Artin 定理最早源于 1907 年 Wedderburn 研究 "有限维代数的分类定理"。即设 \(A\) 是域 \(F\) 上的有乘法恒等元的有限维代数,那么 \(A\) 的结构是怎样的?在 Wedderburn 考虑这个问题的时候,Killing 和 Cartan 等人已经完成了有限维复半单 Lie 代数的分类工作,如果读者学过有限维 Lie 代数的知识的话,应该知道任何有限维复 Lie 代数 \(L\) 有一个极大可解理想 \(\mathrm{Rad}(L)\),叫做 \(L\) 的根 (radical),去掉这个根后得到的商代数 \(L/\mathrm{Rad}(L)\) 是半单代数,其上的双线性型 Killing 型是非退化的,从而可以通过反复取正交补的方式将 \(L/\mathrm{Rad}(L)\) 分解为一些单代数的直和,然后对单 Lie 代数的结构进行讨论得出其共有九种不同的类型。Wedderburn 的思路自然受到了 Killing 等人工作的启发,他采取的也是 "定义根理想 \(\mathrm{Rad}(A)\)" --> "转移到半单代数 \(A/\mathrm{Rad}(A)\)" 中 --> "分解为单代数的直和" --> "讨论单代数的结构" 这样的套路。他考虑的根 \(\mathrm{Rad}(A)\)\(A\) 的极大幂零理想,去掉这个根后得到的商代数 \(A/\mathrm{Rad}(A)\) 是半单的 (可以分解为一些单环的直和),然后进一步分析单环的结构得到其必然同构于某个除环 \(D\) 上的矩阵环 \({\rm Mat}_n(D)\)。20 年后的 1927 年 Artin 将这个结论推广到了满足降链条件的左/右 Artinian 环上,这就是 Wedderburn-Artin 定理的来历。值得一提的是,12 年后 Hopkins 证明了另一个惊人的结论:左/右 Artinian 环也是左/右 Noetherian 的。

Wedderburn-Artin 定理的过程比较长,但只要在头脑中事先明确这条主线,理解整个证明并不是一件困难的事情。

本文主要参考了 Curtis 和 Reiner 的经典 1,Herstein 的精彩小书 2,以及林节玄的 GTM131 3。C&R 的书是大部头,然而它总是从最基本的概念讲起,叙述清楚易懂,对新手非常友好。Herstein 的书则是另一种风格,主线简单,节奏很快,短短几章就讲到了中心单代数和 Galois 上同调。林节玄的书风格则更为现代一些,我没有细读,不多评价。

记号与约定

我们将尝试对 Artinian 环证明其结构定理,然后应用在有限维代数上。这样当然比直接证明有限维代数的情形要多花不少功夫,但是可以帮助我们更好的理解半单环的结构。

第一步:定义环 \(R\) 的根 \(\mathrm{Rad}(R)\)

我们之前说过,Wedderburn 的想法第一步是仿照 Lie 代数的情形找出环 \(R\) 的根 \(\mathrm{Rad}(R)\) 来,它必须是一个双边理想,使得商环 \(R/\mathrm{Rad}(R)\) 是 "半单的"。现代一些的教材通常用完全可约或者 Jacobson 根来定义半单性,后两种对一般的环都可以定义,这里采用的仍然是 Wedderburn 的定义,这三者在 Artinian 环的情形是一致的。

定义: 我们称 \(R\) 的左理想 \(I\) 是幂零的,如果存在正整数 \(n\) 使得 \(I^n=0\)

显然理想幂零自动蕴含其元素是幂零的:对任何 \(x\in I\)\(x^n=0\)

Wedderburn 的想法是将 \(\mathrm{Rad}(R)\) 定义为其 "极大幂零理想",即它本身是幂零的,而且它包含 \(R\) 的所有幂零左理想。最自然的想法就是把 \(\mathrm{Rad}(R)\) 定义为 \(R\) 的所有幂零左理想的和,不过这样做有两个问题需要解决:

  1. 不难证明两个幂零左理想 \(I,J\) 的和 \(I+J\) 仍然是幂零的,从而有限多个幂零左理想的和仍然是幂零的,但是如果 \(R\) 包含无穷多个幂零左理想呢?它们的和还是幂零的吗?
  2. 所有幂零左理想的和一定是双边理想吗?

