本文的问题出自 Williams 的教材 Probability with Martingales，虽然不算很难但是综合使用了许多知识，展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。
问题： 一艘太空船正在宇宙中做星际航行时，飞船的控制系统出了故障，飞船不能正常地进行空间跳跃，而是只能预先设定一个距离，然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\)，发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R>r\)。好消息是在每个时刻，飞船能够知道自身与太阳系的距离。
求证：不论采用怎样的跳跃策略，飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\)；但是对任何 \(\epsilon>0\)，可以采取适当的策略，使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\)，即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么？
Wedderburn-Artin 定理最早源于 1907 年 Wedderburn 研究域上有限维结合代数的分类定理。在 Wedderburn 考虑这个问题的时候，Killing 和 Cartan 等人已经完成了有限维复半单 Lie 代数的分类工作，如果读者对有限维 Lie 代数有所了解的话，可能已经知道任何有限维复 Lie 代数 \(L\) 有一个极大可解理想 \(\mathrm{rad}(L)\)，叫做 \(L\) 的根 (radical)，去掉这个根的商代数 \(L/\mathrm{rad}(L)\) 是半单代数，其上的双线性型 Killing 型是非退化的，从而可以通过反复取正交补的方式将 \(L/\mathrm{rad}(L)\) 分解为一些单代数的直和，然后对单 Lie 代数的结构进行讨论得出其共有 9 种不同的类型。Wedderburn 的思路自然受到了 Killing 等人工作的启发，他采取了类似的套路：
对域 \(F\) 上的有限维结合代数 \(A\)：
- 定义根理想 \(\mathrm{rad}(A)\)。
- 转移到半单代数 \(A/\mathrm{rad}(A)\)。
- 将 \(A/\mathrm{rad}(A)\) 分解为单代数的直和。
- 讨论单代数的结构。
整个路线图如下所示：
总之虽然有限维复李代数和结合代数结构相差很大，但它们的结构定理遵循了类似的套路：拿走可解/幂零的部分，剩下的部分是半单的，而半单是单的直和，于是最终归结为对单成分的结构进行讨论。
Wedderburn-Artin 定理的过程比较长，不过在头脑中事先明确这条主线，理解整个证明并不是一件困难的事情。
本文将针对左 Artinian 环的情形证明 Wedderburn-Artin 定理。我主要参考了 Curtis 和 Reiner 的经典 (Curtis and Reiner 1962)，Herstein 的精彩小书 (Herstein 1994)，以及林节玄的 (Lam 2001)。C&R 的书是个大部头，但它总是从最基本的概念讲起，叙述清楚易懂，对新手非常友好。Herstein 的书则是另一种风格，主线简单，节奏很快，短短几章就讲到了中心单代数和 Galois 上同调。林节玄的书风格则更为现代一些，我没有细读，不多评价。
本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告，目的是介绍中心单代数的三个基本结论：
- 中心单代数对张量积运算是封闭的。
- Noether-Skolem 定理。
- 双重中心化子定理。
这部分内容比较经典，在很多教材上都有，但是采用的讲述方式却很不一样，找到一个完全符合自己口味的讲解不是件容易的事情。尤其是对初学者而言，有些名气很大的教材反而不见得适合。我当初念 Jacobson (1980) 就念的很抓狂。后来我查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文。我个人认为这是最直接清楚的证明方式。
Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？
理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。
第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。
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