在数学中有那么一些问题，它们的表述简单而初等，但是解决起来却非常困难，往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具，而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起，演绎出许多奇妙的故事来。

Young 表就是其中一个精彩的例子，组合数学，表示论，概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们先从一个有趣的问题开始：

问题：\(n\) 位选民要在一次选举中给 \(m\) 个候选人投票，每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\)，这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\) 且 \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是：有多少种不同的得票序列，使得在投票过程中的任一时刻，对任何的 \(i<j\)，第 \(i\) 位候选人所得的票数总不少于第 \(j\) 位候选人所得的票数？

举个例子，假设有 \(n=10\) 位选民和 \(m=4\) 个候选人，则得票序列 \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\] 表示第一个选民投票给 1 号，第二个选民投票给 2 号，第三个选民投票给 1 号，第四个选民投票给 3 号，依次类推。符合问题要求的序列必须满足对任何 \(1\leq k\leq n\) 和 \(1\leq i<j\leq m\)，序列的前 \(k\) 项中数字 \(i\) 出现的次数都大于等于数字 \(j\) 出现的次数。

虽然问题的表述很简单，但其实答案相当复杂，绝非一般的初等方法所能解决。对付它的最好方法是 Schur 多项式的理论，我接下来就来介绍它。

二次型的惯性指数问题

我在研究生期间给学弟学妹们当高等代数课助教时，除了改改作业，讲讲习题，还经常需要出一些有点巧妙但又不太复杂的题目，帮助他们理解所学的内容。某一次我出了这样一道题：

问题：我们知道如果 \(A\) 是一个对称矩阵，\(T\) 是一个可逆矩阵，则 \(B=T'AT\) 也是对称矩阵且 \(A,B\) 合同 (congruent)，所以它们有相同的正负惯性指数。如果 \(T\) 是不可逆矩阵呢？这时 \(A\) 和 \(B\) 的正负惯性指数有怎样的关系？

当时班上无人能立刻给出答案。

其实这个题目不过是我把他们作业中的一道题改了改说法而已：

讲述 Wedderburn-Artin 定理的教材已经非常多了，在介绍群表示论或者非交换环的书里通常都可以找到，证明途径也大同小异。据我个人的体会，讲群表示论的书往往只介绍有限维群代数的情形，显得不太够用；而讲非交换环的书则喜欢从 Jacobson 根，密度定理讲起，念起来很让人劝退。我觉得 Artinian 环情形的 Wedderburn-Artin 定理还是非常有用的。我打算采用当年 Wedderburn 的思路展开叙述，即通过极大幂零理想来定义半单性。这种方式的好处是每一步的动机都比较自然，至少比上来就丢出一个 Jacobson 根的定义让人舒服一些。

依次将 \(1,2,\ldots,n\) 个全等的正六边形摞在一起，得到的图案记作 \(T_n\)，下图是 \(n=7\) 的例子：

我们把连在一起的、对称中心在一条直线上的三个正六边形组成的图案叫做一块“骨头”，根据摆放的角度有三种不同的骨头：

问题是：

问题：求证对任何 \(n\)，\(T_n\) 都不可能用若干块骨头不重叠不遗漏地恰好铺砌。

这个题目出自 Conway 的论文 "Tiling with polyominoes and combinatorial group theory"，在 Thurston 的文章 "Groups, tilings and finite state automata" 中也有讨论。题目的难点在于用传统的染色方法是得不出矛盾的，Conway 等人采用的是组合群论的途径，即用适当的群元素给铺砌作标记来获得某种铺砌的不变量，并说明区域 \(T_n\) 不满足这个不变量，从而导出矛盾。本文就来介绍这一方法。

本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告，目的是介绍中心单代数的三个最基本的结论：中心单代数对张量积运算是封闭的，Noether-Skolem 定理，双重中心化子定理。这部分内容比较古老，在很多教材上都有，但是采用的途径却很不一样，找一个完全符合自己口味的讲述不是件容易的事情。Jacobson 的书我念的就很抓狂。后来查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文，希望我的表述做到了清楚易懂。

⚠ 本文的水平当然不如专业的教材，但据我所知这里的证明是最直接了当的。

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？

理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。

在数学里面经常可以提出这样一些问题：它们叙述起来很简单，答案看起来也很显然，但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的“入门课”中也不缺少这样的问题：

问题：设域 \(\mathbb{F}\) 上的所有 \(n\) 阶矩阵构成的向量空间为 \(\mathbb{M}_n(\mathbb{F})\)，\(M\) 是 \(\mathbb{M}_n(\mathbb{F})\) 的一个子空间。

1. 如果 \(M\) 中的所有矩阵关于矩阵乘法两两可以交换，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
2. 如果 \(M\) 中的所有矩阵的秩都不超过 \(r\)，这里 \(0<r<n\)，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
3. 如果 \(M\) 中所有矩阵都是幂零的，即对任何 \(A\in M\)，存在一个正整数 \(m\) 使得 \(A^m=0\)，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
4. 如果 \(M\) 中所有非零矩阵都是可逆矩阵，那么 \(M\) 的维数最大是多少？

下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关：

问题：一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘，用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌密铺，有多少种不同的方法？

下图是其中一种 (图片来自 wiki 百科)：

答案是 12988816，非常大的一个数字，绝对不是一个一个数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助于线性代数中的一个结论首先解决了这个问题，接下来就介绍他的方法。

问题：一个边长为 \(a\times b\times c\) 的平行六边形 (\(a,b,c\) 都是正整数)，每个内角都是 120 度。用边长为 1 的菱形密铺，有多少种不同的方法？

下图是一种密铺的示例：