这两个问题都可以用一个引理来解决,这个引理的证明颇有一点技巧性:

定义: 如果 \(e\in R\) 满足 \(e\ne0\)\(e^2=e\),就称 \(e\) 是一个幂等元。

引理 1: 如果左理想 \(I\subseteq R\) 不是幂零的,则其必然包含一个幂等元。

我们把引理 1 的证明稍微放一放,先看看它是怎么解决上面的问题 1, 2 的。

\(N\)\(R\) 的所有幂零左理想 \(\{I_{\alpha}\}\) 的和,则 \(N\) 也是左理想,并且其中的元素都是 \(\{I_{\alpha}\}\) 中元素的有限线性组合: \[ x = x_{\alpha_1}+x_{\alpha_2}+\cdots+x_{\alpha_k},\quad x_{\alpha_i}\in I_{\alpha_i}. \]

  1. 如果 \(N\) 不是幂零的,那么根据引理 1 它包含一个幂等元 \(e\),于是 \(e\) 可以表示为有限多个幂零元的和,从而也是幂零的,矛盾!
  2. \(NR\) 是一个双边理想,而且它是幂零的:\[(NR)^i=N(RN)^{i-1}R\subseteq N^iR.\]特别它是一个幂零左理想,于是 \(NR\subseteq N\),从而 \(N\) 是双边理想。

引理 1 的证明

考察所有包含在 \(I\) 内的非幂零左理想组成的集合,此集合包含 \(I\) 所以非空,所以根据 DCC 它包含一个极小元 \(I_1\)\(I_1\) 不是幂零的,但是任何真包含于 \(I_1\) 内的左理想都是幂零的。

\(I_1^2\) 包含于 \(I_1\) 内,但它不可能是幂零的,所以 \(I_1^2=I_1\)。我们考察所有满足如下条件的左理想 \(L\) 组成的集合:

  1. \(L\subseteq I_1\)
  2. \(I_1L\ne0\)

显然此集合包含 \(I_1\) 从而非空,于是它包含一个极小元 \(L_1\),由于 \(I_1L_1\ne0\) 所以存在 \(x\in L_1\) 使得 \(I_1x\ne 0\)。由于 \(I_1x\) 是包含在 \(L_1\) 内的一个左理想,而且 \(I_1(I_1x)=I_1x\ne0\) 所以 \(I_1x\) 也在此集合中,由 \(L_1\) 的极小性有 \(I_1x=L_1\)。于是存在 \(a\in I_1\) 满足 \(x=ax\),从而 \[x= ax = a^2x = \cdots.\] 所以 \(a\) 不可能是幂零的,并且 \((a^2-a)x=0\)。我们断言 \(a^2-a\) 是幂零的。为此进一步考虑包含在 \(I_1\) 内的左理想 \[N = \{ u\in I_1\ |\ ux = 0\}.\] 于是 \(Nx=0\),但 \(I_1x\ne0\),所以 \(N\) 真包含于 \(I_1\) 内,所以 \(N\) 是幂零的,特别地 \(a^2-a\in N\) 是幂零的。我们断言存在一个多项式 \(p\) 使得 \(u=p(a)\) 是一个幂等元。为此假设 \((a^2-a)^k=0\),展开以后可得存在多项式 \(q\) 使得 \(a^k=a^{k+1}q(a)\),从而 (反复将等式右边的 \(a^k\) 替换为 \(a^{k+1}q(a)\)) \[ a^k=a^kaq(a)=a^{k+2}q^2(a)=a^{k+3}q^3(a)=\cdots=a^{2k}q^{k}(a). \]\(e=a^kq^k(a)\),则 \(a^k=a^ke\), 由于 \(a\) 不是幂零的所以 \(e\ne0\)。在 \(a^k=a^ke\) 两边同乘以 \(q^k(a)\) 得到 \[a^kq^k(a)=a^{k}q^{k}(a)e,\]\(e=e^2\),从而 \(e\) 是幂等元,这就证明了结论。

整理上述讨论,我们给出半单性的定义:

