五一期间我写了一个 shadertoy 小动画，演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系：

我写了一个 Shadertoy 小动画，演示 Needham 的 "Visual complex analysis" 一书中第七章 "Winding numbers and topology" 中的结论：

我昨晚刚完成了一个 Shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理 以及静电场的关系。请欣赏：

The English version of this doc is here.

本文要介绍的是我写的一个高颜值的、脱离了低级趣味的小程序：用 Python 和 POV-Ray 绘制各种三维多面体和四维多胞体，代码在 github 上。

以下是用这个程序渲染的一些例子，其中不同颜色的顶点/边/面表示它们在对称群的作用下位于不同的轨道中，具体解释见后。

本文要介绍的是我写的一个有趣的 Python 小程序，一个脱离了低级趣味的程序，一个有益于广大人民了解算法的程序。代码在 Github 上。

这个程序可以用来制作各种各样的算法动画，包含但不限于：

几年前在知乎上有这么 一个问题：

问题：有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式，它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的，而对任意素数 \(p\)，模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的？

当时我给了回答，后来账号注销了，答案也一并删除了。现在把我的原答案贴在这里：

我研究生的高等概率论课程用的是 Durrett 的教材 "Probability: Theory and Examples"。这本书的好处我就不再介绍了，院长陈大岳老师在世图影印版的前言中已经夸了一遍。我个人的体会是，Durrett 的书在讲解证明的时候非常简练，很少写为什么要这样证，我有时候读了半天也没搞明白思路。Birkhoff 遍历定理算是其中一个，于是我重新整理了一下书中的证明，作此文留念。

Birkhoff 遍历定理最初由 Birkhoff 本人在 1931 年发表，原文长达 50 页。随后在 1939 年 K.Yosida （吉田耕作） 和 S.Kakutani （角谷） 利用极大遍历定理给出了一个 10 页的简洁证明，不过他们关于极大遍历定理的证明还是啰嗦了点，后来 Garsia 给出了极大遍历定理的一个仅有寥寥数行的惊人证明，这也是当前大多数教材采用的途径，本文就来介绍这一证明。

问题：假设你是一位大龄男士，准备参加 100 场相亲 （别介意具体数字）。你打算依次与每个女士 \(i\) 约会，然后根据印象给她打一个分数 \(X_i\)，\(X_i\) 的值介于 \([0,1]\) 之间。如果你对女士 \(i\) 很满意，那么就和她结婚，否则就放弃她，参加下一场相亲，当然拒绝了人家可就没有回头的机会了。如果你拒绝了前 99 位女士，那么不论第 100 次相亲结果如何你都只能和最后这位女士结婚。在相亲之前，你对这些女士的情况一无所知，所以姑且假定她们的分数 \(X_i\) 都是 \([0,1]\) 上均匀分布的独立的随机变量。问题是：应该采取怎样的相亲策略，才能娶到你最中意的女士？

今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用：

问题：平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\)，它们位于一个正三角形的三个顶点处。质点之间两两由一根弹簧相连，三个弹簧都是一样的，但是弹簧质量忽略不计。

初始时所有质点都处于静止状态，弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度，使这三个质点在平面内作刚体运动，不考虑任何摩擦力和空气阻力。那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么？

这里 简正模式 的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。

著名概率学家 Feller 在他的名著 "An introduction to probability and its applications" 中提到了这样一个实验：

重复抛掷一枚均匀的硬币，用 H 代表正面向上，T 代表背面向上，一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 Ｈ 组成的模式记作 HHHHHH，所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量，最小值是 6，最大值可以是无限。Feller 问：等待时间的均值是多少？

这个问题可以用 Markov 链来解，但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文

A Martingale Approach to the Study of Occurrence of Sequence Patterns in Repeated Experiments.

中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法，本文就来介绍他的方法。