平面分拆的 Macmahon 公式
问题： 一个边长为 \(a\times b\times c\) 的平行六边形（\(a,b,c\) 都是正整数），每个内角都是 120 度。用边长为 1 的菱形密铺，有多少种不同的方法？
下图是一种密铺的示例：
我们观察这张图，想象在空间中鸟瞰它，发现它很像是在墙角“堆箱子”。不仅如此，箱子的堆放方式还满足规律：从墙角开始，沿着两侧墙壁的方向，箱子的高度是递减的。我们把地面上第 \(i\) 行第 \(j\) 列位置箱子的高度 \(a_{ij}\) 填写在一个 \(a\) 行 \(b\) 列的矩阵 \(A\) 中（习惯上空白位置的 0 不写出来）：
| 5 | 5 | 5 | 5 | 4 | 3 |
| 5 | 4 | 4 | 4 | 1 | 1 |
| 4 | 4 | 2 | 1 | 1 | |
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 1 | 1 |
\(A\) 有如下特点：
- \(A\) 的每一行从左到右，每一列从上到下都是递减的。
- \(a_{ij}\) 都是介于 \(0\) 和 \(c\) 之间的整数（箱子的高度不能超过天花板的高度 \(c\)）。
我们把矩阵 \(A\) 叫做一个参数为 \((a,b,c)\) 的受限制的平面分拆。
每个受限制的平面分拆都对应一种堆箱子的方式，从而对应六边形的一个菱形密铺。这个对应是一一的。较真的读者可能会说：“且慢，你这只是从视觉直观上看出来菱形密铺和堆箱子是一一对应的，这不够严格吧？” 没错，严格的证明是可以有的，但是这里我们的目的是欣赏一处数学奇趣，不必搞得那么学究。
总之，我们把开头的密铺问题转化为平面分拆的计数问题：
问题： 满足如下两个条件的 \(a\) 行 \(b\) 列矩阵有多少个？
- 元素都是 \([0,c]\) 之间的非负整数；
- 每一行从左到右，每一列从上到下都是递减的。
设答案为 \(M(a,b,c)\)，则我们有一个非常令人吃惊的表达式：
定理. （Macmahon 公式）
\[M(a,b,c)=\prod_{i=1}^a\prod_{j=1}^b\prod_{k=1}^c\frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}.\]
虽然问题看起来很初等，但是答案的复杂暗示我们它并不像看起来那么容易。接下来你会看到，用一个巧妙的方法可以把问题转化为求一个行列式的值。
不相交的路径组
我们知道在平面上从原点 \((0,0)\) 出发，每次向右或者向上移动一个单位的距离，到达点 \((b,a)\) 的路径个数是组合数 \(\binom{a+b}{b}\)，这样的一条路径叫做 Gauss 路径。
每个平面分拆的矩阵 \(A\) 都对应 \(c\) 条这样的路径，其中第 \(k\) 条路径是高度为 \(k\,(1\leq k\leq c)\) 的那一层的“等高线”：
我们把这些路径投影到 2D，和矩阵 \(A\) 画在一起。从最下方的路径开始，第 \(i\) 条路径对应的是矩阵中 \(\geq i\) 的那些方格构成的区域的边界：
注意 \(A\) 的行和列满足递降关系，这个递降关系反映在这 \(c\) 条路径上就是，对任何两条路径，它们可以有接触点或者重合的边，但彼此不能穿过对方。
接下来是关键的一步：如果把这 \(c\) 条路径沿着 \((-1,1)\) 方向，分别平移 \(0,1,\ldots,c-1\) 个单位，则平移后的 \(c\) 条路径两两之间将没有任何公共点。我们称之为一个不相交的路径组。如下图所示：
这里 \(A_i=(1-i,i-1)\)，\(B_j=(b+1-j,a-1+j)\)，\(\{p_i:A_i\rightarrow B_i,1\leq i\leq c\}\) 是一个不相交的路径组。反过来对每一个这样的不相交的路径组，我们也很容易还原出对应的平面分拆来。
于是我们的问题又进一步转化为
问题： 设 \[\{A_i=(1-i,i-1) ,\, 1\leq i\leq c\}\] 和 \[\{B_j=(b+1-j,a-1+j),\, 1\leq j\leq c\}\] 是平面上两组顶点集，求出所有不相交的路径组 \(\mathcal{P}=\{p_i,1\leq i\leq c\}\) 的数目，其中 \(p_i\) 是从 \(A_i\) 出发到 \(B_i\) 的 Gauss 路径。
Gessel-Viennot 的巧妙方法
