本文主要改写自 (Maxwell 1982) 和(Maxwell 1989)。

我们来介绍 Coxeter 群的 level 的概念，并证明 level 等于 1 或 2 的群都是双曲的。我们约定 \((W,S)\) 是一个 Coxeter 系，\(\Gamma\) 是其 Coxeter 图。\(|S|=n\)。

level 的定义

根据定义有限和仿射 Coxeter 群的 level 都是 0（因为不需要删去任何顶点）。

我们来看几个 level 大于 0 的例子：

证明：对 \(l\) 归纳。当 \(l=0\) 时，由于在一个有限或者仿射的连通图中删去任何一个顶点后剩下的一定是有限子图 (Humphreys 1990, sec. 2.6)，所以结论成立。

假设结论对所有小于 \(l\) 的正整数成立，考虑 \(l\) 的情形。用反证法。

假设从 \(\Gamma\) 中删去 \(\{i_1,\ldots,i_{l+1}\}\) 这 \(l+1\) 个顶点后，剩下的部分中某个连通分支是仿射的。不妨设 \(\Gamma\setminus\{i_1,\ldots,i_{l+1}\}=\Gamma'\cup\Gamma''\)，其中 \(\Gamma'\) 是一个仿射的连通分支，\(\Gamma''\)（可能为空集）和 \(\Gamma'\) 之间没有边相连。

由于 \(\Gamma\) 是连通的，所以 \(\Gamma'\) 必然和 \(\{i_1,\ldots,i_{l+1}\}\) 中某个顶点有边连接，不妨设为 \(i_{l+1}\)。

由于 \(\Gamma\) 的 level 是 \(l\)，所以 \(\{i_{l+1}\}\cup\Gamma'\subseteq\Gamma\setminus\{i_1,\ldots,i_l\}\) 是一个仿射的连通子图，这个仿射子图删除 \(i_{l+1}\) 后得到的 \(\Gamma'\) 仍然是仿射的，这与 \(l=0\) 的情形矛盾，所以结论得证。\(\blacksquare\)

关于 \(\omega_s\) 的恒等式

这一节是纯技术性的，我会指明几个关于 \(\Delta=\{\alpha_s\mid s\in S\}\) 和对偶基 \(\Delta^\ast=\{\omega_s\mid s\in S\}\) 之间关系的显然等式，这样下文用到它们时就不必再重复说明。

在本节中我们都假定内积 \((\cdot,\cdot)\) 是非退化的，于是我们可以通过 \((\cdot,\cdot)\) 将 \(V\) 和 \(V^\ast\) 等同起来：对任何 \(\alpha_s\in\Delta\) 和 \(\omega_t\in\Delta^\ast\) 有 \((\alpha_s,\omega_t)=\delta_{st}\)。

内积 \((\cdot,\cdot)\) 在 \(\Delta\) 这组基下的 Gram 矩阵记作 \[A=\big((\alpha_s,\alpha_t)\big)_{s,t\in S}.\] 则 \((\cdot,\cdot)\) 在 \(\Delta^\ast\) 这组基下的 Gram 矩阵就是 \[A^{-1}=\big((\omega_s,\omega_t)\big)_{s,t\in S}.\] \(A\) 的第 \(s\) 行与 \(A^{-1}\) 的第 \(s\) 列的点积是 1，所以 \[1=\sum_{t\in S}(\alpha_s,\alpha_t)\cdot (\omega_t,\omega_s)=(\omega_s,\omega_s)+\sum_{t\ne s}(\omega_t,\omega_s)\cdot(\alpha_s,\alpha_t).\tag{I}\label{eq:idI}\] 这是我们的第一个恒等式。

设 \(\mathbf{A}\) 是 \(V\) 上的线性变换，满足对每个 \(s\in S\) 有 \(\mathbf{A}(\omega_s)=\alpha_s\)，则 \(\mathbf{A}\) 在 \(\{\omega_s\}\) 这组基下的矩阵就是 \(A\)： \[(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)= (\omega_1,\ldots,\omega_n)A.\] 于是 \[(\omega_1,\ldots,\omega_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)A^{-1}.\] 在两边取下标为 \(s\) 的列，得到 \[\omega_s = \sum_{t\in S}\alpha_t \cdot (\omega_t,\omega_s)=(\omega_s,\omega_s)\alpha_s + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)\alpha_t.\tag{II}\label{eq:idII}\] 这是我们的第二个恒等式。