定义: 设环 \(R\) 满足 DCC,定义其根 \(\mathrm{Rad}(R)\)\(R\) 的所有幂零左理想之和,则 \(\mathrm{Rad}(R)\) 是双边理想,且是幂零的。如果 \(\mathrm{Rad}(R)=0\),即 \(R\) 不含任何非零的幂零左理想,就称 \(R\)半单的。

不难验证环 \(R/\mathrm{Rad}(R)\) 不含非零的幂零左理想,从而它符合我们对半单性的定义。好了,下面的任务就是对半单环进行讨论。

第二步:将半单环分解为单环的直和

现在的问题已经归结为分析半单环的结构。我们希望证明半单环总是可以分解为一些 "单环" 的直和,而且这种分解还是唯一的。如果用 "任何整数可以唯一分解为若干素数的乘积" 来类比的话,单环就相当于某个素因子的幂,而素数就相当于 \(R\) 的极小左理想。所以我们首先来证明

定理 1:若 \(R\) 是半单的,则 \(R\) 必然可以分解为有限多个极小左理想的直和 \(R=L_1\oplus\cdots\oplus L_n\)

这个证明是很简单的,设 \(L\)\(R\) 的任一极小左理想,我们证明来必然存在左理想 \(I\) 使得 \(R=L\oplus I\)。一旦如此,那么再取 \(I\) 中的任一极小左理想 \(L'\),将 \(I\) 继续分解为 \(I=L'\oplus I'\) (严格讲我们要证明极小左理想存在直和补这个事情在 \(I\) 内部也成立),如此下去。由于 \(R\) 满足 DCC,所以这个过程必然在有限次后停止,这就把 \(R\) 分解成了不可约左理想的直和。

\(L\) 是任一极小左理想,由于 \(R\) 是半单的所以 \(L\) 不是幂零的,根据引理 1 \(L\) 包含一个幂等元 \(e\),则 \(Re\subset L\) 是包含在 \(L\) 内的左理想从而 \(L=Re\)。不难验证 \[R = Re\oplus R(1-e) = L\oplus L'.\] 此外对任何左理想 \(I\supset L\) 不难验证有 \[ I = (I\cap L)\oplus (I\cap L') = L\oplus (I\cap L'),\] 即直和补在包含 \(L\) 的理想内也存在,这就证明了定理 1。

:在定理 1 证明中我们顺带证明了半单环 \(R\) 的任何极小左理想 \(L\) 都形如 \(L=Re\),这里 \(e\) 是一个幂等元。你可以把右乘 \(e\) 看做是从 \(R\)\(L\) 的投影: \(x\to xe,x\in R\)。而 \(L\) 中的元素恰好由那些满足 \(xe=x\) 的元素组成。

接下来我们要把 \(R\) 分解为极小左理想直和中 "相同的极小左理想" 合起来,形成一个单环。这类似于在整数的素因子分解中把相同的素数的乘积提取出来,得到只含有单一素因子的成分。

首先 "相同的极小左理想" 的含义就是它们是同构的:

定义:两个极小左理想 \(L,L'\) 称作是同构的,当且仅当它们作为左 \(R\)- 模是同构的,记作 \(L\cong L'\)

其次不同构的极小左理想必然是 "正交" 的:

引理 2:两个极小左理想 \(L\cong L'\) 当且仅当 \(L'L\ne0\)。特别地这个同构可以由右乘一个元素 \(a\in L\) 给出:\(L=L'a\)

引理 2 的证明: 注意到 \(L'L\)\(L\) 内的一个左理想,所以它只能是 \((0)\) 或者 \(L\)

我们来证明以下三点是等价的:

  1. \(L\cong L'\)
  2. 存在 \(a\in L\) 使得 \(L=L'a\)
  3. \(L'L = L\)

\(1\Rightarrow 2\): 设 \(\varphi: L'\to L\) 是一个左 \(R\)- 模同构,设 \(L'=Re'\)\(e'\)\(L'\) 的幂等元,根据前面注解部分,对任何 \(x'\in L'\) 都有 \(x'=x'e'\),于是 \[\varphi(x')=\varphi(x'e')=x'\varphi(e'),\quad x'\in L'.\]即同构 \(\varphi\) 由右乘 \(\varphi(e')\) 给出。