考虑这样一个 \(c\times c\) 的矩阵 \(M\)，其元素 \(m_{ij}\) 是从点 \(A_i\) 出发到达点 \(B_j\) 的所有 Gauss 路径的数目。由于点 \(A_i\) 坐标为 \((1-i,i-1)\)，点 \(B_j\) 坐标为 \((b+1-j,a-1+j)\)，所以 \[m_{ij}=\binom{a+b}{b+i-j}.\] 这里如果 \(b+i-j<0\) 则规定 \(m_{ij}=0\)。Gessel-Viennot 引理非常意外地告诉我们：
引理. （Gessel-Viennot 引理）
记 \(\mathcal{A}=\{A_i,1\leq i\leq c\}\) 和 \(\mathcal{B}=\{B_j,1\leq j\leq c\}\) 是如上所述的两个顶点集合，对 \(c\) 元组上的任一置换 \(\sigma\)，记 \(\mathcal{P}_\sigma=\{p_i:A_i\to B_{\sigma(i)}\}\) 为一个路径组。则所有不相交路径组的个数为 \[\det M=\det_{1\leq i,j\leq c}\left(\left(\begin{array}{c}a+b\\b+i-j\end{array}\right)\right).\]
Gessel-Viennot 引理对更一般的带权的图也成立，它在许多组合问题中都有精彩的应用。关于这方面可以参看 (Aigner and Ziegler 2018)。
证明：把 \(\det M\) 按照行列式的定义展开：
\[\begin{aligned}\det M&=\sum_{\sigma}\text{sgn}(\sigma)m_{1\sigma(1)}\cdots m_{c\sigma(c)}\\&=\sum_{\sigma}\text{sgn}(\sigma)\left(\sum_{p_1:A_1\to B_{\sigma(1)}}1\right)\cdots\left(\sum_{p_c:A_c\to B_{\sigma(c)}}1\right).\end{aligned}\]
其中 \(\sigma\) 跑遍对称群 \(S_c\) 的所有置换。取出其中的一项
\[\left(\sum_{p_1:A_1\to B_{\sigma(1)}}1\right)\cdots\left(\sum_{p_c:A_c\to B_{\sigma(c)}}1\right),\]
把它展开得到很多个 1，每个 1 对应一个路径组 \(\mathcal{P}_\sigma=\{p_i:A_i\rightarrow B_{\sigma(i)},1\leq i\leq c\}\)，因此
\[\det M=\sum_{\sigma,\mathcal{P}_\sigma}\text{sgn}(\sigma). \tag{$\ast$}\label{eq:det}\]
这个求和是对每个置换 \(\sigma\)，跑遍所有可能的路径组 \(P_\sigma\)。
我们来证明在上面的求和中，相交的路径组对应的项可以两两抵消，剩下的只有不相交的路径组。
设 \(\mathcal{P}\) 是一个相交的路径组，我们构造与之抵消的路径组 \(\mathcal{P}'\) 如下：
- 在 \(\mathcal{P}\) 的所有交点中，首先选择横坐标最大的那个，如果这样的交点有多个，就选择纵坐标最大的那个，将其记作 \(C\)。
- 在经过 \(C\) 的所有路径中，首先选择最大的 \(i\) 使得 \(p_i:A_i\rightarrow B_{\sigma(i)}\) 经过 \(C\)，再选择最大的 \(j\ne i\) 使得 \(p_j\) 也经过 \(C\)。
- 交换 \(p_i\) 和 \(p_j\) 在 \(C\) 点之后的部分，保持路径组其它部分不动。记得到的新路径组为 \(\mathcal{P}'\)。
直观上，你可以想象两个人分别从 \(A_i\) 和 \(A_j\) 出发沿着路径 \(p_i\) 和 \(p_j\) 前往目的地 \(B_{\sigma(i)}\) 和 \(B_{\sigma(j)}\)。当他们到达 \(C\) 时改变路线，沿着对方剩下的路径前往对方的目的地。
于是 \(\mathcal{P}'\) 对应的置换 \(\sigma'\) 与 \(\mathcal{P}\) 对应的置换 \(\sigma\) 只差一个对换 \((ij)\)，因此 \(\text{sgn}(\sigma')=-\text{sgn}(\sigma)\)。更重要的是，如果对 \(\mathcal{P}'\) 也进行上述操作的话，又会回到 \(\mathcal{P}\)，因此相交的路径组确实可以两两配对抵消。