接下来是一个有用的观察：

对任何 \(s\in S\)，记 \(I = S\setminus\{s\}\)，\(W_I\) 是标准椭圆子群，\(V_I=\mathrm{span}\{\alpha_t\mid t\ne s\}\) 是 \(V\) 的 \(n-1\) 维子空间。

当 \((\omega_s,\omega_s)\ne0\) 时，记 \(\alpha_s'=\alpha_s-\omega_s/(\omega_s,\omega_s)\)，显然 \((\alpha_s',\omega_s)=0\)，于是 \[\alpha_s'\in \omega_s^\bot = V_I.\] 并且对任何 \(t\in I\) 有 \[(\alpha_s',\alpha_t)= (\alpha_s,\alpha_t)\leq0.\] 这说明 \(-\alpha_s'\) 属于 \(W_I\) 在 \(V_I\) 上作用的基本区域的闭包 \[\overline{\mathcal{D}}_s= \{v\in V_I\mid (v, \alpha_t)\geq0,\, t\in I\}=\mathrm{cone}(\{\omega_t\mid t\in I\}).\] 这个观察虽然很简单，但是后面很有用。

Level 1 是双曲的

本节来证明 level 等于 1 的群都是双曲的。

首先是一个定义：

证明：由于 \(\Gamma\) 的 level 大于等于 1，所以 \((\cdot,\cdot)\) 不可能是正定或者半正定的，显然也不可能是负定/半负定的（因为所有根 \(\alpha\) 的范数都是 1），所以 \((\cdot,\cdot)\) 的正负惯性指数都非 0。如果 \(W\) 不是双曲的，那么有两种可能：

1. \((\cdot,\cdot)\) 的负惯性指数是 1 且 \(\mathrm{rad}(V)\ne\{0\}\)。
2. \((\cdot,\cdot)\) 的负惯性指数至少是 2。

情形 1 可以取 \(V\) 的一组正交基包含两个向量 \(u,v\) 满足 \((u, u)=-1\) 和 \((v,v)=0\)。情形 2 可以取 \(V\) 的一组正交基包含三个向量 \(x,y,z\) 满足 \((x,x)=1\) 和 \((y, y)=(z,z)=-1\)，然后取 \(u=z\) 和 \(v=x+y\)，则 \(u,v\) 正交且 \((u,u)=-1,\,(v,v)=0\)。\(\blacksquare\)

证明：首先注意到 \(\Gamma\) 的 level 是 1 蕴含了 \(\Gamma\) 是连通的，若不然，设 \(\Gamma=\Gamma_1\cup\cdots\cup\Gamma_k\) 是多于一个连通分支的并，则每个分支 \(\Gamma_i\) 作为删去其它分支后剩下的子图必须都是有限或者仿射的，但这导致 \(\Gamma\) 的 level 是 0，矛盾。

我们需要证明三件事情：

1. 内积 \((\cdot,\cdot)\) 的正负惯性指数是 \((n-1, 1)\)；
2. 任何基本权 \(\omega_s\) 满足 \((\omega_s,\omega_s)\leq0\)；
3. 任何两个基本权 \(\omega_s,\omega_t\) 满足 \((\omega_s,\omega_t)\leq0\) 并且它们生成的二维子空间 \(\mathrm{span}\{\omega_i,\omega_j\}\) 不是正定的。

先证明 1。用反证法，如果 \(\Gamma\) 的 level 是 1 但不是双曲的，则根据 引理 3.2 我们可以取两个正交的非零向量 \(u,v\) 满足 \((u,u)<0,\, (v,v)=0\)。

我们有如下两个断言：

1. 任何满足 \((u,u)<0\) 的向量 \(u=\sum_{s\in S}u_s\alpha_s\) 其系数 \(u_s\) 都非零且同号。
2. 任何满足 \((v,v)=0\) 的向量 \(v=\sum_{s\in S}v_s\alpha_s\) 其系数 \(v_s\) 至多只有一个为 0，其余都同号。

我把这两个断言的证明放在附录中，先承认它们是正确的，用它们来导出矛盾：

取 \(s\in S\) 使得 \(v_s\ne 0\)，则 \(u'=v_su-u_sv\) 满足 \((u',u')=v_s^2(u,u)<0\)，且 \(u'\) 的 \(\alpha_s\) 项系数 \(u'_s=0\)。但根据断言 1，\(u'\) 的系数必须非零且同号，这就导致了矛盾，所以 \(\Gamma\) 必然是双曲的，从而结论 1 成立。

