下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关:
问题: 用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌密铺一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘,有多少种不同的方法?
下图是其中一种:
答案是 12988816,非常大的一个数字,显然不可能是逐个枚举数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助线性代数的工具首先解决了这个问题,本文就来介绍他的方法。
问题: 一个边长为 \(a\times b\times c\) 的平行六边形(\(a,b,c\) 都是正整数),每个内角都是 120 度。用边长为 1 的菱形密铺,有多少种不同的方法?
下图是一种密铺的示例:
2021/03/15 更新:刚得知 Youtube 上的博主 mathologer 制作了一期非常精彩的节目,介绍 Aztec 钻石图与多米诺洗牌算法,非常值得一看!
2021/01/01 更新:2021 年的第一天,有人在 Shadertoy 上放了一个精彩的动画,演示多米诺洗牌算法的步骤:
Aigner 和 Ziegler 所著的 Proofs from the book (中文译版《数学天书中的证明》) 是一本非常精彩的数学读物,其中包含了 40 余个著名的数学问题和它们的巧妙解答。这些问题并不深奥,但也绝非没有受过严格数学训练的人所能欣赏,其中往往包含了相当的洞察力和聪明才智,读起来让人神清气爽,大叹数学之妙。
然而读完这本书的人恐怕都会有意犹未尽的感觉:这就没啦?我还没看够呢!
有一个问题我想是非常适合放在这本书里的,我也非常期待能在未来的版本中看到它,这就是 Aztec 钻石图的多米诺铺砌的计数问题。这个问题完美符合该书选题的标准:
- 表述初等,不需要太多的背景知识就能能理解。
- 内涵丰富。Aztec 钻石图是当前代数组合学中一个热点问题,它与交错符号矩阵、表示论、概率论、统计力学都有着深刻而奇妙的联系,有许多悬而未决的问题有待解决。
- 有多种令人拍案叫绝的解答,每个解答都不平凡,要么需要深刻的数学知识,要么需要开很大的脑洞。
我来介绍一下这个问题:
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