我昨晚刚完成了一个 shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理 和静电场之间的关系：

周末刚完成了一个有点烧脑的 Shadertoy 项目，Escher 风格的 非周期密铺：

Maryam Mirzakhani 在 2014 年的报告中提出了如下的问题（视频的 25 分 50 秒处）：

根据 这篇论文 的考据，这个问题曾经在 1989 年列宁格勒的数学竞赛中出现过。最近，通过 PBS 和 math3ma 的博客 的科普推广，这个问题又引起了不少人的兴趣。我强烈建议读者在深入阅读本文之前，先观看这些视频和博客。它们的讲解通俗易懂，即便对于普通读者来说也非常友好。

Greg Egan 在 他的博客中 进一步讨论了房间是正三角形和正六边形的情况。虽然他给出的答案是正确的，但是他对正六边形情形的解释有点让人难以理解（Greg Egan 的一贯风格）。

正三角形、正方形和正六边形房间是仅有的三种可以用有限多个保镖保护目标的情形，对其它正 \(N\) 边形房间（\(N\notin\{3,4,6\}\)），有限数量的保镖是不行的。

本文是对 math3ma 和 Greg Egan 博客文章的补充，我将主要针对正六边形的情况进行详细解释。我觉得从仿射 Weyl 群的角度来看这个问题会更清晰，不过这一概念可能对大多数读者来说较为陌生。本文将假定读者已具备群的相关基础知识，并尽可能结合直观图形加以说明。如果读者希望进一步了解仿射 Weyl 群，可以参考 (Humphreys 1990, chap. 4)。

本文的代码在 Github 上。这个项目包含了一个交互式脚本，你可以在窗口中点击并拖拽鼠标来查看刺客射击的轨迹以及保镖的位置：

正方形	正三角形	正六边形

本文介绍我写的一个高颜值的、脱离了低级趣味的小程序：用 Python 和 POV-Ray 绘制各种三维多面体和四维多胞体，代码在 Github 上。

以下是用这个程序渲染的一些例子，其中不同颜色的顶点/边/面表示它们在对称群的作用下位于不同的轨道中，具体解释见后。

本文的想法源自 Roice Nelson 的 shadertoy 项目，我觉得他的创意很棒，就是效果有点糙，于是 动手改进了一番。乍一看，这个动画的场景很简单，其实它背后的数学并不平凡。

这个动画从三个角度了演示 Möbius 变换，这三个角度是密切相关的：

1. Möbius 变换作为扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 到自身的全纯函数。
2. Möbius 变换作为 Riemann 球面 \(S^2\) 到自身的全纯函数。
3. Möbius 变换作为上半双曲空间中的等距变换。

本文只作概括性的介绍，并不展开详细的数学证明。读者可以参考下面的资料：

1. 维基百科.
2. Needham (1997) .
3. Mumford, Series, and Wright (2002), chapter 3.
4. Palka (1991), chapter IX, section 2.

本文的动画应该可以帮助你更好地理解这些资料中的内容。