再来证明结论 2。

由于 \(\Gamma\) 的 level 是 1，对任何 \(s\in S\)，子空间 \(U=(\mathbb{R}\omega_s)^\bot=\mathrm{span}\{\alpha_t\mid t\ne s\}\) 是有限或者仿射的，从而 \(\omega_s\) 不是 space-like 的，即 \((\omega_s,\omega_s)\leq 0\)。这就证明了任何 \(\omega_s\,(s\in S)\) 都不是实的。

再来证明结论 3。

观察恒等式 \((\ref{eq:idII})\)： \[\omega_s = (\omega_s,\omega_s)\alpha_s + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)\alpha_t.\]

结论 2 中已经证明了必然有 \((\omega_s,\omega_s)\leq0\)。根据断言 1 和 2 我们有：

1. 如果 \((\omega_s,\omega_s)<0\)，则后面所有的系数 \((\omega_s,\omega_t)\) 都小于 0。
2. 如果 \((\omega_s,\omega_s)=0\)，则后面所有的系数 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 都不为 0 且同号。我们来确定它们的符号：根据恒等式 \((\ref{eq:idI})\) \[1 = (\omega_s,\omega_s) + \sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)(\alpha_t,\alpha_s)=\sum_{t\ne s} (\omega_s,\omega_t)\underbrace{(\alpha_t,\alpha_s)}_{\leq0},\] 显然只能是 \((\omega_s,\omega_t)<0\)。

总之我们说明了对任何 \(s\ne t\) 都有 \((\omega_s,\omega_t)<0\)。此外二维子空间 \(U_{s,t}={\rm span}\{\omega_s,\omega_t\}\) 的正交补是 \(U_{s,t}^\bot=\mathrm{span}\{\alpha_{k}\mid k\ne s,t\}\)，根据 定理 1.2 \(U_{s,t}^\bot\) 是 space-like 的，从而 \(U_{s,t}\) 是 time-like 的，从而 \(\{\omega_s,\omega_t\}\) 是分离的。

至此定理得证。\(\blacksquare\)

证明：由于 level 1 的群是双曲的，根据我们 前面对双曲情形 Tits 锥的分析，\(\mathcal{C}\) 包含 \(\mathcal{N}_+,\mathcal{N}_-\) 之一，不妨设为 \(\mathcal{C}\supset\mathcal{N}_+\)，则 \(\overline{ \mathcal{C} }\supset\overline{ \mathcal{N}_+ }=\mathcal{Q}_+\)。还要再证明反向的包含关系。为此只要证明 \(\overline{ \mathcal{C} }\subset\mathcal{Q}\) 和 \(\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-=\{0\}\)。

根据 定理 3.3，所有的基本权 \(\{\omega_s\}\) 都不是实的且两两分离，所以它们都属于 \(\mathcal{Q}\)。对任意 \(x\in\overline{\mathcal{D}}\)，设 \(x=\sum_{s\in S}c_s\omega_s\)，其中每个 \(c_s\geq0\)，则 \[(x,x)=\sum_{s,t\in S}c_sc_t\underbrace{(\omega_s,\omega_t)}_{\leq0}\leq0.\] 即 \(\overline{\mathcal{D}}\subset\mathcal{Q}\)。\(W\) 作为正交变换群保持 \(\mathcal{Q}\) 不变，所以 \(\mathcal{C}=\bigcup\limits_{w\in W}w\overline{\mathcal{D}}\subset\mathcal{Q}\)，从而 \(\overline{ \mathcal{C} }\subset\mathcal{Q}\)。