于是我们可以把 \((\ref{eq:det})\) 改写为 \[\det M=\sum_{\sigma,\mathcal{P}_\sigma \text{ non-intersecting}}\text{sgn}(\sigma).\]
但是注意，不相交的路径组只有在 \(\sigma=1\) 时才可能发生，即每个 \(A_i\) 的目的地必须是 \(B_i\)。所以我们进一步得到 \[ \det M=\sum_{\sigma=1\text{ and } \mathcal{P}_\sigma \text{ non-intersecting}}1.\] 这正是所有不相交路径组的个数。\(\blacksquare\)
Dodgson’s condensation method
为了求出行列式的值，我们介绍一个古老的方法：Dodgson’s condensation。这是一个递归求解行列式的方法：设 \(A\) 是一个 \(n\times n\) 矩阵，用 \(A_i^j\) 表示删去 \(A\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后剩下的 \(n-1\) 阶矩阵，用 \(A_{1,n}^{1,n}\) 表示删去 \(A\) 的第 1 行第 1 列和第 \(n\) 行第 \(n\) 列后剩下的 \(n-2\) 阶矩阵，则我们有恒等式
\[\det A\cdot \det A_{1,n}^{1,n}=\det A_1^1\det A_n^n-\det A_1^n\det A_n^1.\]
用一个形象的图片描述：
这个结论的证明不难，可以见 维基百科，这里就不再写了。
我们对 \(c\) 归纳来证明
定理. （Macmahon 公式）
\[\det_{1\leq i,j\leq c}\left(\left(\begin{array}{c}a+b\\b+i-j\end{array}\right)\right)=\prod_{i=1}^a\prod_{j=1}^b\prod_{k=1}^c\frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}.\]
首先你需要对 \(c=1\) 和 \(c=2\) 的情形手算验证（略繁琐，不过只是一个 2 阶矩阵），设 \(M_c(a, b)\) 为所求的行列式，注意到
\[\begin{cases}(M_c(a,b))_1^1=M_{c-1}(a,b),\\(M_c(a,b))_n^n=M_{c-1}(a,b),\\(M_c(a,b))_1^n=M_{c-1}(a-1,b+1),\\(M_c(a,b))_n^1=M_{c-1}(a+1,b-1),\\(M_c(a,b))^{1,n}_{1,n}=M_{c-2}(a,b).\end{cases}\]
然后应用归纳假设即可。
注： 问题的 \(q-\) 计数版本也可以用 Gessel-Viennot 引理来做，只是行列式的求值略复杂。其实也可以用 Krattenthaler 公式 来计算，不过那个方法不是我们要讲的。
番外话
说点八卦的东西。Dodgson 是 19 世纪英国牛津大学的数学教授，细心点的读者可能注意到这位老兄的名字实在让人不敢恭维：Dodgson，dog .. son？大概他也知道自己的名字难登大雅之堂，所以他给自己取了一个很好听的笔名：Lewis Carroll（路易斯·卡罗尔）。
你对这个名字没有反应么？那好，我们继续说说他的轶事。这位老兄虽然名字略俗，受过的教育可不含糊，是牛津大学的数学教授，也算上层社会体面人物，但是按照今天的话说，是个不折不扣的怪蜀黍，对萝莉有着特别的喜爱，尤其喜爱给她们拍裸照，所以后人基本认定他是一个恋童癖大叔。他曾经专门为邻居家的女儿写了一部童话来哄她开心，这就是大名鼎鼎的《爱丽斯漫游奇境记》。虽然创作动机不纯，但是这部童话非常精彩，以至于当时的英国女王都变成了他的粉丝。女王命令手下的大臣把 Dodgson 的全部著作都搜集呈上来，于是大臣献上了一本厚厚的《符号逻辑》，当然结果你猜得到的 …
时光一转到了 20 世纪 80 年代，三位数学家 William Mills，David Robbins 和 Howard Rumsey 在研究计算行列式的快速数值算法时，受 Dodgson 算法的启发，发现了交错符号矩阵猜想。这是计数组合学里面最精彩的猜想之一。我向你推荐 Bressoud 的书 (Bressoud 1999)，我保证里面的故事和《爱丽丝漫游奇境记》一样奇妙 …