\(2\Rightarrow 3\): 注意到 \(L'L\supset L'a=L\) 即可。

\(3\Rightarrow 1\): 显然 \(L'L=L\) 蕴含存在 \(a\in L\) 使得 \(L=L'a\)\(x'\to x'a\) 给出了从 \(L'\)\(L\) 的一个左 \(R\)- 模同构。

推论\(R\) 只有有限多个互不同构的极小左理想,任何极小左理想必然同构于 \(\{L_1,\ldots,L_n\}\) 之一。

这是因为对任何极小左理想 \(L\)\(L = \oplus_{i=1}^nLL_i\),所以必然存在某个 \(i\) 使得 \(LL_i\ne0\),即 \(L\cong L_i\)


\(R\) 的任一极小左理想 \(L\),我们记 \(B_L\)\(R\) 的所有同构于 \(L\) 的极小左理想的和,关于 \(B_L\) 的性质有一个比较长的列表如下,每一条都是很容易就可以得出的:

推论

  1. \(B_LB_{L'}\ne 0\) 当且仅当 \(L\cong L'\)。(显然)
  2. \(B_L\) 是一个双边理想,从而是一个环。

    这是由于 \(R\) 是有限多个极小左理想的直和:\(R = \oplus_{i=1}^nL_i\),于是 \(B_LR\subset\oplus_{i=1}^nB_LL_i\)。每个 \(B_LL_i\) 要么是 0 (\(L_i\ncong L\)),要么等于 \(L_i\) (\(L_i\cong L\)) 从而属于 \(B_L\),所以 \(B_LR\subset B_L\),即 \(B_L\) 是双边理想。

  3. \(B_L\) 也有乘法单位元 (与 \(R\) 的单位元未必相同)。

    设在 \(R\) 的上述极小左理想直和分解中,\(\{L_1,\ldots, L_m\}\) 是互不同构的,而 \(\{L_1,\ldots, L_n\}\) 中的任何一个都与 \(\{L_1,\ldots, L_m\}\) 中的某一个同构,则 \(R=B_{L_1}+\cdots+B_{L_m}\)。于是环 \(R\) 的单位元可以表示为\[1 = e_1+\cdots + e_m,\quad e_i\in B_{L_i}.\]对任何 \(x\in B_i\),在上式两边同时左乘或者右乘 \(x\) 都会得到 \(x=e_ix=xe_i\),从而 \(e_i\)\(B_i\) 的乘法单位元。

    由于任何 \(B_L\) 必然等于 \(\{B_{L_1},\ldots,B_{L_m}\}\) 之一,从而也是有单位元的。

  4. \(B_L\) 也满足 DCC。

    这是因为 \(B_{L_i}\) 的左理想 \(I\) 也是 \(R\) 的左理想:由于 \(e_i\)\(B_{L_i}\) 的乘法单位元所以 \(I=e_iI\)\[RI=Re_iI\subset B_{L_i}I\subset I.\]

  5. \(B_L\) 除了 (0) 和自身外不含其它双边理想。

    \(D\)\(B_L\) 的非零双边理想,则 \(D\) 也是 \(R\) 的双边理想,从而其包含 \(R\) 的某个极小左理想 \(L_1\),即\[L_1\subset D \subset B_L.\]由于 \(L_1B_L\supset L_1^2\ne0\) 所以 \(L_1\cong L\)

    根据引理 2 的结论,所有与 \(L_1\) 同构的极小左理想都形如 \(L_1a,a\in R\),当 \(a\) 跑遍 \(R\)\(DR\) 包含了所有与 \(L\) 同构的极小左理想,从而包含 \(B_L\),从而 \(D=B_L\),即 \(B_L\) 不含非平凡的双边理想。

  6. \(R\)\(\{B_{L_i}\}\) 的直和:\[R = B_{L_1}\oplus\cdots\oplus B_{L_m}.\]

    \[0=x_1+\cdots+x_m,\quad x_i\in B_{Li}.\] 两边同时乘以 \(B_{L_i}\) 的单位元 \(e_i\) 可得 \(x_i=0\)

