在数学中有那么一些问题,它们的表述简单而初等,但是解决起来却非常困难,往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具,而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起,演绎出许多奇妙的故事来。
Young 表就是其中一个精彩的例子,组合数学,表示论,概率论在这里发生了奇妙的交汇。
我们先从一个有趣的问题开始:
问题:\(n\) 位选民要在一次选举中给 \(m\) 个候选人投票,每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\),这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\) 且 \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是:有多少种不同的得票序列,使得在投票过程中的任一时刻,对任何的 \(i<j\),第 \(i\) 位候选人所得的票数总不少于第 \(j\) 位候选人所得的票数?
举个例子,假设有 \(n=10\) 位选民和 \(m=4\) 个候选人,则得票序列 \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\] 表示第一个选民投票给 1 号,第二个选民投票给 2 号,第三个选民投票给 1 号,第四个选民投票给 3 号,依次类推。符合问题要求的序列必须满足对任何 \(1\leq k\leq n\) 和 \(1\leq i<j\leq m\),序列的前 \(k\) 项中数字 \(i\) 出现的次数都大于等于数字 \(j\) 出现的次数。
虽然问题的表述很简单,但其实答案相当复杂,绝非一般的初等方法所能解决。对付它的最好方法是 Schur 多项式的理论,我接下来就来介绍它。
二次型的惯性指数问题
我在研究生期间给学弟学妹们当高等代数课助教时,除了改改作业,讲讲习题,还经常需要出一些有点巧妙但又不太复杂的题目,帮助他们理解所学的内容。某一次我出了这样一道题:
问题:我们知道如果 \(A\) 是一个对称矩阵,\(T\) 是一个可逆矩阵,则 \(B=T'AT\) 也是对称矩阵且 \(A,B\) 合同 (congruent),所以它们有相同的正负惯性指数。如果 \(T\) 是不可逆矩阵呢?这时 \(A\) 和 \(B\) 的正负惯性指数有怎样的关系?
当时班上无人能立刻给出答案。
其实这个题目不过是我把他们作业中的一道题改了改说法而已:
讲述 Wedderburn-Artin 定理的教材已经非常多了,在介绍群表示论或者非交换环的书里通常都可以找到,证明途径也大同小异。据我个人的体会,讲群表示论的书往往只介绍有限维群代数的情形,显得不太够用;而讲非交换环的书则喜欢从 Jacobson 根,密度定理讲起,念起来很让人劝退。我觉得 Artinian 环情形的 Wedderburn-Artin 定理还是非常有用的。我打算采用当年 Wedderburn 的思路展开叙述,即通过极大幂零理想来定义半单性。这种方式的好处是每一步的动机都比较自然,至少比上来就丢出一个 Jacobson 根的定义让人舒服一些。
依次将 \(1,2,\ldots,n\) 个全等的正六边形摞在一起,得到的图案记作 \(T_n\),下图是 \(n=7\) 的例子:
我们把连在一起的、对称中心在一条直线上的三个正六边形组成的图案叫做一块“骨头”,根据摆放的角度有三种不同的骨头:
问题是:
问题:求证对任何 \(n\),\(T_n\) 都不可能用若干块骨头不重叠不遗漏地恰好铺砌。
这个题目出自 Conway 的论文 "Tiling with polyominoes and combinatorial group theory",在 Thurston 的文章 "Groups, tilings and finite state automata" 中也有讨论。题目的难点在于用传统的染色方法是得不出矛盾的,Conway 等人采用的是组合群论的途径,即用适当的群元素给铺砌作标记来获得某种铺砌的不变量,并说明区域 \(T_n\) 不满足这个不变量,从而导出矛盾。本文就来介绍这一方法。
本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告,目的是介绍中心单代数的三个最基本的结论:中心单代数对张量积运算是封闭的,Noether-Skolem 定理,双重中心化子定理。这部分内容比较古老,在很多教材上都有,但是采用的途径却很不一样,找一个完全符合自己口味的讲述不是件容易的事情。Jacobson 的书我念的就很抓狂。后来查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文,希望我的表述做到了清楚易懂。
⚠ 本文的水平当然不如专业的教材,但据我所知这里的证明是最直接了当的。
Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用,本文是若干年前读书时的笔记。
Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理,专门为它写一篇长文好像有点多余:这方面的教材讲义实在是太多了!一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢?
理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候,突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法,照念几个不在话下,但是感觉有点疙疙瘩瘩的:怎么才能说清定理背后的想法,让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢?于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。
第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的,而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形,这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。
在数学里面经常可以提出这样一些问题:它们叙述起来很简单,答案看起来也很显然,但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的“入门课”中也不缺少这样的问题:
问题:设域 \(\mathbb{F}\) 上的所有 \(n\) 阶矩阵构成的向量空间为 \(\mathbb{M}_n(\mathbb{F})\),\(M\) 是 \(\mathbb{M}_n(\mathbb{F})\) 的一个子空间。
- 如果 \(M\) 中的所有矩阵关于矩阵乘法两两可以交换,那么 \(M\) 的维数最大是多少?
- 如果 \(M\) 中的所有矩阵的秩都不超过 \(r\),这里 \(0<r<n\),那么 \(M\) 的维数最大是多少?
- 如果 \(M\) 中所有矩阵都是幂零的,即对任何 \(A\in M\),存在一个正整数 \(m\) 使得 \(A^m=0\),那么 \(M\) 的维数最大是多少?
- 如果 \(M\) 中所有非零矩阵都是可逆矩阵,那么 \(M\) 的维数最大是多少?
下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关:
问题:一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘,用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌密铺,有多少种不同的方法?
下图是其中一种 (图片来自 wiki 百科):
答案是 12988816,非常大的一个数字,绝对不是一个一个数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助于线性代数中的一个结论首先解决了这个问题,接下来就介绍他的方法。
问题:一个边长为 \(a\times b\times c\) 的平行六边形 (\(a,b,c\) 都是正整数),每个内角都是 120 度。用边长为 1 的菱形密铺,有多少种不同的方法?
下图是一种密铺的示例:
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