再来说明 \(\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-=\{0\}\)。我们知道 \(\mathcal{C}^\ast\ne\{0\}\)。我们断言 \(\mathcal{C}^\ast\) 必然包含某个 time-like 的向量 \((z,z)<0\)。否则 \(\mathcal{C}^\ast\) 中的非零向量都是 light-like 的。但是 \(\mathcal{C}^\ast\) 不能包含两个线性无关的 light-like 的向量（否则它们的正线性组合会得到 time-like 的向量，这个向量属于 \(\mathcal{C}^\ast\)），所以 \(\mathcal{C}^\ast\subset\mathbb{R}\delta\)，其中 \(\delta\) 是一个 light-like 的向量。取对偶得到 \[\overline{ \mathcal{C} }=\mathcal{C}^{\ast\ast}\supset\{v\in V\mid (v,\delta)\geq0\}.\] 这是一个半空间，显然包含 space-like 的向量，这与 \(\overline{ \mathcal{C} }\subset\mathcal{Q}\) 矛盾。所以我们确实可以取 \(z\in\mathcal{C}^\ast\) 满足 \((z,z)<0\)，于是 \((z,\overline{ \mathcal{C} })\geq0\)。又因为 \(\mathcal{Q}_+\subset\overline{ \mathcal{C} }\)，所以 \(z\in\mathcal{Q}_-\)。

设 \(x\ne0\in\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-\)，则 \(z\in\mathcal{C}^\ast\) 和 \(x\in\overline{ \mathcal{C} }\) 说明 \((z,x)\geq0\)；但另一方面 \(x\) 和 \(z\) 同时属于 \(\mathcal{Q}_-\) 并且 \(z\) 是 time-like 的导致 \((z,x)<0\)，矛盾。所以 \(\overline{ \mathcal{C} }\cap\mathcal{Q}_-=\{0\}\)。\(\blacksquare\)

下面的结论来自 Maxwell (1989)。

证明：由已知子空间 \(V_I=\mathrm{span}\{\alpha_t\mid t\ne s\}\) 是仿射的，并且 \(\mathrm{rad}(V_I)\) 是一维的。根据恒等式 \((\ref{eq:idII})\) \[\omega_s = \underbrace{(\omega_s,\omega_s)}_{=0}\alpha_s + \sum_{t\ne s}(\omega_s, \omega_t)\alpha_t = \sum_{t\ne s}(\omega_s, \omega_t)\alpha_t\in V_I\] 可得 \(\mathrm{rad}(V_I)=\mathbb{R}\omega_s\)。于是 \(W_I\) 保持 \(\omega_s\) 不动，即 \[\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ W_I\, -\, 1\ } 0.\] 从而 \(W_I\) 同样作用在商空间 \(V_I/\mathbb{R}\omega_s\) 上，此作用给出了一个同态 \(W_I\to\mathrm{GL}(V_I/\mathbb{R}\omega_s)\)。令 \(K\) 为此同态的核，则对任何 \(w\in K\)， \[w(v + \mathbb{R}\omega_s) = v + \mathbb{R}\omega_s,\quad v\in V_I.\] 即 \(wv-v\in\mathbb{R}\omega_s\)，从而 \[V_I\xrightarrow{\ K - 1\ }\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ W_I\, -\, 1\ } 0.\] 由于 \(K\leqslant W_I\)，所以 \[V_I\xrightarrow{\ K - 1\ }\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ K-1\ }0.\] 即 \((K-1)^2\) 在整个 \(V_I\) 上恒为 0。

更进一步，对任何 \(w\in K\)，\(w\alpha_s\) 形如 \(w\alpha_s=\alpha_s+\sum\limits_{t\ne s}c_t\alpha_t\)，所以 \((w-1)\alpha_s\in V_I\)，从而 \(w-1\) 将整个 \(V\) 也映入 \(V_I\)，于是 \[V\xrightarrow{\ K-1\ } V_I\xrightarrow{\ K - 1\ }\mathbb{R}\omega_s\xrightarrow{\ K-1\ }0.\] 即 \((K-1)^2V\subset\mathbb{R}\omega_s\)，\((K-1)^3V\equiv0\)。

取 \(w\in K\) 且 \(w\ne 1\) ¹，由于 \(w\) 在 \(V_I\) 上不是恒等变换，所以存在 \(t\in I\) 使得 \(w\alpha_t\ne\alpha_t\)。设 \[\beta = w\alpha_t=\alpha_t+a\omega_s\,(a\ne 0).\] 则 \(s_\beta=wtw^{-1}\)，从而对任何一点 \(p\in V\)， \[\begin{align*} s_\beta(p)&=p - 2(p,\beta)\beta\\ &=p-2(p,\alpha_t+a\omega_s)(\alpha_t+a\omega_s)\\ &=p-2(p,\alpha_t)\alpha_t- 2a(p, \omega_s)\alpha_t - c\omega_s\\ &=t(p) - 2a(p, \omega_s)\alpha_t - c\omega_s. \end{align*}\] 其中 \(c=2(p,\alpha_t+a\omega_s)a\) 是实数。\(c\) 具体是多少不用关心。

