五一期间我写了一个 shadertoy 小动画，演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系：

这几天因为疫情居家观察难得多出点时间（不用健步挤地铁），可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章，今天继续那里的讨论，介绍一个 Möbius 变换 \(M\) 作为 Poincaré 双曲空圆盘 \(\mathbb{H}\) 上的等距的两种构造方法：

1. 指定 \(M\) 的不动点的位置，不动点的位置就可以决定变换的类型。
2. 指定两个反射镜面的位置：取 \(\mathbb{H}\) 中的两条测地线作为镜面，则关于这两个镜面的反演变换的复合变换就是一个 Möbius 变换。镜面之间的关系也可以决定变换的类型。

这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。

本文的插图使用 matplotlib 绘制，代码在 Github 上。

前几天在网上看到了一位艺术家 Anthony James 的展览作品，使用多面体和镜子生成万花筒的效果，觉得很有意思：

本系列的 第一篇文章 讨论了两个反射生成的万花筒的结构，本文是系列的第二篇，将讨论推广到一般的有限生成 Coxeter 群。

我们还是会同时关注 \(V^\ast\) 中根系 （反射镜面） 的结构和 \(V\) 中 Tits 锥（万花筒）的结构。

“锥”是本文中出现的一个高频词，有必要在这里明确澄清。本文采用如下定义：

设 \(V\) 是一个实向量空间，称集合 \(C\subset V\) 是一个锥，如果对任何 \(x\in C\) 和实数 \(\alpha\geq0\) 有 \(\alpha x\in C\)。此外如果 \(C\) 还是一个凸集，就称 \(C\) 是一个凸锥。这时对任何 \(x,y\in C\) 和非负实数 \(\alpha,\beta\geq0\) 都有 \(\alpha x + \beta y\in C\) 成立。

我之前写过两个和双曲空间中的万花筒有关的程序：

• 万花筒里的数学：双曲空间、蜂巢、球堆以及分形。
• Coxeter 群，有限状态机与均匀密铺。

这两个程序涉及的数学知识比较复杂，在项目文档里根本没法说清楚，所以我这里开了一个系列，计划分四篇，完整介绍它们涉及的数学内容：

1. 两个反射生成的 Coxeter 群。
2. 一般 Coxeter 群的几何实现。
3. 双曲 Coxeter 群与圆堆。
4. Coxeter 群的极小根与正则语言。

本文是这个系列的第一篇，介绍两个反射生成的 Coxeter 群的结构，直白点就是两个反射镜面得到的万花筒的结构。这是最简单的、非平凡的 Coxeter 群的例子，许多对一般 Coxeter 群成立的重要性质在 rank=2 的情形也可以看得非常清楚。本文的风格是受到了 Casselman 的影响，他的讲义中对 rank=2 的情形进行了挖地三尺般的讨论。我开始念的时候很不适应，心想两个反射放在一起能复杂到哪里去呢？后来才认识到，熟悉 rank=2 的情形对后面的理解大有助益。特别是 \(n_{s,t}>4\) 的情形对应的是两个双曲空间中超平行的镜面，关于它们的镜面反射是两个反演变换。所以如果只把对万花筒的认识停留在生活中见到的万花筒的样子的话，是难以领会许多定理的含义的。

在本文中，需要始终抓住的一条主线是同时注意发生在 \(V\) 和 \(V^\ast\) 上的两个现象：

1. 在 \(V\) 上群在 Tits 锥上是如何作用的。
2. 在 \(V^\ast\) 上根系 \(\Phi\in V^\ast\) 的结构。

⚠ 本文比较长，且包含大量图片和动画。

本文介绍我和哥廷根大学的陈浩老师最近合作完成的一个数学可视化项目：绘制高维双曲空间中的球堆。这个项目非常有意思，可谓“雅俗共赏”，一方面读者不需要具备专门的数学知识，仅通过直观欣赏即可领略数学中的对称之美、分形之美；另一方面它的背后涉及不少硬核的数学，如双曲几何、Coxeter 群、动力系统等，漂亮的图形背后蕴含着更为深刻的内在美，所以我迫不及待地把它写出来分享给大家。我尽量不引入复杂的数学概念和证明，虽然有时候也很难避免做一些推理。

文章的主标题是万花筒，万花筒是我们生活中常见的一种玩具，我想对它大家应该并不陌生，而副标题则涉及四个数学名词双曲空间 (hyperbolic space)、密铺 (tiling)、球堆 (ball packings)、分形 (fractals)，这几个概念恐怕对有些同学就比较陌生了。打个比方的话，双曲空间是故事发生的舞台，密铺和球堆是舞台上的两位主演，它们相互合作呈现出分形的效果。

我写了一个 Shadertoy 小动画，演示 Needham 的 "Visual complex analysis" 一书中第七章 "Winding numbers and topology" 中的结论：

下面这个动画是受到

Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other

这本书启发所作：

我昨晚刚完成了一个 Shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理以及静电场的关系。请欣赏：

周末刚完成了一个有点烧脑的 Shadertoy 项目，Escher 风格的 非周期密铺：