中心单代数的三个基本结论

本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告,目的是介绍中心单代数的三个基本结论:

  1. 中心单代数对张量积运算是封闭的。
  2. Noether-Skolem 定理。
  3. 双重中心化子定理。

这部分内容比较古老,在很多教材上都有,但是采用的途径却很不一样,找一个完全符合自己口味的讲述不是件容易的事情。Jacobson (1980) 我念的就很抓狂。后来查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文,希望我的表述做到了清楚易懂。

中心单代数对张量积运算是封闭的

定义 1.1. \(A\) 是域 \(F\) 上的一个有限维的结合代数,有乘法单位元 \(\rm 1\)。如果 \(A\) 除了 \((0)\) 和自身以外不含有其它的双边理想,就称 \(A\) 是域 \(F\) 上的单代数;进一步如果 \(A\) 的中心 \(Z(A)=F\cdot{\rm 1}\cong F\),就称 \(A\) 是域 \(F\) 上的中心单代数

最基本也是最重要的中心单代数的例子就是矩阵代数 \({\rm Mat}_n(F)\)。在研究中心单代数的时候,一个有效的手段就是建立它和 \({\rm Mat}_n(F)\) 之间的同态。

中心单代数有个很好的性质,就是它们对张量积的运算是封闭的:

定理 1.2. \(A,B\) 是域 \(F\) 上的两个中心单代数,则 \(A\otimes_F B\) 也是中心单代数。

证明:设 \(\dim B=m\),取定 \(B\) 的一组基 \(\{b_1,\ldots,b_m\}\),则 \(A\otimes B\) 中的任何元素 \(x\) 可以唯一地写成 \[x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m,\quad a_i\in A.\] 当然这里的 \(a_i\) 某些可以是 \(0\)。我们称上面这个表达式中非零项的个数为 \(x\) 的长度。

\(I\)\(A\otimes B\) 的任一非零理想,取 \(x\ne 0\) 使得 \(x\)\(I\) 中所有非零元素中长度最小的,不妨假设 \[x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_r\otimes b_r,\quad 0<r\leq m.\] 这里每个 \(a_i\) 都不是 \(0\),特别 \(a_1\ne0\)。由于 \(A\) 是单代数因此 \(A=Aa_1A\) (即 \(a_1\) 生成的双边理想),所以存在一组 \(\{c_j, d_j\mid 1\leq j\leq p\}\) 满足 \[1=\sum_{j=1}^p c_ja_1d_j.\] 由于 \(I\) 是双边理想因此每个 \[(c_j\otimes 1)x(d_j\otimes 1)=(c_ja_1d_j)\otimes b_1+\cdots+(c_ja_rd_j)\otimes b_r\] 都在 \(I\) 中,当然它们的和也在 \(I\) 中,设这个和为 \(x'\),则 \(x'\)\(x\) 有同样的长度但是形如 \(x'=1\otimes b_1+\cdots\)所以我们不妨一开始就假设在 \(x\) 的表达式中有 \(a_1=1\)

任取 \(a\in A\),则 \[(a\otimes 1)x -x(a\otimes1) =(aa_2-a_2a)\otimes b_2+\cdots+(aa_r-a_ra)\otimes b_r\in I.\] 然而它的长度小于 \(r\) 因此必须是 \(0\),即对每个 \(i=2,\ldots,r\)\(aa_i=a_ia\),由 \(a\) 的任意性可知每个 \(a_i\) 都属于 \(A\) 的中心 \(Z(A)=F\),因此这些 \(a_i\) 可以拿到 \(\otimes\) 的右边去: \[x=1\otimes b_1+\cdots+1\otimes a_rb_r=1\otimes(b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r)\in I.\] 注意由于 \(b_i\) 是线性无关的所以 \(b=b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r\ne0\)

总之我们证明了在 \(I\) 中存在一个形如 \(1\otimes b\) 的元素。

然后我们有 \[I\supset (1\otimes B)1\otimes b(1\otimes B)=1\otimes BbB=1\otimes B,\] 其中最后一个等号是因为 \(B\) 是单代数,从而元素 \(b\) 生成的双边理想 \(BbB=B\)。从而 \[I\supset (A\otimes1)(1\otimes B)=A\otimes B,\] 这就证明了 \(I=A\otimes B\),即 \(A\otimes B\) 是单代数。

注记 在证明 \(A\otimes B\) 是单代数的时候,我们只用到了 \(B\) 是单代数这个条件,即只要 \(A,B\) 中一个是单代数,另一个是中心单代数,则 \(A\otimes B\) 就是单代数。但是这个结论对 \(A,B\) 都是单代数的情形是不成立的,比如 \(\mathbb{C}\)\(\mathbb{R}\) 上的单代数但不是中心单的,这时 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\) 就不是单代数。

