有限维复半单李代数的 Weyl 特征公式

2022/06/24 更新:在本文写作十余年之后,我回顾了下这个博客里的旧文,有一点感想写在这里。

我的博客文章大体是这样的:自己以为洋洋洒洒讲清楚了,其实并没有。因为离开数学圈以后我的知识已经不再更新了 (或者更新的很慢了),也没有得到过读者的反馈,所以文章几乎没有优化和改进。

其次从技术写作的角度看这也是一篇很糟糕的文章,理由是:

  1. 前面 90% 的内容都极其抽象晦涩,介绍了一个又一个定理,但最后只用了 10% 的篇幅算了 \(\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})\)\(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})\) 的例子。这其实和真正理解数学的逻辑是反过来的:一个学习者应该熟悉 10 个例子,从中归纳出 1-3 个定理,然后在验证定理的证明以后放心地忘记它们。而不是学了一大堆名词以后一个例子也磕磕巴巴举不出来。
  2. 本文可能只适合正在念 Humphreys 的教材,并且正好卡在第六章表示论这一章上的同学。这里一开头就罗列了一大堆书中前五章的结论,然后直接从最高权表示开始,所以采用其它学习途径的同学恐怕会不太习惯。我当然也很想有更多启发性的叙述,但我的水平仅限于字面意义的理解证明。我尽量在每一段证明之前给出它的动机,如果你正在啃 Weyl 特征公式的证明,并且不太习惯其它地方的表述的话,这里可能帮到你。

本文源自我学习 Humphreys 的教材 1 第六章 "Representation theory" 时的读书笔记,目的是介绍有限维复半单李代数的 Weyl 特征公式。Humphreys 的书是李代数课程默认的必读经典,它看着很薄,不免给人一种“我可以一个月”搞定的错觉,但我初学的时候觉得这本书并不容易读,现在回头来看才深感作者叙述之精炼。由于本文的内容直接从 Humphreys 教材的第六章开始,所以需要读者对之前章节的内容有一些基本的了解,但本文采用的叙述并不完全与 Humphreys 一致。

Wilson 均匀生成树算法

更新:在距离本文初稿完成数年后,我终于实现了一个 Python 程序,可以制作演示 Wilson 算法的 gif 动图,见我的这个 github 项目。此外还用 Javascript + canvas 为本文写了一个动画演示,这也是我的第一个正式的 Javascript 程序 (其实就是把对应的 Python 程序修改下翻译了过来),你可以随时单击鼠标来重启动画。

Coxeter element: a computational approach

虽然本文起了个英文标题,但内容完全是中文的,原因是我没有想到合适的能概括内容的中文标题。

如果你对李代数有所了解的话,相信很大概率你会见过下面的图案:(参考维基百科的 Lie algebra 词条)

它展示的是李代数 \(E_8\) 的根系图,李代数 \(E_8\) 的根系由八维欧式空间 \(\mathbb{R}^8\) 中的 240 个向量组成,每个向量恰好有 56 个与其距离最近的邻居。将这 240 个向量投影到一个特殊的二维平面 (叫做 Coxeter 平面) 就会呈现一个旋转对称的图案,你可以看到上图中的图案中,240 个投影点分布在 8 个圆周上,每个圆周包含 30 个均匀分布的顶点,所以它在角度为 \(\frac{2\pi}{30}\) 的旋转下是不变的。\(h=30\) 叫做 \(E_8\) 的 Coxeter 数。

这个现象并不是 \(E_8\) 独有的,对任何有限 Coxeter 群都有类似的结论成立,比如下图显示的是将 5 维超立方体的 32 个顶点投影到其 Coxeter 平面后得到的图案:

可以看到有两个顶点被同时投影到了原点,其余 30 个顶点分布在 3 个圆周上,每个圆周包含 10 个均匀分布的顶点,所以其 Coxeter 数 \(h=10\)

所以这个特殊的投影平面是怎么来的?本文下面以 \(E_8\) 为例子,通过具体的计算来解释背后的数学。

Birkhoff 遍历定理

这个系列整理自我念 Durrett 的 "Probability: Theory and Examples" 时的笔记。Durrett 的书很棒,但缺点也有,就是证明总是缺少一些为什么要这样处理的解释,看起来很头大。

Birkhoff 遍历定理最初由 Birkhoff 本人在 1931 年发表,原文长达 50 页。随后在 1939 年 K.Yosida (吉田耕作) 和 S.Kakutani (角谷) 利用极大遍历定理给出了一个 10 页的简洁证明,不过他们关于极大遍历定理的证明还是啰嗦了点,后来 Garsia 给出了极大遍历定理的一个仅有寥寥数行的惊人证明,这也是当前大多数教材采用的途径,本文就来介绍这一证明。

