中心单代数的三个基本结论
本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告，目的是介绍中心单代数的三个基本结论：
- 中心单代数对张量积运算是封闭的。
- Noether-Skolem 定理。
- 双重中心化子定理。
这部分内容比较古老，在很多教材上都有，但是采用的途径却很不一样，找一个完全符合自己口味的讲述不是件容易的事情。Jacobson 的书我念的就很抓狂。后来查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文，希望我的表述做到了清楚易懂。
中心单代数对张量积运算是封闭的
定义：设 \(A\) 是域 \(F\) 上的一个有限维的结合代数，有乘法单位元 \(\rm 1\)。如果 \(A\) 除了 \((0)\) 和自身以外不含有其它的双边理想，就称 \(A\) 是域 \(F\) 上的单代数；进一步如果 \(A\) 的中心 \(Z(A)=F\cdot{\rm 1}\cong F\)，就称 \(A\) 是域 \(F\) 上的中心单代数。
最基本也是最重要的中心单代数的例子就是矩阵代数 \({\rm Mat}_n(F)\)。在研究中心单代数的时候，最有效的手段就是建立它和 \({\rm Mat}_n(F)\) 之间的同态。
中心单代数有个很好的性质，就是它们对张量积的运算是封闭的：
定理 1：设 \(A,B\) 是域 \(F\) 上的两个中心单代数，则 \(A\otimes_F B\) 也是中心单代数。
证明：设 \(\dim B=m\)，取定 \(B\) 的一组基 \(\{b_1,\ldots,b_m\}\)，则 \(A\otimes B\) 中的任何元素 \(x\) 可以唯一地写成 \[x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m,\quad a_i\in A.\] 当然这里的 \(a_i\) 某些可以是 \(0\)。我们称上面这个表达式中非零项的个数为 \(x\) 的长度。
设 \(I\) 是 \(A\otimes B\) 的任一非零理想，取 \(x\ne 0\) 使得 \(x\) 是 \(I\) 中所有非零元素中长度最小的，不妨假设 \[x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_r\otimes b_r,\quad 0<r\leq m.\] 这里每个 \(a_i\) 都不是 \(0\)，特别 \(a_1\ne0\)。由于 \(A\) 是单代数因此 \(A=Aa_1A\) （即 \(a_1\) 生成的双边理想），所以存在一组 \(\{c_j, d_j\mid 1\leq j\leq p\}\) 满足 \[1=\sum_{j=1}^p c_ja_1d_j.\] 由于 \(I\) 是双边理想因此每个 \[(c_j\otimes 1)x(d_j\otimes 1)=(c_ja_1d_j)\otimes b_1+\cdots+(c_ja_rd_j)\otimes b_r\] 都在 \(I\) 中，当然它们的和也在 \(I\) 中，设这个和为 \(x'\)，则 \(x'\) 与 \(x\) 有同样的长度但是形如 \(x'=1\otimes b_1+\cdots\)，所以我们不妨一开始就假设在 \(x\) 的表达式中有 \(a_1=1\)。
任取 \(a\in A\)，则 \[(a\otimes 1)x -x(a\otimes1) =(aa_2-a_2a)\otimes b_2+\cdots+(aa_r-a_ra)\otimes b_r\in I.\] 然而它的长度小于 \(r\) 因此必须是 \(0\)，即对每个 \(i=2,\ldots,r\) 有 \(aa_i=a_ia\)，由 \(a\) 的任意性可知每个 \(a_i\) 都属于 \(A\) 的中心 \(Z(A)=F\)，因此这些 \(a_i\) 可以拿到 \(\otimes\) 的右边去： \[x=1\otimes b_1+\cdots+1\otimes a_rb_r=1\otimes(b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r)\in I.\] 注意由于 \(b_i\) 是线性无关的所以 \(b=b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r\ne0\)。
总之我们证明了在 \(I\) 中存在一个形如 \(1\otimes b\) 的元素。
然后我们有 \[I\supset (1\otimes B)1\otimes b(1\otimes B)=1\otimes BbB=1\otimes B,\] 其中最后一个等号是因为 \(B\) 是单代数，从而 \(BbB=B\)。从而 \[I\supset (A\otimes1)(1\otimes B)=A\otimes B,\] 这就证明了 \(I=A\otimes B\)，即 \(A\otimes B\) 是单代数。
注意：在证明 \(A\otimes B\) 是单代数的时候，我们只用到了 \(B\) 是单代数这个条件，即只要 \(A,B\) 中一个是单代数，另一个是中心单代数，则 \(A\otimes B\) 就是单代数。但是这个结论对 \(A,B\) 都是单代数的情形是不成立的，比如 \(\mathbb{C}\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的单代数但不是中心单的，这时 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\) 就不是单代数。