证明 \(A\otimes B\) 的中心等于 \(F\) 也可以用同样的套路,不过我们想花点精力证明一个更一般的结论:

引理 1.3. \(A,B\) 是域 \(F\) 上的代数,\(C\subset A\)\(D\subset B\) 分别是子代数,则 \(C\otimes D\)\(A\otimes B\) 中的中心化子是 \(C_{A\otimes B}(C\otimes D)=C_A(C)\otimes C_B(D)\)。也就是分别取 \(C,D\)\(A,B\) 里的中心化子,然后作张量积。

特别地取 \(C=A,D=B\) 我们有 \(Z(A\otimes B)=Z(A)\otimes Z(B)\)

\(A,B\) 都是中心单代数时,由此引理 \(Z(A\otimes B)=Z(A)\otimes Z(B)=F\otimes F=F\) 即得 定理 1.2 结论。

引理 1.3 的证明:首先 \(C_{A\otimes B}(C\otimes D)\supseteq C_A(C)\otimes C_B(D)\) 是显然的,只要再证明反向的包含关系成立即可。

任何 \(z\in C_{A\otimes B}(C\otimes D)\) 可以唯一地写成 \[z= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m.\] 由于 \(z\)\(C\otimes D\) 交换,当然也就和 \(C\otimes 1\) 交换,所以对任何 \(c\in C\)\[(c\otimes1)z-z(c\otimes1)=\sum_{i=1}^m(ca_i-a_ic)\otimes b_i=0.\]

由于 \(b_i\) 是线性无关的,因此每个 \(ca_i=a_ic\),由 \(c\) 的任意性有 \(a_i\in C_A(C)\)。进一步设 \(\{x_1,\ldots,x_r\}\)\(C_A(C)\) 的一组基,再将每个 \(a_i\) 表示为 \(\{x_1,\ldots,x_r\}\) 的线性组合,我们得到 \[z=a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m=x_1\otimes b_1'+\cdots + x_rb_r'.\] 其中每个 \(b_i'\in B\)。由于 \(x_1,\ldots,x_r\) 是线性无关的,我们可以重复刚刚的论证,\(z\) 与任何形如 \(1\otimes d,d\in D\) 的元素交换,得到 \[(1\otimes d)z-z(1\otimes d)=\sum_{i=1}^rx_i\otimes (db_i'-b_i'd)=0.\] 从而每个 \(b_i'\in C_B(D)\),这就证明了任何 \(z\in C_{A\otimes B}(C\otimes D)\) 可以表示为 \[z=x_1\otimes b_1'+\cdots + x_rb_r'\] 的形式,其中每个 \(x_i\in C_A(B)\),每个 \(b_i'\in C_B(D)\),从而反向的包含得证。\(\blacksquare\)

定理 1.4. \(A\) 是域 \(F\) 上的中心单代数,\(\dim_F A=n\),则 \(A\otimes A^{\rm op}\cong{\rm Mat}_n(F)\)

背后的道理很简单:\(A\) 显然是 \((A,A)\)- 双模,从而是一个左 \(A\otimes A^{\rm op}\)- 模(回忆一下,\((R,S)\)- 双模与左 \(R\otimes S^{\rm op}\)- 模是一回事),即存在代数同态 \[A\otimes A^{\rm op}\to \mathrm{End}_F(A).\]\(M\) 是左 \(R\)- 模当且仅当存在环同态 \(R\to{\rm End}(M)\)

定理 1.2 知道 \(A\otimes A^{\rm op}\) 是单代数从而这是一个单射,比较维数即得这是一个同构。

Noether-Skolem 定理

定理 2.1. Noether-Skolem

\(A\) 是一个中心单代数,\(B\) 是单代数,\(f,g:B\to A\) 是从 \(B\)\(A\) 的两个代数同态,则存在 \(u\in A^{\times}\) 满足 \[f(b) =u^{-1}g(b)u,\quad \forall b\in B.\] 特别的,我们得到中心单代数的自同构都是内自同构。

这个定理背后的想法不难,只是需要一点 Wedderburn-Artin 半单代数理论的知识:对于一个单代数 \(B\),在同构意义下 \(B\) 只有唯一的一个不可约模左 \(B\)- 模 \(V\)。任何左 \(B\)- 模都是完全可约的,可以分解为若干 \(V\) 的直和,从而两个左 \(B\)- 模 \(W,W'\) 是同构的当且仅当它们作为 \(F\)- 向量空间的维数相同:\(\dim_F W=\dim_F W'\),所以判断两个 \(B\)- 模是否同构是很简单的,只看维数就行。

