Poncelet 定理与 Blaschke 乘积

下面这个动画是受到 Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other 这本书启发所作：

看起来似乎一目了然：一个圆 \(C\) 内有一个椭圆 \(E\)，有一个三角形内接于圆 \(C\) 同时外切于椭圆 \(E\)。椭圆和三角形同时都在变动，它们始终保持内切的关系。

但我打包票保证你绝难猜到它说的是什么事情。

下面是动画的制作过程：

1. 首先在单位圆 \(C\) 内任取两个点 \(a,b\)，它们将作为椭圆的两个焦点。
2. 构造 Blaschke 乘积 \[B(z)=z\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}.\] \(B(z)\) 是一个解析函数，它的三个因子每一个都保持单位圆的内部不变，将圆周 \(C\) 仍然映射为 \(C\)，所以 \(B(z)\) 也是如此。而且 \(B(z)\) 是一个 3 对 1 的映射：对任何 \(|\lambda|\leq 1\) 有三个原像 \(z_1,z_2,z_3\) 使得 \(B(z_i)=w,\,i=1,2,3\)。这一点不难从 \(B(z)=\lambda\) 是一个关于 \(z\) 的严格三次多项式看出来。
3. 更进一步，对任何 \(|\lambda|=1\)，\(B(z)=\lambda\) 的三个根必然是互不相同的，这三个根构成单位圆 \(C\) 的一个内接三角形 \(\Delta ABC\)。\(\Delta ABC\) 外切于以 \(a,b\) 为焦点的椭圆 \[|z-a|+|z-b|=|1-\overline{a}b|.\]
4. 当 \(\lambda\) 变动时，\(\Delta ABC\) 也随之变动，得到的就是上面的动画。

动画中我取了 \(a\) 为原点，\(b\in(0,1)\) 为实数，原因是一般情形 mathematica 给出的三次方程 \(B(z)=\lambda\) 的解实在是看得人头大。😁

正如开头书名所提示的，这个故事同时与 Poncelet 定理和 Blaschke 乘积有关。

假设有两个椭圆 \(E_1,\,E_2\)，\(E_2\) 位于 \(E_1\) 的内部。在 \(E_1\) 上选定一点 \(A_1\)，从 \(A_1\) 出发作 \(E_2\) 的切线与 \(E_1\) 交于 \(A_2\)，然后从 \(A_2\) 出发引另一条关于 \(E_2\) 的切线交 \(E_1\) 于 \(A_3\)，...，如此一直进行下去。则有两种可能：

1. 经过 \(N\) 次操作以后 \(A_{N+1}=A_1\)，这时路径围成一个闭合的 \(N\) 边形 \(P\)，\(P\) 内接于 \(E_1\) 同时外切于 \(E_2\)。
2. 所有的切点 \(A_1,\,A_2,\,\ldots,\,\) 全部互不相同。

下面的动画显示了 \(N=3\) 的情形，并且外面的椭圆 \(E_1\) 是个圆 ¹：

Poncelet 定理说的是，如果情形 1 对 \(E_1\) 上的某个点 \(A_1\) 成立，则它对 \(E_1\) 上所有点都成立，并且所有得到的多边形都是 \(N\) 边形。同样地如果情形 2 对某个点成立，则对椭圆上所有点 \(A_1\)，序列 \(\{A_1,\,A_2,\,\ldots\,\}\) 也都互不相同，并且在边界 \(E_1\) 上是稠密的。

可以料见，“作 \(N\) 次切线后回到起点”这种好事不是那么容易发生的。\(E_1,E_2\) 必须满足一些条件才行。对一般的 \(N\) 这个条件可以用 Jacobi 椭圆函数来描述，有点高深。不过在 \(N=3\) 且 \(E_1\) 为单位圆时，这个条件是非常简单的，\(E_2\) 必然形如 \[|z-a| + |z-b|=|1-\overline{a}b|,\quad |a|<1,\,|b|<1\] 并且对单位圆上任意一点 \(A\)，按照上述方法作出的三角形的另外两个顶点是 \(B(z)=B(A)\) 的另外两个根。

这个故事还与矩阵的 numeric range （数值域） 有关，我不太熟悉这方面，就不再叨叨了。

上一篇：遛狗中的数学：曲线的环绕数、Rouché 定理和开映射定理

下一篇：静电场与 Marden 定理