Poncelet 定理与 Blaschke 乘积
下面这个动画是受到 Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other 这本书启发所作：
这个动画看起来似乎一目了然：我们有一个圆 \(C\)，一个椭圆 \(E\)，还有一个三角形 \(\Delta\)。\(\Delta\) 内接于圆 \(C\) 同时外切于椭圆 \(E\)。\(E\) 和 \(\Delta\) 都在变动，但二者始终保持内切的关系。
但我打包票保证你绝难猜到它说的是什么事情。
下面是动画的制作过程：
- 在单位圆 \(C\) 的内部任取两个点 \(a,b\)，椭圆 \(E\) 以 \(a,b\) 为焦点，其方程是 \[|z-a|+|z-b|=|1-\overline{a}b|.\]
- 构造 Blaschke 乘积 \[B(z)=z\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}.\] \(B(z)\) 是一个单位圆上的解析函数，它的三个因子每一个都保持单位圆的内部不变，将圆周 \(C\) 仍然映射为 \(C\)，所以 \(B(z)\) 也是如此。而且 \(B(z)\) 是一个 3 对 1 的映射：对任何 \(|\lambda|\leq 1\) 有三个原像 \(z_1,z_2,z_3\) 使得 \(B(z_i)=\lambda\)。这一点不难从方程 \(B(z)=\lambda\) 是一个关于 \(z\) 的严格三次多项式看出来。
- 更进一步，对圆周 \(C\) 上的任何一点 \(|\lambda|=1\)，\(B(z)=\lambda\) 的三个根必然是互不相同的，这三个根构成 \(C\) 的一个内接三角形 \(\Delta ABC\)。\(\Delta ABC\) 有一个特殊的性质：它必然外切于椭圆 \(E\)。
- 当 \(\lambda\) 变动时，\(\Delta ABC\) 也随之变动，得到的就是上面的动画。
动画中我取了 \(a\) 为原点，\(b\in(0,1)\) 为实数。采用这两个特殊点的原因是，一般情形下 Mathematica 给出的三次方程 \(B(z)=\lambda\) 的解实在太复杂了。😁
正如开头书名所提示的，这个故事同时与 Poncelet 定理和 Blaschke 乘积有关。
假设有两个椭圆 \(E_1,\,E_2\)，\(E_2\) 位于 \(E_1\) 的内部。在 \(E_1\) 上选定一点 \(A_1\)，从 \(A_1\) 出发作 \(E_2\) 的切线与 \(E_1\) 交于 \(A_2\)，然后从 \(A_2\) 出发引另一条关于 \(E_2\) 的切线交 \(E_1\) 于 \(A_3\)，…，如此一直进行下去。则有两种可能：
- 对某个 \(N\) 有 \(A_{N+1}=A_1\)，这时路径围成一个闭合的 \(N\) 边形 \(P\)，\(P\) 内接于 \(E_1\) 同时外切于 \(E_2\)。
- 所有的切点 \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\) 全部互不相同。
下面的动画显示了 \(N=3\) 的情形，并且外面的椭圆 \(E_1\) 是个圆 1：
Poncelet 定理说的是，如果情形 1 对 \(E_1\) 上的某个点 \(A_1\) 成立，则它对 \(E_1\) 上所有点都成立，并且所有得到的多边形都是 \(N\) 边形。同样地如果情形 2 对某个点成立，则对椭圆上所有点 \(A_1\)，序列 \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\) 也都互不相同，并且在边界 \(E_1\) 上是稠密的。
可以料见，“作 \(N\) 次切线后回到起点”这种好事不是那么容易发生的。\(E_1,E_2\) 必须满足一些条件才行。对一般的 \(N\) 这个条件可以用 Jacobi 椭圆函数来描述，有点高深。不过在 \(N=3\) 且 \(E_1\) 为单位圆时，这个条件是非常简单的：这当且仅当椭圆 \(E_2\) 形如 \[|z-a| + |z-b|=|1-\overline{a}b|,\quad |a|<1,\,|b|<1.\] 不仅如此，从单位圆上任意一点 \(x\) 出发，按照上述方法连续作 \(E_2\) 的切线，得到的闭合三角形的另外两个顶点是方程 \(B(z)=B(x)\) 的另外两个根。
这个故事还与矩阵的 numeric range （数值域） 有关，我不想假装成我很懂的样子，所以就不再叨叨了。