  7. \(R\) 的任何双边理想 \(I\) 都可以表示为若干 \(B_{L_i}\) 的直和。

    这是因为如果 \(I\) 包含某个极小左理想 \(L\),则必包含所有的 \(La\),从而包含 \(B_L=B_{L_i}\)。设 \(C\) 是所有包含在 \(I\) 内的 \(B_{L_i}\) 的直和,则由于 \(R\) 半单,任何左 \(R\)- 模都是完全可约的 (完全可约的含义见下节),所以存在左 \(R\)- 模 \(C'\) 满足 \(I=C\oplus C'\)。如果 \(C'\) 不是零的话,则它包含某个极小左理想 \(L'\),但是这样一来它就必然包含 \(B_{L'}\subset C\),与 \(C,C'\) 是直和矛盾。

我们把满足 3, 4, 5 的环叫做单环,单环必然都是半单的,因为其根是双边理想,而乘法单位元不在根中,所以根只能是 \((0)\)

我们已经把半单环 \(R\) 分解为了单环的直和: \[R = B_{L_1}\oplus\cdots\oplus B_{L_m}.\] 实际上这个分解还是唯一的,即若 \[R = B_{L'_1}\oplus\cdots\oplus B_{L'_l}.\] 其中每个 \(B_{L'_j}\) 都是单环,并且是 \(R\) 的双边理想,则必有 \(m=l\) 且适当重排以后有 \(B_{L_i}=B_{L'_j}\)。(证明简单,略)

接下来的任务就是分析单环的结构,在这之前我们先介绍半单性和完全可约性之间的关系。

半单与完全可约

定义: 左 \(R\)- 模 \(M\) 称作是完全可约的,如果 \(M\) 可以表示为若干不可约左 \(R\)- 模的和。

\(M\) 完全可约的另一种等价定义是对其任何子模 \(N\),都存在子模 \(N'\) 使得 \(M=N\oplus N'\)

在上一节中我们已经证明了对半单环,其左正则模 \(_RR\) 是完全可约的:\(_RR=\oplus_{i=1}^nL_i\)\(L_i\) 都是极小左理想,即不可约左 \(R\)- 模。这个结论反过来也是对的:

定理 2

  1. \(R\) 是半单的当且仅当左正则模 \(_{R}R\) 是完全可约的。
  2. \(R\) 是半单的当且仅当任何左 \(R\)- 模都是完全可约的。

在许多教材中,往往拿这个结论来作为半单性的定义。

"所有左 \(R\)- 模都完全可约" 与 "左正则模 \(_{R}R\) 完全可约" 等价的证明比较简单,在许多教材上都可以找到,本文就不再重复了,这里只证明 1,即半单等价于 \(_RR\) 完全可约,而这只要再证明

\(_{R}R\) 完全可约 \(\Rightarrow\) 半单:记 \(N=\mathrm{Rad}(R)\),则由于 \(_{R}R\) 是完全可约的,所以存在左理想 \(I\) 使得 \(_RR = N\oplus I\)。从而存在 \(n\in N, x\in I\) 使得 \(1=n+x\)。但是 \[n^2 - n=nx\in N\cap I = (0).\] 所以 \(n^2-n=0\),从而 \(n=n^2=n^3=\cdots=0\) (注意 \(N\) 是幂零理想),从而 \(x=1\in I\),所以 \(I=R\)\(N=0\),即 \(R\) 是半单的。

第三步:单环的结构定理

最终我们来到了单环的结构定理。在本节中,我们用 \(A\) 来表示单环,以便与前面的半单环 \(R\) 区分。回忆我们对单环的定义是:

  1. 有乘法恒等元。
  2. 满足 DCC。
  3. 没有非平凡的双边理想。

定理 3 [Wedderburn-Artin]: 设 \(A\) 是单环,则存在正整数 \(n\) 和除环 \(D\) 使得 \(A\cong {\rm Mat}_n(D)\),这里 \(n\)\(D\)\(A\) 唯一确定。

我们先来验证 \({\rm Mat}_n(D)\) 满足单环的三个条件。记 \(e_{ij}\in {\rm Mat}_n(D)\) 是第 \((i,j)\) 个分量为 1,其余位置都是 0 的初等矩阵。

