本文主要改写自 (Maxwell 1982) 和(Maxwell 1989)。

我们来介绍 Coxeter 群的 level 的概念，并证明 level 等于 1 或 2 的群都是双曲的。

level 的定义

本文主要参考了 (Howlett, Rowley, and Taylor 1997)。

书接 上回，我们来研究内积 \((\cdot,\cdot)\) 分别是有限、仿射和双曲三种情形时，其 Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 和对偶锥 \(\mathcal{C}^\ast\) 的结构。

本文主要参考了 Bob Howlett 教授的讲义 (Howlett 1996)。

Tits 锥

在获得了 \(V\) 中关于根系的一些知识后，我们下面转移到 \(V\) 的对偶空间 \(V^\ast\) 中讨论万花筒的结构。

我们先回顾 第一篇笔记 的主要内容。

设 \((W,S)\) 是一个 Coxeter 系。在 上文 中，我们按照如下方式，将 \((W,S)\) 表示为一个实向量空间 \(V\) 上的正交反射群：

1. 取一个 \(n=|S|\) 维实向量空间 \(V\)，\(V\) 的一组基为 \(\{\alpha_s\mid s\in S\}\)；
2. 规定了 \(V\) 上的内积 \((\cdot,\cdot)\)；
3. 对每个生成元 \(s\in S\)，规定 \(s\) 在 \(V\) 上的作用为关于 \(\alpha_s\) 的反射 \(\rho_s\)；
4. 我们证明了 \(\rho\) 是从 \(W\to\mathrm{O}(V)\) 的群同态。

但是我们还有一个未完成的工作：证明 \(\rho\) 是同构。本文会完成它。此外我还会介绍关于根系的一些知识。如果你直接翻到本文后面，会发现我罗列了很多关于根系的推论。这并不是我在故故意掉书袋，这些推论每一条后面都会用到。不过读者初次阅读时只要大致浏览它们即可，等后面用到时再跳转过来查看细节。

抽象 Coxeter 群

设 \(S\) 是一个集合，一个基于 \(S\) 的 Coxeter 矩阵 \(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是一个对称矩阵，其对角线上都是 1，非对角线元素取值范围为 \(\{2,3,\ldots,\infty\}\)。\(|S|\) 叫做 \(M\) 的秩 (rank)。在这个系列中我们只考虑 \(|S|<\infty\) 的情形。

矩阵 \(M\) 确定了一个有限表现群 \(W\)，其生成元为集合 \(S\)，群表现如下： \[W = \langle s\in S\ |\ (st)^{m_{s,t}}=1\ {\rm if}\ m_{s,t}<\infty\rangle.\]

即 \(S\) 满足的生成关系是：

1. 对任何 \(s\in S\) 有 \(s^2=1\)。
2. 对任何 \(s\ne t\) 且 \(m_{s,t}<\infty\) 有辫关系 (braid relation) \[\overbrace{sts\cdots}^{m_{s,t}}=\overbrace{tst\cdots}^{m_{s,t}}\] 成立。（当 \(m_{s,t}=\infty\) 时的关系是无用的）

我们称 \((W, S)\) 是一个 Coxeter 系，\(W\) 是一个有限生成 Coxeter 群。