构造换位子 \(w_1=twtw^{-1}\in K\)，则由 \((K-1)^2V\subset\mathbb{R}\omega_s\) 有 \((w_1-1)^2p=b\omega_s\,(b\in\mathbb{R})\)。我们来计算 \(b\)。首先，

\[(w_1-1)p=ts_\beta(p)-p=-2a(p,\omega_s)\alpha_t - c\omega_s.\label{eq:wp1}\tag{1}\] 其中我们利用了 \(t(\alpha_t)=-\alpha_t\) 和 \(t(\omega_s)=\omega_s\)。

到目前为止，我们的计算对任何 \(p\in V\) 都是成立的。我们可以在 \((\ref{eq:wp1})\) 式中取 \(p=\alpha_t\)，得到 \[(w_1-1)\alpha_t=2a\underbrace{(\alpha_t,\omega_s)}_{=0}\alpha_t -c\omega_s=-c\omega_s= -2(\alpha_t,\alpha_t+a\omega_s)a\omega_s=-2a\omega_s.\label{eq:wp2}\tag{2}\]

继续，将 \(w_1-1\) 作用在 \((\ref{eq:wp1})\) 两端，由于 \((w_1-1)\omega_s=0\)，所以 \[(w_1-1)^2p = 2a(p,\omega_s)(w_1-1)\alpha_t.\label{eq:wp3}\tag{3}\]

将 \((\ref{eq:wp2})\) 代入 \((\ref{eq:wp3})\) 的右边，我们得到 \[(w_1-1)^2p=-4a^2(p,\omega_s)\omega_s.\] 即 \(b=-4a^2(\omega_s,p)\)。

我们来判断 \(b\) 的符号。这里要用到 \(p\in\overline{\mathcal{D}}=\mathrm{cone}(\Delta^\ast)\) 的条件。如果 \(p\) 是 \(\omega_s\) 的正倍数，显然 \(\omega_s\in\overline{ \mathrm{cone}(\bigcup_{w\in W_I}wp) }\)，命题自然成立。所以我们可以假设 \(p\) 与 \(\omega_s\) 不共线。

设 \(p=\sum_{t\in S} c_t\omega_t\,(c_t\geq0)\)，则至少有一个 \(t\ne s\) 满足 \(c_t>0\)。于是 \[(\omega_s,p)=\sum_{t\ne s}\underbrace{c_t}_{\geq0 \text{ 且至少有一个 } >0}\ \cdot\ \underbrace{(\omega_s,\omega_t)}_{\text{已知 }<0}<0.\] 从而 \(b>0\)。

最后利用 \((w_1-1)^3=0\) 和 \((w_1-1)^2p=b\omega_s\) 我们得到对任何 \(N\geq 1\) 有 \[w_1^N(p)=(1 + w_1-1)^N(p)= p + \binom{N}{1}(w_1-1)(p) + \binom{N}{2}b\omega_s,\] 可见 \(\lim\limits_{N\to\infty}\dfrac{w_1^Np}{\binom{N}{2}b} = \omega_s\)，即得所证。\(\blacksquare\)

Level 2 也是双曲的

本节我们在上一小节的结论中再进一步，证明 level 2 的群也是双曲的。论证会更加繁琐一些。

证明：我们先来证明 \(\Gamma\) 是双曲的。

如果 \(\Gamma\) 是不连通的，则 \(\Gamma\) 必须是一个 level 为 1 的子图和一个孤立顶点的并，由于 定理 3.3 已经证明了 level 1 的群是双曲的，再加上一个孤立顶点仍然是双曲的，所以 \(\Gamma\) 是双曲的。于是我们不妨假设 \(\Gamma\) 是连通的。

再针对 \(\Gamma\) 的顶点个数是否大于 3 分别处理。在 \(\Gamma\) 只包含 3 个顶点的情形，\(\Gamma\) 的 level 是 2 说明其必然有一条边的 Vinberg 标号小于 -1。不妨设 \((\cdot,\cdot)\) 的 Gram 矩阵形如 \[\begin{pmatrix}1&a&b\\a&1&c\\b&c&1\end{pmatrix}.\] 其中 \(a,\,b,\,c\leq0\) 且 \(a < -1\)。这个矩阵的行列式是 \[1 - a^2 + 2abc - b^2-c^2 = 1-a^2 + 2bc(a+1)-(b+c)^2<0.\] 由于矩阵的迹等于 3，所以其符号必然是 \((2, 1)\)，从而是双曲的。