证明 \(A\otimes B\) 的中心等于 \(F\) 也可以用同样的套路，不过我们想花点精力证明一个更一般的结论：
引理：设 \(A,B\) 是域 \(F\) 上的代数，\(C\subset A\) 和 \(D\subset B\) 分别是子代数，则 \(C\otimes D\) 在 \(A\otimes B\) 中的中心化子是 \(C_{A\otimes B}(C\otimes D)=C_A(C)\otimes C_B(D)\)。
特别地取 \(C=A,D=B\) 我们有 \(Z(A\otimes B)=Z(A)\otimes Z(B)\)。
当 \(A,B\) 都是中心单代数时，由引理 \(Z(A\otimes B)=Z(A)\otimes Z(B)=F\otimes F=F\) 即得定理结论。
引理的证明：首先 \(C_{A\otimes B}(C\otimes D)\supseteq C_A(C)\otimes C_B(D)\) 是显然的，只要再证明反向的包含关系成立即可。
任何 \(z\in C_{A\otimes B}(C\otimes D)\) 可以唯一地写成 \[z= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m.\] 由于 \(z\) 和 \(C\otimes D\) 交换，当然也就和 \(C\otimes 1\) 交换，所以对任何 \(c\in C\) 有 \[(c\otimes1)z-z(c\otimes1)=\sum_{i=1}^m(ca_i-a_ic)\otimes b_i=0.\]
由于 \(b_i\) 是线性无关的，因此每个 \(ca_i=a_ic\)，由 \(c\) 的任意性有 \(a_i\in C_A(C)\)。进一步设 \(\{x_1,\ldots,x_r\}\) 是 \(C_A(C)\) 的一组基，再将每个 \(a_i\) 表示为 \(\{x_1,\ldots,x_r\}\) 的线性组合，我们得到 \[z=a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m=x_1\otimes b_1'+\cdots + x_rb_r'.\] 其中每个 \(b_i'\in B\)。由于 \(x_1,\ldots,x_r\) 是线性无关的，我们可以重复刚刚的论证，\(z\) 与任何形如 \(1\otimes d,d\in D\) 的元素交换，得到 \[(1\otimes d)z-z(1\otimes d)=\sum_{i=1}^rx_i\otimes (db_i'-b_i'd)=0.\] 从而每个 \(b_i'\in C_B(D)\)，这就证明了任何 \(z\in C_{A\otimes B}(C\otimes D)\) 可以表示为 \[z=x_1\otimes b_1'+\cdots + x_rb_r'\] 的形式，其中每个 \(x_i\in C_A(B)\)，每个 \(b_i'\in C_B(D)\)，从而反向的包含得证。\(\blacksquare\)
定理 2：设 \(A\) 是域 \(F\) 上的中心单代数，\(\dim_F A=n\)，则 \(A\otimes A^{\rm op}\cong {\rm Mat}_n(F)\)。
背后的道理很简单：\(A\) 显然是一个左 \(A\otimes A^{\rm op}\)- 模（回忆一下，\((R,S)\)- 双模与左 \(R\otimes S^{\rm op}\)- 模是一回事），即存在代数同态 \[A\otimes A^{\rm op}\to \mathrm{End}_F(A).\] 由定理 1 知道 \(A\otimes A^{\rm op}\) 是单代数从而这是一个单射，比较维数即得这是一个同构。
Noether-Skolem 定理
Noether-Skolem 定理：设 \(A\) 是一个中心单代数，\(B\) 是单代数，\(f,g:B\to A\) 是从 \(B\) 到 \(A\) 的两个代数同态，则存在 \(u\in A^{\times}\) 满足 \[f(b) =u^{-1}g(b)u,\quad \forall b\in B.\] 特别的，我们得到中心单代数的自同构都是内自同构。
这个定理背后的想法也是非常的简单，只是需要一点 Wedderburn-Artin 半单代数理论的知识：对于一个单代数 \(B\)，在同构意义下 \(B\) 只有唯一的一个不可约模左 \(B\)- 模 \(V\)。任何左 \(B\)- 模都是完全可约的，可以分解为若干 \(V\) 的直和，从而两个左 \(B\)- 模 \(W,W'\) 是同构的当且仅当它们作为 \(F\)- 向量空间的维数相同：\(\dim_F W=\dim_F W'\)，所以对于一个单代数而言，判定它的两个模是否同构是很简单的，只看维数就行。
