有限群的不可约实表示和复表示

在数学中有许多“三分天下”的例子,比如说:

  1. 常曲率空间只有欧式、球面、双曲三种。
  2. 三类典型的偏微分方程:热方程 (抛物)、Laplace 方程 (椭圆)、波方程 (双曲)。
  3. 复平面上全纯等价下只有三种单连通区域:单位圆 \(\mathbb{D}\)、复平面 \(\mathbb{C}\)、扩充复平面 \(\bar{\mathbb{C}}\)
  4. 不可约代数簇 (素理想) 在扩张下的三种行为:分解、惯性、分歧。
  5. 随机游动可以分为零常返、正常返、暂态。
  6. 实数域上的有限维结合可除代数只有三种:实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、四元数 \(\mathbb{H}\)

本文要介绍的是另外两个三分天下的例子,它们来自群表示论,即有限群的不可约实表示在复数域上的分解,和不可约复表示在实数域上的实现。这两个例子是紧密相关的。

不可约实表示在复数域上的分解

在有限群的表示论中,第一个遇到的重要结论可能要算 Schur 引理:

Schur 引理. \(G\) 是一个有限群,\(k\) 是一个特征为 0 的域,\(V\) 是一个不可约左 \(kG\)- 模。则 \(D=\mathrm{Hom}_{kG}(V,V)\)\(k\) 上的有限维结合可除代数。

在我学到这个结论时我就想到,如果 \(k=\mathbb{R}\) 是实数域的话,那么 \(D\) 作为 \(\mathbb{R}\) 上的有限维结合可除代数只有三种:实数域 \(\mathbb{R}\),复数域 \(\mathbb{C}\),四元数体 \(\mathbb{H}\)。这三种可能性分别对应 \(V\) 的什么性质呢?

为了简便起见,我们分别用 \(V_\mathbb{R}\)\(V_\mathbb{C}\) 表示将 \(V\) 视作 \(\mathbb{R}G\)- 模和 \(\mathbb{C}G\)- 模。

答案其实与 \(V_\mathbb{C}\) 分解为不可约复表示的方式有关。注意虽然 \(V_\mathbb{R}\) 是不可约的,但是 \(V_\mathbb{C}\) 就未必是不可约的了。我们将说明 \(V_\mathbb{C}\) 的分解具有如下的“三分性质”:

定理 1.1.

  1. \(D=\mathbb{R}\) 当且仅当 \(V_\mathbb{C}\) 仍然是不可约的。
  2. \(D=\mathbb{C}\) 当且仅当 \(V_\mathbb{C}\) 可以分解为 \(V_\mathbb{C}=V_1\oplus V_2\),其中 \(V_1\not\cong V_2\) 是两个不同构的不可约复表示。
  3. \(D=\mathbb{H}\) 当且仅当 \(V_\mathbb{C}\) 可以分解为 \(V=2V_1\),其中 \(V_1\) 是一个不可约复表示。

本节剩下的部分将致力于解释这一结论。

首先,把 \(V\) 看作一个复向量空间,其实就是考虑 \(V\) 的复化 (complexification): \[V_\mathbb{C}=V\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}.\] \(V_\mathbb{C}\) 是一个 \(\mathbb{C}G\)- 模。那怎么计算 \(V_\mathbb{C}\) 的分解呢?这就要用到群表示论中的一个常用结论:

命题 1.2. \(V\) 是一个 \(\mathbb{C}G\)- 模,\(V = n_1V_1\oplus n_2V_2\oplus\cdots\oplus n_rV_r\),其中 \(V_i\) 是互不同构的 \(\mathbb{C}G\)- 模,\(n_i\)\(V_i\) 出现在 \(V\) 中的重数,则我们有 \(\mathbb{C}\)- 代数同构 \[\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V) \cong \mathrm{Mat}_{n_1}(\mathbb{C})\times \mathrm{Mat}_{n_2}(\mathbb{C})\times\cdots\times\mathrm{Mat}_{n_r}(\mathbb{C}).\]

所以要计算 \(V_\mathbb{C}\) 的分解,我们只要考察 \(\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V_\mathbb{C})\) 的结构即可。然而 \[\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V)=\mathrm{End}_{\mathbb{R}G}(V)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=D\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}.\] 所以问题归结为计算 \(D\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\) 作为 \(\mathbb{C}\)- 代数的结构。

  1. 如果 \(D=\mathbb{R}\),则由 \(\mathbb{R}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\),因此 \(V_\mathbb{C}\) 仍然是不可约的。
  2. 如果 \(D=\mathbb{C}\),由于我们有 \(\mathbb{C}\)- 代数同构 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}\) 1,因此 \(V_\mathbb{C}\) 的分解为 \(V_\mathbb{C}=V_1\oplus V_2\),即 \(V_\mathbb{C}\) 是两个不同构的复表示的直和。注意 \(V_\mathbb{C}\) 的特征与 \(V\) 相同,是个实特征,所以 \(V_1\)\(V_2\) 是共轭的,即 \(V_2=V_1^\ast\)
  3. 如果 \(D=\mathbb{H}\),由于我们有 \(\mathbb{C}\)- 代数同构 \(\mathbb{H}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathrm{Mat}_2(\mathbb{C})\) 2,因此 \(V_\mathbb{C}\) 的分解为 \(V_\mathbb{C}=2V_1\),即 \(V_\mathbb{C}\) 是某个不可约模的二重和。

