本文要介绍的是我写的一个有趣的 Python 小程序，一个脱离了低级趣味的程序，一个有益于广大人民了解算法的程序。代码在 Github 上。

这个程序可以用来制作各种各样的算法动画，包含但不限于：

几年前在知乎上有这么 一个问题：

当时我给了回答，后来账号注销了，答案也一并删除了。现在把我的原答案贴在这里：

今天我要介绍一个 Markov 链采样中的精彩算法，叫做 coupling from the past (CFTP)。这个算法看似简单，实则充满玄机。我相信你可以在五分钟内理解算法的步骤，然后再花五分钟左右看懂算法的证明，但是我打赌你需要几个星期甚至更久的时间来细细回味其中奥妙。

为了引出算法，我们从一个计数问题开始：

你可能经常听到这样一句话：“做数学要大胆假设，小心求证”。我们今天要介绍的故事主角平面分拆中的 Andrews 猜想就完美地符合这一点。两个看似风马牛不相及的计数对象，因为有着相同的计数序列，冥冥中被联系在了一起，启发三位数学家 Mill, Robins 和 Rumsey 解决了一个困难的组合学猜想。整个过程并无高深的内容，但是其中的“信仰一跃”和“灵魂一猜”构成了故事的高潮，而那些繁琐的计算过程不过是小心求证的注脚而已。

本文来自我几年前读 David Bressoud 的 (Bressoud 1999)

Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture

一书时的读书笔记。我这里采用的叙述方式与 Bressoud 的书不同：Bressoud 是把 DPP 的 Andrews 猜想和 CSPP 的 Macdonald 猜想统一用 \(q\)- 超几何级数一起解决的。Macdonald 猜想的证明似乎无法避免使用超几何级数的知识，但 Andrews 猜想是完全可以仅使用初等的 \(q\)- 多项式解决的。本文只介绍 DPP 的 Andrews 猜想，并仅使用初等的 \(q\)- 二项式定理作为工具。

常见的生成树算法如 DFS/BFS 算法、Prim 算法、Kruskal 算法等给出的生成树都不是完全随机的。例如，取 \(G\) 为 \(\mathbb{Z}^2\) 中 \(m\times n\) 的网格图，\(G\) 的任何生成树都是一个迷宫，把背景平面涂黑，把生成树的边涂白，就可以清楚地看到迷宫的结构。迷宫的任何两个房间 ( 即树的顶点 ) 可以通过生成树中唯一的路径相连，这样的迷宫叫做完美迷宫。

DFS 算法 ( 每次将新顶点的顺序打乱再入栈 ) 倾向于尽可能深地探索整个图，因此得到的迷宫往往包含长且蜿蜒的路径，死角 ( 即叶节点 ) 是很少的：