几年前在知乎上有这么 一个问题：

当时我给了回答，后来账号注销了，答案也一并删除了。现在把我的原答案贴在这里：

今天我要介绍一个 Markov 链采样中的精彩算法，叫做 coupling from the past (CFTP)。这个算法看似简单，实则充满玄机。我相信你可以在五分钟内理解算法的步骤，然后再花五分钟左右看懂算法的证明，但是我打赌你需要几个星期甚至更久的时间来细细回味其中奥妙。

作为启发，我们从一个计数问题开始：

常见的生成树算法如 DFS/BFS 算法、Prim 算法、Kruskal 算法等给出的生成树都不是完全随机的。例如，取 \(G\) 为 \(\mathbb{Z}^2\) 中 \(m\times n\) 的网格图，\(G\) 的任何生成树都是一个迷宫，把背景平面涂黑，把生成树的边涂白，就可以清楚地看到迷宫的结构。迷宫的任何两个房间 ( 即顶点 ) 可以通过生成树中唯一的路径相连，这样的迷宫叫做完美迷宫。

DFS 算法 ( 每次将新顶点的顺序打乱再入栈 ) 倾向于尽可能深地探索整个图，因此得到的迷宫往往包含长且蜿蜒的路径，死角 ( 即叶节点 ) 是很少的：

如果你对 Lie 代数有所了解的话，相信很大概率你会见过下面的图案： ( 参考维基百科的 Lie algebra 词条 )

它展示的是 Lie 代数 \(E_8\) 的根系图。\(E_8\) 的根系由 8 维欧式空间 \(\mathbb{R}^8\) 中的 240 个向量组成，将这 240 个向量投影到一个特殊的 2 维平面 ( 叫做 Coxeter 平面 ) 上就会呈现出一个具有旋转对称的图案。在上图中可以看到，240 个投影点分布在 8 个圆周上，每个圆周包含 30 个均匀分布的点，整个图案在角度为 \(\frac{2\pi}{30}\) 的旋转下是不变的。\(h=30\) 正是 \(E_8\) 的 Coxeter 数。

本文目的是介绍 Coxeter 元的一些基础知识，然后教大家怎样在 Python 中编写一个程序绘制上面的投影图案。我主要参考了 (Humphreys 1990) 和 (Casselman 2017)。虽然这里面涉及的数学并不复杂，但是真正动手编程实现的时候会有一些魔鬼藏在细节中，而这些细节是仅凭念书很难发现的。

本文的代码在 Github 上 。David Madore 也有一个很棒的 交互式网页 可以绘制 \(E_8\) 的多种不同风格的图案。

我念研究生时的高等概率论课用的是 Durrett 的教材 “Probability: Theory and Examples”。这本书的好处我就不再介绍了，院长陈大岳老师在世图影印版的前言中已经夸了一遍。我个人的体会是，Durrett 的书在讲解证明的时候非常简练，很少写为什么要这样证，我有时候读了半天也没搞明白思路。Birkhoff 遍历定理算是其中一个，于是我重新整理了一下书中的证明，作此文留念。

Birkhoff 遍历定理最初由 Birkhoff 本人在 1931 年发表，原文长达 50 页。随后在 1939 年 K.Yosida （吉田耕作） 和 S.Kakutani （角谷） 利用极大遍历定理给出了一个 10 页的简洁证明，不过他们关于极大遍历定理的证明还是啰嗦了点，后来 Garsia 给出了极大遍历定理的一个仅有寥寥数行的惊人证明，这也是当前大多数教材采用的途径，本文就来介绍这一证明。