不可约复表示在实数域上的实现

问题 \(G\) 是一个有限群,\(V\) 是一个不可约的 \(\mathbb{C}G-\) 模,其特征为 \(\chi\)。我们想知道这个表示是否能在实数域上实现?即是否存在一个 \(\mathbb{R}G-\)\(W\),使得 \(W\) 的特征也是 \(\chi\)

显然 \(V\) 可以在实数域上可以实现的一个必要条件是 \(\chi\) 是实特征,即对任何 \(g\in G\)\(\chi(g)\) 都是实数,但这个条件是否也是充分的呢?

答案是否定的。最著名的反例就是四元数群 \(Q_8=\{\bf \pm1, \pm i,\pm j, \pm k\}\)\(Q\) 是一个 8 阶群,它只有一个次数大于 1 的不可约复表示,其次数为 2,但是它没有次数为 2 的不可约实表示,所以这个复表示肯定不能在实数域上实现。

具体讲,\(Q_8\) 有四个不可约一维复表示,这四个复表示同时也是实表示。此外 \(Q_8\) 在四元数体 \(\mathbb{H}\) 上的左乘给出其一个不可约 4 维实表示(除环作为自己的左正则模必然是不可约的),因此我们有群代数分解 \[\mathbb{R}Q_8 \cong 4\mathbb{R}\oplus\mathbb{H}.\] 另一方面 \(Q_8\) 有一个不可约的二维复表示,这个表示由 Pauli 矩阵给出: \[{\bf i}\to\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix},\quad {\bf j}\to\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad {\bf k}\to\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}.\] 这三个矩阵和恒等矩阵一起构成 \(\mathrm{Mat}_2(\mathbb{C})\) 的一组基,因此有群代数分解 \[\mathbb{C}Q_8\cong4\mathbb{C}\oplus\mathrm{Mat}_2(\mathbb{C}).\] 由于 \(Q_8\) 没有二维不可约实表示,因此这个二维不可约复表示不能在实数域上实现。

那要使得一个不可约复表示可以在实数域上实现,它应该满足怎样的条件?下面就来讨论这个问题。

我们将论证 \(V\) 具有如下的“三分性质”:

定理 2.1. \(V^\ast\)\(V\) 的对偶表示。

  1. 如果 \(V\ncong V^\ast\),就称 \(V\) 是复的 (complex type);
  2. 如果 \(V\cong V^\ast\)\(V\) 是某个不可约 \(\mathbb{R}G\)- 模 \(W\) 的复化:\(V\cong W\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\),就称 \(V\) 是实的 (real type);
  3. 如果 \(V\cong V^\ast\)\(V\) 是某个不可约 \(\mathbb{H}G\)- 模在复数域上的限制,就称 \(V\) 是四元数的 (quaternion type)。

\(V\) 必然恰好属于复、实、四元数三种类型之一。

我们来分析一下为什么会这样。

如果 \(V\cong V^\ast\),根据 Schur 引理,\(\mathrm{Hom}_G(V,V^\ast)\cong\mathbb{C}\) 是一维的。但是我们有 \(G\)- 模同构 \[\mathrm{Hom}_G(V,V^\ast)\cong \mathrm{Bil}(V) \cong V^\ast\otimes V^\ast.\]

所以 \(V^\ast\otimes V^\ast\) 作为 \(\mathbb{C}G\)- 模也是一维的。但是 \(V^\ast\otimes V^\ast\) 总是可以分解为两个 \(G\)- 不变子空间的直和,即对称和反对称的双线性形式:

\[V^\ast\otimes V^\ast=S^2V^\ast\oplus\Lambda^2V^\ast.\] 其中 \(S^2V^\ast\) 是二阶对称张量组成的空间,\(\Lambda^2V^\ast\) 是二阶反对称张量组成的空间。

于是 \(V\) 上的任何 \(G\)- 不变双线性型 \(g\) 要么是对称的: \[g(v,w)=g(w,v).\] 要么是反对称的: \[g(v,w)=-g(w,v).\] 二者必居其一。