  1. 易见恒等矩阵 \(I_n\) 是乘法单位元。
  2. \({\rm Mat}_n(D)\) 可以分解为极小左理想的直和 \[{\rm Mat}_n(D)={\rm Mat}_n(D)e_{11}\oplus\cdots {\rm Mat}_n(D)e_{nn}.\]其中左理想 \({\rm Mat}_n(D)e_{ii}\) 由所有除去第 \(i\) 列外其余列都是 0 的矩阵组成。\({\rm Mat}_n(D)e_{ii}\) 是极小左理想是因为如果 \(x\in {\rm Mat}_n(D)e_{ii}\) 非零的话,则 \(x\) 必然在第 \(i\) 列某一行不是 0,所以可以用初等行变换将 \(x\) 变为任何 \(e_{ji}\),从而可以用这些 \(e_{ji}\) 的线性组合得出第 \(i\) 列为任意向量,其余列均为 0 的所有矩阵。而初等行变换就是左乘一个 \({\rm Mat}_n(D)\) 中的矩阵。
  3. 这些极小左理想 \(\{{\rm Mat}_n(D)e_{ii}\}\) 互相都是同构的。为此只要说明 \({\rm Mat}_n(D)e_{ii}\cdot {\rm Mat}_n(D)e_{jj}\) 不为 0 即可,而这个乘积包含 \(e_{ii}e_{ij}e_{jj}=e_{ij}\)

不同文献上对 Wedderburn-Artin 定理的证明大同小异,采用的途径基本上都是证明单环 \(A\) 上的不可约模满足某种 "双重中心化子" 性质。我们先来分析一下大致的思路:

于是我们的思路就是先证明 \((A, M)\) 具有双重中心化子性质,再证明 \(\dim M_D<\infty\)

注意到对左正则模 \(_AA\)\((A,\,_AA)\) 是具有双重中心化子性质的。事实上很容易验证 \(A_L\) 的 中心化子 \(D\)\(A\) 在自身上的右乘 \(A_R\) 给出:对任何 \(d\in D\),设 \(1d=a\),则对任何 \(x\in A\)\[xd = (x1)d=x(1d)=xa,\]\(d\)\(a\)\(A\) 上的右乘。由对称性 \(A_R\) 的中心化子是 \(A_L\),这就验证了 \((A,\,_AA)\) 是具有双重中心化子性质的。

另一方面 \(_AA\cong\oplus_{i=1}^nM\) 同构于 \(M\)\(n\) 重直和,所以我们只要证明这样的结论就好了:

引理 3: 设 \(A\)- 模 \(V=\oplus_{i=1}^n M\) 是某个 \(A\)- 模 \(M\)\(n\) 重直和,若 \((A, V)\) 具有双重中心化子性质,则 \((A, M)\) 也具有双重中心化子性质。

注意这个引理中 \(A\) 可以是任意的环,不仅限于单环;\(M\) 也是任意的左 \(A\)- 模,不仅限于不可约模。

引理 3 的证明:对任何 \(f\in E={\rm Hom}_D(M, M)\),我们希望证明 \(f\) 等于某个 \(A\) 中的元素在 \(M\) 上的左乘:存在 \(a\in A\) 使得 \(f(m)=am,\,\forall m\in M\)。为了向 \(V\) 靠拢我们考虑将 \(f\) 扩充为 \(V\) 的一个自同态 \[ f^\ast: (m_1,m_2,\ldots, m_n)\to (f(m_1), f(m_2), \ldots, f(m_n)). \] 如果我们能说明 \(f^\ast \in {\rm Hom}_{D^\ast}(V, V)\),其中 \(D^\ast={\rm Hom}_A(V, V)\),则由于 \((A, V)\) 具有双重中心化子性质,所以存在 \(a\in A\) 使得对任何 \((m_1,m_2,\ldots,m_n)\)\[ f^\ast(m_1,m_2,\ldots, m_n) = (am_1,am_2,\ldots,am_n). \] 即对任何 \(m\in M\)\(f(m)=am\),这就证明了结论。

