Conway 等人在论文 (Conway and Lagarias 1990) 中提出了下面的问题：

Conway 等人的论文里面包含了好几个密铺的问题，上面这个问题只是其中一个。虽然这个问题的表述很简单，但它的解法并不“初等”。这里我称之为“”初等”的方法是染色法。染色法是最常用的论证不可能密铺的手段。它的基本思想是，用一个 Abel 群（一般是有理数域 \(\mathbb{Q}\)）给平面上每一个正六边形作标记，使得任何骨头覆盖的三个正六边形的标记之和为整数，但是整个区域所有正六边形标记之和不是整数，这样来得出矛盾。

然而，Conway 等人在论文中借助“密铺的同调群”证明了染色方法在这个问题中是无法得出矛盾的。我简要地解释一下原因：染色方法可以成功的必要条件是 \(T_n\) 对应的群元素在骨头生成的同调群中不是恒等元，从而无法被密铺。而这个问题中，\(T_n\) 对应的群元素在同调群中确实是恒等元（构造适当的 signed tiling 即可）。所以染色法对这个问题无效！

Conway 等人用“密铺的同伦群”给出了不可能密铺的证明。同伦群方法的基本思想是，我们仍然用一个群（未必是 Abel 群）的元素作标记，但是这次是给区域和瓷砖的边界作标记，来获得密铺的某种不变量，并说明 \(T_n\) 的边界不满足这个不变量，从而导出矛盾。本文就来介绍这一证明。

本文整理自我在讨论班上做的一次约两小时的报告，介绍中心单代数的三个基本结论：

1. 中心单代数对张量积运算是封闭的。
2. Noether-Skolem 定理。
3. 双重中心化子定理。

这些内容虽然经典，但不同教材的讲解方式差异很大，找到一个完全符合自己口味的不是件容易的事情。对初学者而言，一些名气很大的教材反而不见得友好。我当初念 (Jacobson 1980) 就感觉很抓狂。后来我查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文。我个人认为这是最直接清楚的讲法。

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，你可能会好奇，这么一个老掉牙的，在无数教材和讲义中都可以找到的定理，还能写出什么新意来呢？

理由有两个。第一个是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉很不自然：为什么要引入 Jordan 块？这些块究竟代表了什么？怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。