我写了一个 shadertoy 小动画，演示 (Needham 1997) 书中第 7 章 “Winding numbers and topology” 中的结论：

我昨晚刚完成了一个 shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理 和静电场之间的关系：

本文介绍我写的一个高颜值的、脱离了低级趣味的小程序：用 Python 和 POV-Ray 绘制各种三维多面体和四维多胞体，代码在 Github 上。

以下是用这个程序渲染的一些例子，其中不同颜色的顶点/边/面表示它们在对称群的作用下位于不同的轨道中，具体解释见后。

本文的想法源自 Roice Nelson 的 shadertoy 项目，我觉得他的创意很棒，就是效果有点糙，于是 动手改进了一番。乍一看，这个动画的场景很简单，其实它背后的数学并不平凡。

这个动画从三个角度了演示 Möbius 变换，这三个角度是密切相关的：

1. Möbius 变换作为扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 到自身的全纯函数。
2. Möbius 变换作为 Riemann 球面 \(S^2\) 到自身的全纯函数。
3. Möbius 变换作为上半双曲空间中的等距变换。

本文只作概括性的介绍，并不展开详细的数学证明。读者可以参考下面的资料：

1. 维基百科.
2. Needham (1997) .
3. Mumford, Series, and Wright (2002), chapter 3.
4. Palka (1991), chapter IX, section 2.

本文的动画应该可以帮助你更好地理解这些资料中的内容。

本文要介绍的是我写的一个有趣的 Python 小程序，一个脱离了低级趣味的程序，一个有益于广大人民了解算法的程序。代码在 Github 上。

这个程序可以用来制作各种各样的算法动画，包含但不限于：