静电场与 Marden 定理
我昨晚刚完成了一个 Shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理 以及静电场的关系：
这个动画的含义如下：
在复平面上三角形 \(\Delta ABC\) 的三个顶点处各自放置一个单位正电荷，则平面上电场强度为 0 的点有两个（这两个点可能重合），它们位于 \(\Delta ABC\) 的内部，并且是三次复多项式 \(P(z) = (z-A)(z-B)(z-C)\) 的导数 \(P'(z)\) 的零点。
不仅如此，这两个零点还是一个内切于 \(\Delta ABC\) 的椭圆的两个焦点，此椭圆是所有内切于 \(\Delta ABC\) 的椭圆中面积最大者，并且其与 \(\Delta ABC\) 的三边的切点均为各边中点。这个椭圆叫做 Steiner 内切椭圆。
这个动画是受几天前 Albert Chern 的 一篇推文 启发所作，John Baez 也写了一篇关于这个话题的 文章。我是由此才了解到 Marden 定理还有如此有趣的物理学解释，的确大开眼界！
在平面上不全共线的 \(n\) 个点 \(a_1,\ldots,a_n\) 处放置若干单位正电荷，这规定了一个平面上的电势函数 \(V(z)\) （标量） 和一个电场 \(\mathbf{E}(z)\) （二维向量场）。电学知识告诉我们，在忽略物理常数意义下有 \[V(z) =\sum_{i=1}^n\ln|z-a_i|=\ln\prod_{i=1}^n|z-a_i|=\ln|P(z)|.\] 其中 \(P(z)=(z-a_1)(z-a_2)\cdots(z-a_n)\) 是以 \(a_1,\ldots,a_n\) 为根的多项式。
此外 \(\mathbf{E}(z) = -\nabla V(z)\) 为电势的梯度向量取负。
问题：怎样确定平面上场强为 0 的点呢？
场强为 0 的点也叫做平衡点、鞍点，因为在这一点处的电荷不受电场的库仑力。
答案有点出人意料：平衡点必然是 \(P'(z)\) 的零点，而且这些点都属于 \(a_1,\ldots,a_n\) 的凸包！
注意 \(V(z)\) 是 \(\ln P(z) = \ln |P(z)| + i\arg{P(z)}\) 的实部，由 Cauchy-Riemann 方程不难看出使得亚纯函数实部梯度为 0 的点一定是其导数的零点，即满足 \(\nabla V=0\) 的点都是 \((\ln P(z))'=P'(z)/P(z)\) 的零点，所以平衡点都是 \(P'(z)\) 的零点。平衡点属于 \(\{a_1,\ldots,a_n\}\) 的凸包是根据 Gauss-Lucas 定理，任何复多项式 \(f\) 的导数的零点都属于 \(f\) 的零点构成的凸包！
John Baez 的文章中利用凸集分离定理给出了 Gauss-Lucas 定理的一个简洁证明。
需要注意的是，反过来 \(P'(z)\) 的零点未必都是电场的平衡点，当 \(P(z)\) 有重根时，重根也是 \(P'(z)\) 的零点，但不是 \(P'(z)/P(z)\) 的零点，所以不是平衡点。
此外平衡点是鞍点 (saddle point) 是由于 \(V(z)\) 的调和性质，其不存在局部的极大极小值，所以使得 \(\nabla V=0\) 的点都是鞍点。
特别地在三个点电荷 \(A,B,C\) 的情形，场强为 0 的点必然位于 \(\Delta ABC\) 的内部，且是多项式 \(P(z) = (z-A)(z-B)(z-C)\) 的导数 \(P'(z)\) 的零点。那关于这两个点的具体位置我们可以说什么吗？这就是优美的 Marden 定理，要表述这个定理，我们需要先介绍 Steiner 内切椭圆的概念：
Steiner inellipse：在所有内切于 \(\Delta ABC\) 的椭圆中，存在唯一的一个面积最大者，叫做 Steiner inellipse，此椭圆与 \(\Delta ABC\) 三边的切点为各边的中点。
Marden 定理断言 \(P'(z)\) 的两个根正是 Steiner 内切椭圆的两个焦点：
Marden 定理：复多项式 \(P(z)=(z-A)(z-B)(z-C)\) 的导数 \(P'(z)\) 的两个零点正是 \(\Delta ABC\) 的 Steiner inellipse 的两个焦点。
Steiner inellipse 和 Marden 定理的证明并不复杂，美国数学月刊上出现过两篇介绍其证明的文章，都非常值得一读：
其中第一篇文章采用了复数和仿射变换的途径，第二篇使用了椭圆的光学性质。