为此我们只要注意到 5 (一个简单的练习) \[ D^\ast={\rm Hom}_A(nM, nM)\cong {\rm Mat}_n({\rm Hom}_A(M, M)) = {\rm Mat}_n(D). \] 换言之任何 \(\varphi\in D^\ast\) 都形如 \(\varphi=(d_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\),其中 \(d_{ij}\in D={\rm Hom}_A(M,M)\),于是 \[ \begin{align*} (f^\ast(m_1,\ldots,m_n))\varphi&= (f(m_1),\ldots,f(m_n))\varphi\\&= (f(m_1),\ldots,f(m_n))\begin{pmatrix}d_{11}&\cdots& d_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\d_{n1}&\cdots&d_{nn}\end{pmatrix}\\&= \left(\sum_{i=1}^nf(m_i)d_{i1},\ldots,\sum_{i=1}^nf(m_i)d_{in}\right)\\&= \left(f(\sum_{i=1}^nm_id_{i1}),\ldots,f(\sum_{i=1}^nm_id_{in})\right)\\&= f^\ast\left(\sum_{i=1}^nm_id_{i1},\ldots,\sum_{i=1}^nm_id_{in}\right)\\&= f^\ast((m_1,\ldots,m_n)\varphi) \end{align*} \]

\(f^\ast \in {\rm Hom}_{D^\ast}(V, V)\),引理 3 得证。

我们还需要证明 \(\dim M_D<\infty\)。若不然,则存在一列 \(\{m_k\}_{k=1}^\infty\in M\) 使得其中任何有限多个都是 \(D\)- 线性无关的。记 \(V_k\)\(\{m_1,\ldots, m_k\}\) 张成的子空间,定义 \[ I_k=\{a\in A \ |\ aV_k=0\}. \]\(I_k\)\(A\) 的左理想且 \(I_1\supsetneq I_2\supsetneq\cdots\) 是一个无穷严格降链,这与 \(A\) 满足 DCC 矛盾。实际上我们总是可以定义 \(D\)- 线性变换 \(f_k\) 使得 \(f_k(V_k)=0\)\(f_k(m_{k+1})\ne0\)。而 \(f_k\) 是某个 \(a\in A\) 的左乘,从而 \(a\in I_k\)\(a\notin I_{k+1}\)

最后来说明 \(n\)\(D\) 是由 \(A\) 唯一确定的,即若 \(n'\)\(D'\) 使得 \(A\cong {\rm Mat}_n(D)\cong {\rm Mat}_{n'}(D')\),则 \(n=n'\)\(D\cong D'\)。实际上从上面的证明中我们已经看到 \(n\)\(A\) 分解为极小左理想 \(M\) 直和的重数,从而是唯一确定的。而除环 \(D={\rm Hom}_A(M,M)\) 是其唯一不可约模的 \(A\)- 模自同态环,所以也是唯一确定的。


  1. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Charles W. Curtis, Irving Reiner.

  2. Noncommutative Rings. I. N. Herstein.

  3. A First Course in Noncommutative Rings. Lam, Tsit-Yuen.

  4. 除环上的向量空间与域上的向量空间的一个显著不同是:如果 \(V\) 是一个左 \(D\)- 向量空间且 \(\dim _DV=n\),则其 \(D\)- 自同态环 \({\rm End}_D(V)\cong {\rm Mat}_n(D^{\rm op})\),这里 \(D^{\rm op}\)\(D\) 的反环。但是如果 \(V\) 是右 \(D\)- 向量空间,并且把 \({\rm End}_D(V)\)\(V\) 上的作用写在左边的话 (即把 \(V\) 看作是 \(({\rm End}_D(V), D)\)- 双模),则 \({\rm End}_D(V)\cong {\rm Mat}_n(D)\)

  5. \(i_k\) 是从 \(M\)\(nM\) 的第 \(k\) 个分量的嵌入映射,\(\pi_l\) 是从 \(nM\) 的第 \(l\) 个分量到 \(M\) 的投影,则任何 \(\varphi\in {\rm Hom}_A(nM,nM)\)\((m_1,\ldots,m_n)\) 上的作用等效于在其右边乘以矩阵 \((\varphi_{ij})\),其中 \(\varphi_{ij}=i_i\circ\varphi\circ\pi_j\in{\rm Hom}_A(M,M)\),其在 \(M\) 上的作用为 (依次从左到右作用)\[m\xrightarrow{i_i}(0,\ldots,m,\ldots,0)\xrightarrow{\varphi}(\varphi_{i1}(m),\ldots,\varphi_{in}(m))\xrightarrow{\pi_j}\varphi_{ij}(m).\]不难验证 \(\varphi\to(\varphi_{ij})\) 是一个从 \({\rm Hom}_A(nM,nM)\)\({\rm Mat}_n(D)\) 的同构。