称硬币问题、小白鼠找毒药问题与编码理论

本文要讨论的问题比较常见,但是好像很少有人从纠错码的角度给出解释。从纠错码的角度看问题的好处是可以很容易理解为什么要这样设计策略,而且能举一反三处理其它类似的问题。事实上我觉得这种趣味问题正是帮助初学者理解纠错码基本概念的绝好例子。

不过本文并不假定读者事先学过编码论,但是需要懂一点有限域的知识。

称硬币问题

问题:有 12 枚外表一模一样的硬币,其中一枚是假币,其余都是真币。假币的重量与真币不同,但是更重还是更轻不知道。给你一个没有砝码和刻度的天平,最少称几次才能确保找出假币?

有限群的不可约实表示和复表示

在数学中有许多“三分天下”的例子,比如说:

  1. 常曲率空间只有欧式、球面、双曲三种。
  2. 三类典型的偏微分方程:热方程 (抛物)、Laplace 方程 (椭圆)、波方程 (双曲)。
  3. 复平面上全纯等价下只有三种单连通区域: 单位圆 \(\mathbb{D}\)、复平面 \(\mathbb{C}\)、扩充复平面 \(\bar{\mathbb{C}}\)
  4. 不可约代数簇 (素理想) 在扩张下的三种行为:分解、惯性、分歧。
  5. 随机游动可以分为零常返、正常返、暂态。
  6. 三维空间中的正多面体 (Platonic solids) 只有三种可能的对称群:\(S_4\) (tetrahedron)、\(S_4\times\mathbb{Z}_2\) (cube, octahedron)、\(A_5\times\mathbb{Z}_2\) (dodecahedron, icosahedron)。
  7. 实数域上的有限维结合可除代数只有三种:实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、四元数 \(\mathbb{H}\)

本文要介绍的是另外两个“三分天下”的例子,它们来自群表示论,即有限群不可约复表示在实数域上的实现与不可约实表示在复数域上的分解,这两个例子是紧密相关的。

相亲问题与倒向归纳法

问题:假设你是一位大龄男士,准备参加 100 场相亲 (别介意具体数字)。你打算依次与每个女士 \(i\) 约会,然后根据印象给她打一个分数 \(X_i\)\(X_i\) 的值介于 \([0,1]\) 之间。如果你对女士 \(i\) 很满意,那么就和她结婚,否则就放弃她,参加下一场相亲,当然拒绝了人家可就没有回头的机会了。如果你拒绝了前 99 位女士,那么不论第 100 次相亲结果如何你都只能和最后这位女士结婚。在相亲之前,你对这些女士的情况一无所知,所以姑且假定她们的分数 \(X_i\) 都是 \([0,1]\) 上均匀分布的独立的随机变量。问题是:应该采取怎样的相亲策略,才能娶到你最中意的女士?

三质点弹簧系统的简正模式

今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用:

问题:平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\),它们位于一个正三角形的三个顶点处。质点之间两两由一根弹簧相连,三个弹簧都是一样的,但是弹簧质量忽略不计。

初始时所有质点都处于静止状态,弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度,使这三个质点在平面内作刚体运动,不考虑任何摩擦力和空气阻力。那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么?

这里简正模式的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。

模式的等待时间与反直觉概率

著名概率学家 Feller 在他的名著《An introduction to probability and its applications》中提到了这样一个实验:

重复抛掷一枚均匀的硬币,用 H 代表正面向上,T 代表背面向上,一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 组成的模式记作 HHHHHH,所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量,最小值是 6,最大值可以是无限。Feller 问:等待时间的均值是多少?

这个问题可以用 Markov 链来解,但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文

A Martingale Approach to the Study of Occurrence of Sequence Patterns in Repeated Experiments.

中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法,本文就来介绍他的方法。

洛奇绵羊问题

我们的问题源自中世纪威尔士人的故事集《Mabinogion》中的一段:

一个男孩来到了一个美丽的山谷,有一条小河在谷中流淌。他看到河一边的草地上有一群黑绵羊,另一边的草地上有一群白绵羊。羊群被施以一种魔法:每个时刻都恰有一只绵羊发出咩咩的叫声。如果发出叫声的是白绵羊,就会有一只黑绵羊趟过小河跑过来并且变成白绵羊;如果发出叫声的是黑绵羊,则会有一只白绵羊趟过小河跑过去并且变成黑绵羊。每个时刻发出叫声的绵羊是完全随机的,整个过程没有绵羊出生或者死亡,一直持续到所有绵羊都变成同一种颜色为止。

问题是这样的:

问题:如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\),或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷,那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊,他应该采取怎样的策略?

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