Poncelet 定理与 Blaschke 乘积

下面这个动画是受到 Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other 这本书启发所作:

这个动画看起来似乎一目了然:我们有一个圆 \(C\),一个椭圆 \(E\),还有一个三角形 \(\Delta\)\(\Delta\) 内接于圆 \(C\) 同时外切于椭圆 \(E\)。椭圆和三角形同时都在变动,但它们始终保持内切的关系。

但我打包票保证你绝难猜到它说的是什么事情。

下面是动画的制作过程:

  1. 首先在单位圆 \(C\) 内任取两个点 \(a,b\),它们将作为椭圆 \(E\) 的两个焦点。
  2. 构造 Blaschke 乘积 \[B(z)=z\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}.\] \(B(z)\) 是一个解析函数,它的三个因子每一个都保持单位圆的内部不变,将圆周 \(C\) 仍然映射为 \(C\),所以 \(B(z)\) 也是如此。而且 \(B(z)\) 是一个 3 对 1 的映射:对任何 \(|\lambda|\leq 1\) 有三个原像 \(z_1,z_2,z_3\) 使得 \(B(z_i)=w,\,i=1,2,3\)。这一点不难从方程 \(B(z)=\lambda\) 是一个关于 \(z\) 的严格三次多项式看出来。
  3. 更进一步,对圆周 \(C\) 上的任何一点 \(|\lambda|=1\)\(B(z)=\lambda\) 的三个根必然是互不相同的,这三个根构成 \(C\) 的一个内接三角形 \(\Delta ABC\)\(\Delta ABC\) 有一个特殊的性质:它必然外切于以 \(a,b\) 为焦点的椭圆 \[|z-a|+|z-b|=|1-\overline{a}b|.\]
  4. \(\lambda\) 变动时,\(\Delta ABC\) 也随之变动,得到的就是上面的动画。

动画中我取了 \(a\) 为原点,\(b\in(0,1)\) 为实数。采用这两个特殊点的原因是,一般情形下用 Mathematica 求解得到的三次方程 \(B(z)=\lambda\) 的表达式实在是太太太让人头大了。😁

正如开头书名所提示的,这个故事同时与 Poncelet 定理和 Blaschke 乘积有关。


假设有两个椭圆 \(E_1,\,E_2\)\(E_2\) 位于 \(E_1\) 的内部。在 \(E_1\) 上选定一点 \(A_1\),从 \(A_1\) 出发作 \(E_2\) 的切线与 \(E_1\) 交于 \(A_2\),然后从 \(A_2\) 出发引另一条关于 \(E_2\) 的切线交 \(E_1\)\(A_3\),…,如此一直进行下去。则有两种可能:

  1. 经过 \(N\) 次操作以后 \(A_{N+1}=A_1\),这时路径围成一个闭合的 \(N\) 边形 \(P\)\(P\) 内接于 \(E_1\) 同时外切于 \(E_2\)
  2. 所有的切点 \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\) 全部互不相同。

下面的动画显示了 \(N=3\) 的情形,并且外面的椭圆 \(E_1\) 是个圆 1

Poncelet 定理说的是,如果情形 1 对 \(E_1\) 上的某个点 \(A_1\) 成立,则它对 \(E_1\) 上所有点都成立,并且所有得到的多边形都是 \(N\) 边形。同样地如果情形 2 对某个点成立,则对椭圆上所有点 \(A_1\),序列 \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\) 也都互不相同,并且在边界 \(E_1\) 上是稠密的。

可以料见,“作 \(N\) 次切线后回到起点”这种好事不是那么容易发生的。\(E_1,E_2\) 必须满足一些条件才行。对一般的 \(N\) 这个条件可以用 Jacobi 椭圆函数来描述,有点高深。不过在 \(N=3\)\(E_1\) 为单位圆时,这个条件是非常简单的:这当且仅当椭圆 \(E_2\) 形如 \[|z-a| + |z-b|=|1-\overline{a}b|,\quad |a|<1,\,|b|<1.\] 不仅如此,从单位圆上任意一点 \(x\) 出发,按照上述方法连续作 \(E_2\) 的切线,得到的闭合三角形的另外两个顶点是方程 \(B(z)=B(x)\) 的另外两个根。

这个故事还与矩阵的 numeric range (数值域) 有关,我不想假装成我很懂的样子,所以就不再叨叨了。

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