模任何素数都可约的整系数不可约多项式
几年前在知乎上有这么 一个问题：
问题： 有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式，它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的，而对任意素数 \(p\)，模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的？
当时我给了回答，后来账号注销了，答案也一并删除了。现在把我的原答案贴在这里：
我所知道的有两大类多项式：
第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式，它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数，乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式，但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。
第二类来自分圆多项式，分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) 上的首 1 极小多项式，其次数为 \(\phi(n)\)，这里 \(\phi(\cdot)\) 是 Euler totient 函数。绝大多数分圆多项式模任何素数 \(p\) 都是可约的！实际上我们有如下结论：
定理. 分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 模任何素数 \(p\) 都可约当且仅当 \(n\ne1,2,p,2p^k\)，其中 \(p\) 是奇素数，\(k\) 是正整数。
你可以看到知乎那个问题下的回答中举的例子都是最简单的 Swinnerdon-Dyer 多项式或者分圆多项式。
我知道这个结论还是研究生时上夏壁灿老师的符号计算课程，讲到分解整系数多项式的 Zassenhaus 算法，这两类多项式被用来分析算法的最差复杂度。我还在校园书摊上淘到了一本破损的 Modern Computer Algebra，在 15.3 节 “Frobenius’ and Chebotarev’s density theorems” 中有介绍。
这两类多项式属于比较容易分析的，还有别的例子吗？也是有的，这篇文章 给出了更多不那么显然的构造。