回到定理的证明，我们先处理 \(A={\rm Mat}_n(F)\) 的情形：这时我们可以在 \(F^n\) 上定义两种不同的 \(B\)- 模结构：\(b\cdot x =f(b)x\) 和 \(b\circ x=g(b)x\)。我们说了由于 \(B\) 是单代数所以两个左 \(B\)- 模是否同构只看它们作为向量空间的维数即可，显然这里的 \((B,\cdot)\) 和 \((B,\circ)\) 是同构的，因此存在可逆线性变换 \(T:F^n\to F^n\) 使得 \[b\cdot (Tx)=T(b\circ x),\] 即 \(f(b)=T^{-1}g(b)T\)，因此在 \(A={\rm Mat}_n(F)\) 的情形定理成立。
对于一般的情形，我们当然要向矩阵代数靠拢。考虑 \(A\otimes A^{\rm op}\) 的两个单子代数 \(f(B)\otimes A^{\rm op}\) 和 \(g(B)\otimes A^{\rm op}\)。由于 \(A\otimes A^{\rm op}\) 同构于 \({\rm Mat}_n(F)\) 因此上面的情形可用，即存在 \(T \in (A\otimes A^{\rm op})^\times\) 满足对任何 \(b\otimes a^{\rm op}\) 有 \[f(b)\otimes a^{\rm op}=T^{-1}(g(b)\otimes a^{\rm op})T. \tag{$\ast$}\label{ast}\] 取 \(b=1\) 我们有 \[1\otimes a^{\rm op}=T^{-1}(1\otimes a^{\rm op})T.\] 即 \(T\) 与 \(1\otimes A^{\rm op}\) 交换。于是根据定理 1 中的 引理，\(T\in A\otimes1\)，从而存在 \(u\in A\) 使得 \(T=u\otimes1\)，\(T\in (A\otimes A^{\rm op})^\times\) 说明 \(u\in A^{\times}\)，代入到 \(\ref{ast}\) 中去即得 \(f(b)=u^{-1}g(b)u\)。\(\blacksquare\)
双重中心化子定理
双重中心化子定理：设 \(A\) 是 \(F\) 上的中心单代数，\(B\) 是 \(A\) 的单子代数，\(C\) 是 \(B\) 在 \(A\) 中的中心化子： \[C=C_A(B)=\{ c\in A:\ cb=bc,\ \forall b\in B\}.\] 则我们有
- \(C\) 也是 \(A\) 的单子代数。
- \(\dim_F A=(\dim_F B)(\dim_F C)\)。
- \(C\) 的中心化子是 \(B\)。
证明：参考下图 （\(i\) 是嵌入映射）：
\[\require{amsCd} \begin{CD} B\otimes1 @>{i}>> A\otimes\mathrm{End}_F(B) @<{i}<< 1\otimes l(B)\\ @V{\rm centralizer}VV @. @VV{\rm centralizer}V \\ C\otimes\mathrm{End}_F(B) @>{i}>> A\otimes\mathrm{End}_F(B) @<{i}<< A\otimes r(B) \end{CD}\]
考虑中心单代数 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\)，它有两个子代数 \(B\otimes 1\) 和 \(1\otimes l(B)\)，这里 \(l(B)\) 是 \(B\) 在自身上的左乘。它们都同构于单子代数 \(B\)，因此 Noether-Skolem 定理断言它俩是共轭的，于是它俩在 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 中的中心化子也是共轭的。利用定理 1 中 引理 的结论，对它俩在 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 中分别求中心化子，得到 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 和 \(A\otimes r(B)\) 是共轭的。
注意 \(l(B)\) 在 \(\mathrm{End}_F(B)\) 中的中心化子是 \(r(B)\)，即 \(B\) 在自身上的右乘。\(r(B)\) 同构于 \(B\) 的反环 \(B^{\rm op}\)。
由定理 1 \(A\otimes r(B)\) 是单代数，于是 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 也是单代数，从而 \(C\) 必须是单代数 （否则若 \(C\) 有非平凡理想 \(I\) 则 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 有理想 \(I\otimes\mathrm{End}_F(B)\)），这证明了 1；而且比较维数有 \[(\dim_F C) (\dim_F B)^2=(\dim_F A)(\dim_F B),\] 即 \[(\dim_F C)(\dim_F B)=\dim_F A,\] 这证明了 2。
最后设 \(C\) 的中心化子为 \(C_A(C)\)，对单子代数 \(C\) 应用结论 2， \[\dim_F C =\frac{\dim_F A}{\dim_F C_A(C)}=\frac{\dim_F A}{\dim_F B}.\] 即 \(\dim_F C_A(C)=\dim_F B\)。然而 \(B\subset C_A(C)\)，二者维数相同因此必然相等，这就证明了 3。