回到 定理 2.1 的证明,我们先处理 \(A={\rm Mat}_n(F)\) 的情形:这时我们可以在 \(F^n\) 上定义两种不同的 \(B\)- 模结构:\(b\cdot x =f(b)x\)\(b\circ x=g(b)x\)。我们说了由于 \(B\) 是单代数所以两个左 \(B\)- 模是否同构只看它们作为向量空间的维数即可,显然这里的 \((B,\cdot)\)\((B,\circ)\) 是同构的,因此存在可逆线性变换 \(T:F^n\to F^n\) 使得 \[b\cdot (Tx)=T(b\circ x),\]\(f(b)=T^{-1}g(b)T\),因此在 \(A={\rm Mat}_n(F)\) 的情形定理成立。

对于一般的情形,我们当然要向矩阵代数靠拢。考虑 \(A\otimes A^{\rm op}\) 的两个单子代数 \(f(B)\otimes A^{\rm op}\)\(g(B)\otimes A^{\rm op}\)。由于 \(A\otimes A^{\rm op}\) 同构于 \({\rm Mat}_n(F)\) 因此上面的情形可用,即存在 \(T \in (A\otimes A^{\rm op})^\times\) 满足对任何 \(b\otimes a^{\rm op}\)\[f(b)\otimes a^{\rm op}=T^{-1}(g(b)\otimes a^{\rm op})T. \tag{$\ast$}\label{ast}\]\(b=1\) 我们有 \[1\otimes a^{\rm op}=T^{-1}(1\otimes a^{\rm op})T.\]\(T\)\(1\otimes A^{\rm op}\) 交换。于是根据 引理 1.3\(T\in A\otimes1\),从而存在 \(u\in A\) 使得 \(T=u\otimes1\)\(T\in (A\otimes A^{\rm op})^\times\) 说明 \(u\in A^{\times}\),代入到 \(\ref{ast}\) 中去即得 \(f(b)=u^{-1}g(b)u\)\(\blacksquare\)

双重中心化子定理

定理 3.1. 双重中心化子定理

\(A\)\(F\) 上的中心单代数,\(B\)\(A\) 的单子代数,\(C\)\(B\)\(A\) 中的中心化子: \[C=C_A(B)=\{ c\in A:\ cb=bc,\ \forall b\in B\}.\] 则我们有

  1. \(C\) 也是 \(A\) 的单子代数。
  2. \(\dim_F A=(\dim_F B)(\dim_F C)\)
  3. \(C\) 的中心化子是 \(B\)

证明:参考下图 (\(i\) 是嵌入映射):

\[\require{amsCd} \begin{CD} B\otimes1 @>{i}>> A\otimes\mathrm{End}_F(B) @<{i}<< 1\otimes l(B)\\ @V{\rm centralizer}VV @. @VV{\rm centralizer}V \\ C\otimes\mathrm{End}_F(B) @>{i}>> A\otimes\mathrm{End}_F(B) @<{i}<< A\otimes r(B) \end{CD}\]

考虑中心单代数 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\),它有两个子代数 \(B\otimes 1\)\(1\otimes l(B)\),这里 \(l(B)\)\(B\) 在自身上的左乘。它们都同构于单子代数 \(B\),因此 Noether-Skolem 定理断言它俩是共轭的,于是它俩在 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 中的中心化子也是共轭的。利用 引理 1.3 的结论,对它俩在 \(A\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 中分别求中心化子,得到 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\)\(A\otimes r(B)\) 是共轭的。

注记 \(l(B)\)\(\mathrm{End}_F(B)\) 中的中心化子是 \(r(B)\),即 \(B\) 在自身上的右乘。\(r(B)\) 同构于 \(B\) 的反环 \(B^{\rm op}\)

定理 1.2 \(A\otimes r(B)\) 是单代数,于是 \(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 也是单代数,从而 \(C\) 必须是单代数 (否则若 \(C\) 有非平凡理想 \(I\)\(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\) 有理想 \(I\otimes\mathrm{End}_F(B)\)),这证明了 1。

\(C\otimes\mathrm{End}_F(B)\)\(A\otimes r(B)\) 的维数相等有 \[(\dim_F C) (\dim_F B)^2=(\dim_F A)(\dim_F B),\]\[(\dim_F C)(\dim_F B)=\dim_F A.\] 这证明了 2。

最后设 \(C\) 的中心化子为 \(C_A(C)\),对单子代数 \(C\) 应用结论 2, \[\dim_F C =\frac{\dim_F A}{\dim_F C_A(C)}=\frac{\dim_F A}{\dim_F B}.\]\(\dim_F C_A(C)=\dim_F B\)。然而 \(B\subset C_A(C)\),二者维数相同因此必然相等,这就证明了 3。\(\blacksquare\)

References

Jacobson, Nathan. 1980. Basic Algebra. II. San Francisco, Calif.: W. H. Freeman; Co.
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