本文介绍我写的一个高颜值的、脱离了低级趣味的小程序：用 Python 和 POV-Ray 绘制各种三维多面体和四维多胞体，代码在 Github 上。

以下是用这个程序渲染的一些例子，其中不同颜色的顶点/边/面表示它们在对称群的作用下位于不同的轨道中，具体解释见后。

本文的想法源自 Roice Nelson 的 shadertoy 项目，我觉得他的创意很棒，就是效果有点糙，于是 动手改进了一番。乍一看，这个动画的场景很简单，其实它背后的数学并不平凡。

这个动画从三个角度了演示 Möbius 变换，这三个角度是密切相关的：

1. Möbius 变换作为扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 到自身的全纯函数。
2. Möbius 变换作为 Riemann 球面 \(S^2\) 到自身的全纯函数。
3. Möbius 变换作为上半双曲空间中的等距变换。

本文只作概括性的介绍，并不展开详细的数学证明。读者可以参考下面的资料：

1. 维基百科.
2. Needham (1997) .
3. Mumford, Series, and Wright (2002), chapter 3.
4. Palka (1991), chapter IX, section 2.

本文的动画应该可以帮助你更好地理解这些资料中的内容。

本文要介绍的是我写的一个有趣的 Python 小程序，一个脱离了低级趣味的程序，一个有益于广大人民了解算法的程序。代码在 Github 上。

这个程序可以用来制作各种各样的算法动画，包含但不限于：

今天我要介绍一个 Markov 链采样中的精彩算法，叫做 coupling from the past (CFTP)。这个算法看似简单，实则充满玄机。我相信你可以在五分钟内理解算法的步骤，然后再花五分钟左右看懂算法的证明，但是我打赌你需要几个星期甚至更久的时间来细细回味其中奥妙。

为了引出算法，我们从一个计数问题开始：

你可能经常听到这样一句话：“做数学要大胆假设，小心求证”。我们今天要介绍的故事主角平面分拆中的 Andrews 猜想就完美地符合这一点。两个看似风马牛不相及的计数对象，因为有着相同的计数序列，冥冥中被联系在了一起，启发三位数学家 Mill, Robins 和 Rumsey 解决了一个困难的组合学猜想。整个过程并无高深的内容，但是其中的“信仰一跃”和“灵魂一猜”构成了故事的高潮，而那些繁琐的计算过程不过是小心求证的注脚而已。

本文来自我几年前读 David Bressoud 的 (Bressoud 1999)

Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture

一书时的读书笔记。我这里采用的叙述方式与 Bressoud 的书不同：Bressoud 是把 DPP 的 Andrews 猜想和 CSPP 的 Macdonald 猜想统一用 \(q\)- 超几何级数一起解决的。Macdonald 猜想的证明似乎无法避免使用超几何级数的知识，但 Andrews 猜想是完全可以仅使用初等的 \(q\)- 多项式解决的。本文只介绍 DPP 的 Andrews 猜想，并仅使用初等的 \(q\)- 二项式定理作为工具。