Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？
理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。
第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。
在数学里面经常可以提出这样一些问题：它们叙述起来很简单，答案看起来也很显然，但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的「入门课」中也不缺少这样的问题：
问题： 记域 \(\mathbb{F}\) 上的全体 \(n\) 阶矩阵构成的向量空间为 \({\rm Mat}_n(\mathbb{F})\)，\(M\) 是 \({\rm Mat}_n(\mathbb{F})\) 的子空间。
- 如果 \(M\) 中所有矩阵关于矩阵乘法两两可以交换，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
- 如果 \(M\) 中所有矩阵的秩都不超过 \(r\)，这里 \(0<r<n\)，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
- 如果 \(M\) 中所有矩阵都是幂零的，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
- 如果 \(M\) 中所有非零矩阵都是可逆矩阵，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关：
问题： 用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌密铺一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘，有多少种不同的方法？
下图是其中一种：
答案是 12988816，非常大的一个数字，显然不可能是逐个枚举数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助线性代数的工具首先解决了这个问题，本文就来介绍他的方法。
问题： 一个边长为 \(a\times b\times c\) 的平行六边形（\(a,b,c\) 都是正整数），每个内角都是 120 度。用边长为 1 的菱形密铺，有多少种不同的方法？
下图是一种密铺的示例：
2021/03/15 更新：刚得知 Youtube 上的博主 mathologer 制作了一期非常精彩的节目，介绍 Aztec 钻石图与多米诺洗牌算法，非常值得一看！
2021/01/01 更新：2021 年的第一天，有人在 Shadertoy 上放了一个精彩的动画，演示多米诺洗牌算法的步骤：
Aigner 和 Ziegler 所著的 Proofs from the book （中文译版《数学天书中的证明》） 是一本非常精彩的数学读物，其中包含了 40 余个著名的数学问题和它们的巧妙解答。这些问题并不深奥，但也绝非没有受过严格数学训练的人所能欣赏，其中往往包含了相当的洞察力和聪明才智，读起来让人神清气爽，大叹数学之妙。
然而读完这本书的人恐怕都会有意犹未尽的感觉：这就没啦？我还没看够呢！
有一个问题我想是非常适合放在这本书里的，我也非常期待能在未来的版本中看到它，这就是 Aztec 钻石图的多米诺铺砌的计数问题。这个问题完美符合该书选题的标准：
- 表述初等，不需要太多的背景知识就能能理解。
- 内涵丰富。Aztec 钻石图是当前代数组合学中一个热点问题，它与交错符号矩阵、表示论、概率论、统计力学都有着深刻而奇妙的联系，有许多悬而未决的问题有待解决。
- 有多种令人拍案叫绝的解答，每个解答都不平凡，要么需要深刻的数学知识，要么需要开很大的脑洞。
我来介绍一下这个问题：
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