遛狗中的数学:曲线的环绕数、Rouché 定理和开映射定理

我写了一个 Shadertoy 小动画,演示 (Needham 1997) 一书中第 7 章 “Winding numbers and topology” 中的结论:

一个人和他的狗在公园里绕着一棵树散步,人和狗各自走的路径都是闭曲线,即经过一段时间后都会回到起点。如果人把狗绳抓的紧一些,使得整个过程中狗无法接触到树,则结束后人和狗绕着树走的圈数是一样的,这就是下面这个动画演示的:(树的位置是原点,用一个表盘标记)

对应的数学结论是:两条闭曲线 \(\gamma_1,\gamma_2\) 如果都不经过原点,且 \(\gamma_1\) 可以在不碰触到原点的前提下通过连续的形变变为 \(\gamma_2\)(同伦),则 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点的环绕数相等。

注意这个结论只要求 \(\gamma_1,\gamma_2:\, [0,1]\to\mathbb{R}^2\) 是两条连续曲线,并不涉及解析性。因为环绕数和同伦的概念都只要求连续性。

\(\gamma_1=f(S^1),\gamma_2=g(S^1)\) 分别是单位圆 \(S^1:\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\) 在两个解析函数 \(f,g\) 下的像时,幅角原理 告诉我们 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点的环绕数分别等于 \(f,g\)\(S^1\) 内部的零点个数。进一步 Rouché 定理 告诉我们,如果对任何 \(z\in S^1\) 都有 \(|f(z)|>|f(z)-g(z)|\) 成立,即可保证 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点有相同的环绕数,从而 \(f,g\)\(S^1\) 内部的零点个数也是相同的。Rouché 定理说的就是,假设人的位置是 \(f(z)\),狗的位置是 \(g(z)\),绳子 \(l(z)=f(z)-g(z)\) 的长度 \(|l(z)|\) 始终小于人到原点的距离 \(|f(z)|\),就可以保证狗始终够不到原点。

动画中左下角的圆周是 \(S^1\),动画右边红、绿两条路径分别是 \(f(S^1)\)\(g(S^1)\)。这里的 \(f\) 我取的形如 \[f(z) =\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}\frac{z-c}{1-\overline{c}z} (z-2-2i),\quad |a|,|b|,|c|<1.\] \(f(z)\)\(S^1\) 的内部有 3 个根 (我用红点标出来了),在 \(S^1\) 上不为 0,在 \(S^1\) 外部有一个根(图中没有画)。\(f(z)\) 的前三个因子构成一个 Blaschke 乘积,它把 \(S^1\) 的内部仍然映射为内部,把 \(S^1\) 仍然映射为 \(S^1\),于是对任何 \(z\in S^1\)\[|f(z)| = |z - 2 - 2i| \geq 2\sqrt{2} - 1,\quad z\in S^1.\] 所以只要绳子 \(l(z)\) 满足 \(|l(S^1)| < 2\sqrt{2}-1\),则狗走的路径 \(g(S^1)=f(S^1)+l(S^1)\) 就不可能接触到原点。我这里取了 \(l(z) = cz\),其中 \(c\) 是一个小于 \(2\sqrt{2}-1\) 的正实数。

Needham 的书中还介绍了曲线 \(\gamma\) 的环绕数在 \(\mathbb{C}\setminus\gamma\) 的每个连通分支上都是常数。对不在 \(\gamma\) 上的一点 \(z\),我们可以稍稍移动 \(z\) 到另一个点 \(z'\),只要保持 \(z'\) 仍然位于 \(z\) 所在的连通分支内,则 \(\gamma\) 关于 \(z\)\(z'\) 有相同的环绕数。利用这个事实并结合幅角原理不难得出下面的结论:

推论. \(\gamma\) 是一条简单闭曲线,内部围的区域为 \(\Omega\)\(f(z)\) 是一个非常数的解析函数,\(f\) 在包含 \(\gamma\) 的某个区域内解析。假设有两棵树分别位于 \(w_0,\,w_1\) 两点,且人行走的路线 \(f(\gamma)\)\(w_0\) 的距离始终大于两棵树之间的距离:即 \(|f(z)-w_0| > |w_0-w_1|\)\(z\in\gamma\) 恒成立,则 \(f(\gamma)\) 关于 \(w_0,w_1\) 的环绕数相等,从而 \(w_0,w_1\)\(\gamma\) 内部的原像个数相同: \[\sharp\{z\in \Omega: f(z)=w_0\} = \sharp\{z\in \Omega: f(z)=w_1\}.\]

这是因为根据条件,从 \(w_0\) 沿着线段 \([w_0,w_1]\) 移动到 \(w_1\) 的过程中始终不会碰触到曲线 \(f(\gamma)\),所以 \(w_0,w_1\) 必然位于同一连通分支内。

利用此推论我们不难得出复分析中的 开映射定理

定理. 如果 \(U\subseteq\mathbb{C}\) 是开集,\(f:U\to\mathbb{C}\) 是非常数的解析函数,则 \(f(U)\) 也是开集。

我把这个证明留给你(欢迎在评论区写出你的答案)。

References

Needham, Tristan. 1997. Visual Complex Analysis. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York.
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