二维随机游动 (一):逃出太阳系可没有你想象的那么难!

这是一个关于二维随机游动的小系列,整理自我研究生时的读书笔记,每篇文章会从一个有趣直观的问题出发,介绍随机游动理论中的一个相关知识。这些问题是我精心挑选的,总体上都比较基础,并不涉及多么复杂的知识。但是请你也不要期待很快就可以看完问题的解答,因为它们不是那种用个什么巧办法三两下就能搞定的急转弯!

问题:假设某醉汉以太阳系的中心为原点出发,在一个固定的平面内,以恒为 1 米的步长作随机行走。每次醉汉等概率地在东、南、西、北四个方向中任选一个,然后向此方向移动 1 米的距离。如果某个时刻醉汉回到了原点,或者离开了太阳系则过程结束。

现在有 A, B 两个旁观者打赌哪一种情形先发生,A 认为醉汉会先回到原点,B 认为醉汉会先离开太阳系。请问 A 和 B 获胜的概率分别是多少?

作为参考,太阳系半径约为 45 亿千米,看作一个中心在原点的圆形区域。

递降平面分拆的 Andrews 猜想

前言

你可能经常听到这样一句话:“做数学要大胆假设,小心求证”。我们今天要介绍的故事主角平面分拆中的 Andrews 猜想就完美地符合这一点。两个看似风马牛不相及的计数对象,因为有着相同的计数序列,冥冥中被联系在了一起,启发三位数学家 Mill, Robins 和 Rumsey 解决了一个困难的组合学猜想。整个过程并无高深的内容,但是其中的“信仰一跃”和“灵魂一猜”构成了故事的高潮,而那些繁琐的计算过程不过是小心求证的注脚而已。

本文来自我几年前读 David Bressoud 的 (Bressoud 1999)

Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture

一书时的读书笔记,但是叙述与 Bressoud 的书不同:Bressoud 是把 DPP 的 Andrews 猜想和 CSPP 的 Macdonald 猜想统一用 \(q-\) 超几何级数一起解决的,因此理论较为复杂。由于 Macdonald 猜想的证明似乎无法避免使用超几何级数的理论,而本人水平不足,没有看懂这一部分,所以这里只介绍 DPP 的 Andrews 猜想,并仅使用初等的 \(q-\) 二项式定理作为工具,所以计算步骤会显得有些繁琐。

有限维复半单李代数的 Weyl 特征公式

本文是我念教材 Humphreys (1973) 时的读书笔记,目的是介绍该书的核心定理 24.3,即有限维复半单李代数的 Weyl 特征公式。Humphreys 书中对 Weyl 特征公式的证明来自 Bernstein, Gelfand 和 Gelfand 1971 年的论证。1974 年 Victor Kac 给出了 BGG 证明的一个简化版本,这个证明也收录在 Kac (1990) 一书第 10 章中。但 Humphreys 的书的第一版在 1972 年出版,当时 Kac 的证明还未出现。在第二版中 Humphreys 将 Kac 的证明作为附录加入 24 节中。Humphreys 遵循的 BGG 证明依赖于 Harish-Chandra 关于泛包络代数的中心 \(Z = Z(U(\mathfrak{g}))\) 的一个结果。Kac 的论证避开了 Harish-Chandra 的定理,而是巧妙地仅使用 \(Z\) 的一个元素,即 Casimir 元素。现在的教材大多采用 Kac 的论证,本文也是如此。

但是 Humphreys 也解释了 BGG 证明的优点,比如 Proposition 24.2 中证明一般 Verma 模具有有限合成列几乎无法避免使用 Harish-Chandra 定理。

Wilson 均匀生成树算法

更新:在距离本文初稿完成数年后,我终于实现了一个 Python 程序,可以制作演示 Wilson 算法的 GIF 动图,见 这个 Github 项目。此外还用 Javascript + canvas 为本文写了一个动画演示,这也是我的第一个正式的 Javascript 程序 (其实就是把对应的 Python 程序修改下翻译了过来),你可以随时单击鼠标来重启动画。

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