\(\langle\,,\,\rangle\)\(V\) 上的任一 \(G\)- 不变的正定 Hermite 内积。其中 \(\langle\,,\,\rangle\) 关于第一个分量是共轭线性的,关于第二个分量是线性的。从而在一组标准正交基 \(\{e_i\}_{i=1}^n\)\(\langle\,,\,\rangle\) 形如 \[\langle\sum_{i=1}^n x_ie_i,\,\sum_{i=1}^n y_ie_i\rangle=\sum_{i=1}^n\overline{x_i} y_i.\] 固定 \(v\in V\),则 \(w\to g(v,w)\)\(V\) 上的线性泛函。根据 Riesz 表示定理,存在唯一的 \(v^\ast\in V\) 使得 \[g(v, w) = \langle v^\ast, w\rangle.\] 这里 \(v^\ast\) 依赖于 \(v\)。我们记这个从 \(v\)\(v^\ast\) 的映射为 \(J:v\to v^\ast\)。从而 \[g(v, w) = \langle Jv, w\rangle.\] 由于 \(g\) 和内积 \(\langle\,,\,\rangle\) 都是 \(G\)- 不变的,因此 \(J\) 必然与 \(G\) 的作用交换 3

注意到 \(g\) 关于第一个分量是线性的,但是 \(\langle\,,\,\rangle\) 关于第一个分量是共轭线性的,所以 \(J\) 必然也是共轭线性的,即对任何 \(c\in\mathbb{C}\)\[J(cv) = \overline{c}z.\]

由于共轭线性变换的平方是线性的,所以 \(J^2\)\(\mathbb{C}\)- 线性的且与 \(G\) 的作用交换。由 Schur 引理存在 \(c\in\mathbb{C}\) 使得 \(J^2=cI\)\(c\ne0\)。我们来说明根据 \(g\) 是对称的或者反对称的,相应地必有 \(c>0\) 或者 \(c<0\)

如果 \(g\) 是对称的,则 \[g(v,w)=g(w,v),\]\[\langle Jv, w\rangle= \langle Jw, v\rangle.\]\(v=Jw\) 带入上式得到 \[\langle J^2w, w\rangle=\langle Jw, Jw\rangle\geq0.\] 由于 \(J^2=cI\),所以必然有 \(c>0\)

类似地当 \(g\) 反对称时可得 \(c<0\)

于是通过给 \(J\) 除以 \(\sqrt{|c|}\),我们就得到了一个新的共轭线性变换,把它仍然记作 \(J\),则 \(J\) 满足 \(J^2=\pm1\)。特别地 \(J\) 还保持内积: \[\langle Jv, Jw\rangle= \langle v, w\rangle.\]

我们来说明,\(J=\pm1\) 这两种情形分别对应 \(V\) 是实类型的,和四元数类型的。

  1. 如果 \(J^2=1\),则作为实线性变换 \(J\) 是可对角化的,从而 \(V\) 作为实向量空间可以分解为 \(V=W\oplus W'\),其中 \(W,W'\) 分别是 \(J\) 的特征值 \(\pm1\) 的特征子空间,并且 \(W'=iW\)。于是 \(V=W\oplus iW\)。由于 \(G\) 的作用与 \(J\) 交换,\(W\) 还是一个 \(\mathbb{R}G\)- 模,从而 \(V\)\(W\) 的复化:\(V\cong W\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\),从而表示 \(V\) 是实的。
  2. 如果 \(J^2=-1\),那么 \(1,\, I=i,\,J,\, K=IJ\) 满足通常的四元数乘法,它们都和 \(G\) 的作用交换,所以 \(V\) 可以变成一个左 \(\mathbb{H}G\)- 模,将此模限制在复数域上即为表示 \(V\),从而表示 \(V\) 是四元数的。

注意上面两点是互斥的,否则 \(V\) 上将同时存在一个对称双线性型和一个反对称双线性型。

总之我们证明了表示 \(V\) 必然恰好属于实、复、四元数三种类型之一,其中只有实类型可以在实数域上实现。而且由上面的分析不难得出下面的推论:

推论 2.2.

  1. \(V\) 是复的当且仅当 \(V\) 上不存在任何非零的 \(G\)- 不变双线性型。
  2. \(V\) 是实的当且仅当 \(V\) 上存在一个非零的 \(G\)- 不变对称双线性型。
  3. \(V\) 是四元数的当且仅当 \(V\) 上存在一个非零的 \(G\)- 不变反对称双线性型。

这三种情形分别对应 \(\dim_{\mathbb{C}}(S^2V^\ast)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda^2V^\ast)\) 的值是 0, +1 和 -1。通过一些简单的计算不难得到 \[\dim_{\mathbb{C}}(S^2V^\ast)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda^2V^\ast)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g^2).\]

\(F(\chi)=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\chi(g^2)\) 叫做 \(\chi\) 的 Frobenius-Schur 指标,于是我们有

定理 2.3. (Frobenius-Schur 指标)

  1. \(V\) 是复的当且仅当 \(F(\chi)=0\)
  2. \(V\) 是实的当且仅当 \(F(\chi)=1\)
  3. \(V\) 是四元数的当且仅当 \(F(\chi)=-1\)

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