五一期间我写了一个 shadertoy 小动画，演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系：

这几天因为疫情居家观察难得多出点时间（不用健步挤地铁），可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章，今天继续那里的讨论，介绍一个 Möbius 变换 \(M\) 作为 Poincaré 双曲空圆盘 \(\mathbb{H}\) 上的等距的两种构造方法：

1. 指定 \(M\) 的不动点的个数和位置，不动点的个数和位置可以决定变换的类型。
2. 指定两个反射镜面的位置：取 \(\mathbb{H}\) 中的两条测地线作为镜面，则关于这两个镜面的反演变换的复合变换就是一个 Möbius 变换。镜面之间的关系也可以决定变换的类型。

这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。

本文的插图使用 matplotlib 绘制，代码在 Github 上。

2023/05/07 更新：搬到了 shadertoy 上，用户可以自由调整参数和内/外视角。shadertoy 的版本不支持 snub 类型的多面体（倒也不是不能做，主要是我太懒了）

前几天在网上看到了一位艺术家 Anthony James 的展览作品，使用多面体和镜子生成万花筒的效果，觉得很有意思：

本系列的 第一篇文章 讨论了两个反射生成的万花筒的结构，本文是系列的第二篇，将讨论推广到一般的有限生成 Coxeter 群。

我们还是会同时关注 \(V^\ast\) 中根系 （反射镜面） 的结构和 \(V\) 中 Tits 锥（万花筒）的结构。

“锥”是本文中出现的一个高频词，有必要在这里明确澄清。本文采用如下定义：

设 \(V\) 是一个实向量空间，称集合 \(C\subset V\) 是一个锥，如果对任何 \(x\in C\) 和实数 \(\alpha\geq0\) 有 \(\alpha x\in C\)。此外如果 \(C\) 还是一个凸集，就称 \(C\) 是一个凸锥。这时对任何 \(x,y\in C\) 和非负实数 \(\alpha,\beta\geq0\) 都有 \(\alpha x + \beta y\in C\) 成立。

我之前写过两个和双曲空间中的万花筒有关的程序：

• 万花筒里的数学：双曲空间、蜂巢、球堆以及分形。
• Coxeter 群，有限状态机与均匀密铺。

这两个程序涉及的数学知识比较复杂，在项目文档里根本没法说清楚，所以我这里开了一个系列，计划分四篇，完整介绍它们涉及的数学内容：

1. 两个反射生成的 Coxeter 群。
2. 一般 Coxeter 群的几何实现。
3. 双曲 Coxeter 群与圆堆。
4. Coxeter 群的极小根与正则语言。

本文是这个系列的第一篇，介绍两个反射生成的 Coxeter 群的结构，直白点就是两个反射镜面得到的万花筒的结构。这是最简单的 Coxeter 群的例子，许多对一般 Coxeter 群成立的重要性质在这种情形也可以看得非常清楚。本文的风格是受到了 Casselman 的影响，他的讲义中对两个反射的情形进行了挖地三尺般的讨论。我开始念的时候很不适应，心想两个反射放在一起能复杂到哪里去呢？后来才认识到，熟悉这种情形对后面的理解大有助益。特别是 \(n_{s,t}>4\) 的情形对应的是两个双曲空间中超平行的镜面，关于它们的镜面反射是两个反演变换。如果只把对万花筒的认识停留在生活中见到的万花筒的样子的话，是难以领会许多定理的含义的。

在本文中，需要始终抓住的一条主线是同时注意发生在 \(V\) 和 \(V^\ast\) 上的两个现象：

1. 在 \(V\) 上群在 Tits 锥上是如何作用的。
2. 在 \(V^\ast\) 上根系 \(\Phi\in V^\ast\) 的结构。

我写了一个 Shadertoy 小动画，演示 Needham 的 "Visual complex analysis" 一书中第七章 "Winding numbers and topology" 中的结论：

下面这个动画是受到 Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other 这本书启发所作：

我昨晚刚完成了一个 Shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理以及静电场的关系。请欣赏：

周末刚完成了一个有点烧脑的 Shadertoy 项目，Escher 风格的 非周期密铺：

和之前一样，我们还是通过一个有趣的问题来引入主题。

问题：在 \(n\times n\) 的正方形网格图 \(G_n\) 的所有生成树中等概率地随机任选一个，记这个随机生成树为 \(T\)，\(T\) 叫做 \(G_n\) 的一个均匀生成树。对 \(G_n\) 中任一顶点 \(v\)，\(v\) 是 \(T\) 的叶节点的概率是多少？

这个问题可以换一种更通俗的描述：

等价问题：对一个完全随机的 \(n\times n\) 的完美迷宫，它包含的“死角”的比例是多少？

为什么这两个问题是一回事？

一个迷宫称作是完美的，如果迷宫中的任何两个房间之间都有且仅有唯一的道路相连，这正是生成树的等价描述！迷宫中的一个房间称作是“死角”，当且仅当它只有一条道路与其它房间相通，没有其它出路，这正是叶节点的等价描述！

下图显示了三个不同的均匀生成树，它们分别来自大小为 \(80\times 80\)，\(120\times120\) 和 \(200\times200\) 的三个网格图，这三个生成树的叶节点（用蓝色标出）占全体顶点的比例分别为 \(1884/6400=0.294375\)，\(4234/14400\approx0.294028\)，\(11776/40000=0.2944\)。咦？看起来好像是在围着一个固定的值波动喔？