Möbius 变换与 Poincaré 双曲空间的等距

这几天因为疫情居家观察难得多出点时间(不用健步挤地铁),可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章,今天继续那里的讨论,介绍一个 Möbius 变换 \(M\) 作为 Poincaré 双曲空圆盘 \(\mathbb{H}\) 上的等距的两种构造方法:

  1. 指定 \(M\) 的不动点的个数和位置,不动点的个数和位置可以决定变换的类型。
  2. 指定两个反射镜面的位置:取 \(\mathbb{H}\) 中的两条测地线作为镜面,则关于这两个镜面的反演变换的复合变换就是一个 Möbius 变换。镜面之间的关系也可以决定变换的类型。

这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。

本文的插图使用 matplotlib 绘制,代码在 Github 上。

Coxeter 群基础知识 (二):几何实现

本系列的 第一篇文章 讨论了两个反射生成的万花筒的结构,本文是系列的第二篇,将讨论推广到一般的有限生成 Coxeter 群。

我们还是会同时关注 \(V^\ast\) 中根系 (反射镜面) 的结构和 \(V\) 中 Tits 锥(万花筒)的结构。

“锥”是本文中出现的一个高频词,有必要在这里明确澄清。本文采用如下定义:

\(V\) 是一个实向量空间,称集合 \(C\subset V\) 是一个,如果对任何 \(x\in C\) 和实数 \(\alpha\geq0\)\(\alpha x\in C\)。此外如果 \(C\) 还是一个凸集,就称 \(C\) 是一个凸锥。这时对任何 \(x,y\in C\) 和非负实数 \(\alpha,\beta\geq0\) 都有 \(\alpha x + \beta y\in C\) 成立。

Coxeter 群基础知识 (一):反射

我之前写过两个和双曲空间中的万花筒有关的程序:

这两个程序涉及的数学知识比较复杂,在项目文档里根本没法说清楚,所以我这里开了一个系列,计划分四篇,完整介绍它们涉及的数学内容:

  1. 两个反射生成的 Coxeter 群。
  2. 一般 Coxeter 群的几何实现。
  3. 双曲 Coxeter 群与圆堆。
  4. Coxeter 群的极小根与正则语言。

本文是这个系列的第一篇,介绍两个反射生成的 Coxeter 群的结构,直白点就是两个反射镜面得到的万花筒的结构。这是最简单的 Coxeter 群的例子,许多对一般 Coxeter 群成立的重要性质在这种情形也可以看得非常清楚。本文的风格是受到了 Casselman 的影响,他的讲义中对两个反射的情形进行了挖地三尺般的讨论。我开始念的时候很不适应,心想两个反射放在一起能复杂到哪里去呢?后来才认识到,熟悉这种情形对后面的理解大有助益。特别是 \(n_{s,t}>4\) 的情形对应的是两个双曲空间中超平行的镜面,关于它们的镜面反射是两个反演变换。如果只把对万花筒的认识停留在生活中见到的万花筒的样子的话,是难以领会许多定理的含义的。

在本文中,需要始终抓住的一条主线是同时注意发生在 \(V\)\(V^\ast\) 上的两个现象:

  1. \(V\) 上群在 Tits 锥上是如何作用的。
  2. \(V^\ast\) 上根系 \(\Phi\in V^\ast\) 的结构。

二维随机游动 (二):一个随机的完美迷宫分别有多少死角、直路、拐角、岔路和十字路口?

和之前一样,我们还是通过一个有趣的问题来引入主题。

问题:在 \(n\times n\) 的正方形网格图 \(G_n\) 的所有生成树中等概率地随机任选一个,记这个随机生成树为 \(T\)\(T\) 叫做 \(G_n\) 的一个均匀生成树。对 \(G_n\) 中任一顶点 \(v\)\(v\)\(T\) 的叶节点的概率是多少?

这个问题可以换一种更通俗的描述:

等价问题:对一个完全随机的 \(n\times n\) 的完美迷宫,它包含的“死角”的比例是多少?

为什么这两个问题是一回事?

一个迷宫称作是完美的,如果迷宫中的任何两个房间之间都有且仅有唯一的道路相连,这正是生成树的等价描述!迷宫中的一个房间称作是“死角”,当且仅当它只有一条道路与其它房间相通,没有其它出路,这正是叶节点的等价描述!

下图显示了三个不同的均匀生成树,它们分别来自大小为 \(80\times 80\)\(120\times120\)\(200\times200\) 的三个网格图,这三个生成树的叶节点(用蓝色标出)占全体顶点的比例分别为 \(1884/6400=0.294375\)\(4234/14400\approx0.294028\)\(11776/40000=0.2944\)。咦?看起来好像是在围着一个固定的值波动喔?

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