如果你对 Lie 代数有所了解的话，相信很大概率你会见过下面的图案： ( 参考维基百科的 Lie algebra 词条 )

它展示的是 Lie 代数 \(E_8\) 的根系图。\(E_8\) 的根系由 8 维欧式空间 \(\mathbb{R}^8\) 中的 240 个向量组成，将这 240 个向量投影到一个特殊的 2 维平面 ( 称作 Coxeter 平面 ) 上就会呈现出上图中旋转对称的图案。图中 240 个投影点分布在 8 个圆周上，每个圆周包含 30 个均匀分布的点，整个图案在角度为 \(2\pi/30\) 的旋转下保持不变。\(h=30\) 正是 \(E_8\) 的 Coxeter 数。

本文目的是介绍 Coxeter 元的一些基础知识，然后教大家怎样在 Python 中编写一个程序绘制上面的投影图案。我主要参考了 (Humphreys 1990) 和 (Casselman 2017)。虽然这里面涉及的数学并不复杂，但是真正动手编程实现的时候会有一些魔鬼藏在细节中，而这些细节是仅凭念书很难发现的。

本文的代码在 Github 上 。David Madore 也有一个很棒的 交互式网页 可以绘制 \(E_8\) 的多种不同风格的图案。

我念研究生时的高等概率论课用的是 Durrett 的教材 “Probability: Theory and Examples”。这本书的好处我就不再介绍了，院长陈大岳老师在世图影印版的前言中已经夸了一遍。我个人的体会是，Durrett 的书在讲解证明的时候非常简练，很少写为什么要这样证，我有时候读了半天也没搞明白思路。Birkhoff 遍历定理算是其中一个，于是我重新整理了一下书中的证明，作此文留念。

Birkhoff 遍历定理最初由 Birkhoff 本人在 1931 年发表，原文长达 50 页。随后在 1939 年 K.Yosida （吉田耕作） 和 S.Kakutani （角谷） 利用极大遍历定理给出了一个 10 页的简洁证明，不过他们关于极大遍历定理的证明还是啰嗦了点，后来 Garsia 给出了极大遍历定理的一个仅有寥寥数行的惊人证明，这也是当前大多数教材采用的途径，本文就来介绍这一证明。

在数学中有许多「三分天下」的例子，比如：

1. 常曲率空间只有 Euclidean、球面、双曲三种。
2. 三类典型的偏微分方程：热方程 （抛物）、Laplace 方程 （椭圆）、波方程 （双曲）。
3. 复平面上全纯等价下只有三种单连通区域：单位圆 \(\mathbb{D}\)、复平面 \(\mathbb{C}\)、扩充复平面 \(\overline{\mathbb{C}}\)。
4. 不可约代数簇 （素理想） 在扩张下的三种行为：分解、惯性、分歧。
5. 随机游动可以分为零常返、正常返、暂态。
6. 实数域 \(\mathbb{R}\) 上的有限维结合可除代数只有三种：\(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、四元数 \(\mathbb{H}\)。

本文要介绍的是另外两个三分天下的例子，它们来自群表示论，即有限群的不可约实表示在复数域上的分解，和不可约复表示在实数域上的实现。这两个例子是紧密相关的。

今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用：

这里 简正模式 的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。