再处理 \(\Gamma\) 包含至少 4 个顶点的情形。

仍然根据 引理 3.2，如果 \(\Gamma\) 不是双曲的，则我们可以取两个非零且正交的向量 \(u,v\) 满足 \((u, u)<0,\,(v, v)=0\)。

我们也有如下两个断言：

1. 任何满足 \((u,u)<0\) 的向量 \(u=\sum_{s\in S}u_s\alpha_s\) 除去至多一个系数 \(u_j\) 之外，其它的 \(u_s\) 都非零且同号。
2. 任何满足 \((v,v)=0\) 的向量 \(v=\sum_{s\in S}v_s\alpha_s\) 除了满足断言 1 的情形之外，还有一种情形是 \(\{v_s\}\) 中有两个是 0，其余的非零且同号。

我们仍然把断言的证明放在附录中，先承认它们是正确的并完成证明。

由于 \(u\) 的系数 \(\{u_s\}\) 中至多只有一个是 0，\(v\) 的系数 \(\{v_s\}\) 中至多只有两个是 0，而 \(|\Gamma|\geq4\)，所以存在下标 \(i\) 使得 \(u_i,\,v_i\) 均不为 0。于是 \(u'=v_iu-u_iv\) 仍然满足 \(u'\) 与 \(v\) 正交和 \((u',u')<0\)，但是它的下标 \(i\) 的系数 \(u'_i=0\)，所以我们不妨一开始就取 \(u\) 为 \(u'\)，于是 \(u\) 有一个系数 \(u_i=0\)，其它系数都非 0 且同号，不妨假设这些非零系数都大于 0。

现在我们已经有了 \(v_i\ne0\)，由于 \(\{v_s\}\) 中至多只有两个为 0，而 \(|\Gamma|\geq4\)，所以 \(\{v_j,\,j\ne i\}\) 中至少还有一个非零。

• 如果 \(\{v_j,\,j\ne i\}\) 中仅有一个非零，则这时必有 \(|\Gamma|=4\) 且 \(v\) 形如 \(v=v_i\alpha_i + v_j\alpha_j\)。根据 定理 1.2 \({\rm span}\{\alpha_i,\alpha_j\}\) 是有限/或者仿射的，但是由于此平面包含 \((v,v)=0\)，所以是仿射的，从而 \((\alpha_i,\alpha_j)=-1\)。我们可以不妨把 \(v\) 取为 \(v=\alpha_i+\alpha_j\)。

  	\(i\)	\(j\)	\(k\)	\(m\)
  \(u\)	0	\(>0\)	\(>0\)	\(>0\)
  \(v\)	\(\ne0\)	\(\ne0\)	0	0

  \(u_i=0\) 说明 \(u\) 形如 \(u=u_j\alpha_j+u_k\alpha_k+u_m\alpha_m\)。 由 \((u,v)=0\) 有 \[(u, v)=(u_j\alpha_j+u_k\alpha_k+u_m\alpha_m, v)=(u_k\alpha_k+u_m\alpha_m, \alpha_i+\alpha_j)=0,\] 由于 \(\{\alpha_k,\alpha_m\}\) 和 \(\{\alpha_i,\alpha_j\}\) 之间的内积都小于等于 0，而 \(u_k,u_m\) 大于 0，这说明 \[(\alpha_k,\alpha_i) = (\alpha_k,\alpha_j) =(\alpha_m, \alpha_i) =(\alpha_m,\alpha_j)=0.\] 即顶点 \(\{i, j\}\) 与 \(\{k,m\}=\Gamma\setminus\{i,j\}\) 是不连通的，与 \(\Gamma\) 连通矛盾。

• 如果 \(\{v_j,\,j\ne i\}\) 至少有两个非零，则可以取下标 \(j,k\) 使得 \(v_j/u_j\ne0,\,v_k/u_k\ne0\)。

  	\(i\)	\(j\)	\(k\)	\(\cdots\)
  \(u\)	0	\(>0\)	\(>0\)	\(>0\)
  \(v\)	\(<0\)	\(\ne0\)	\(\ne0\)	\(\cdots\)

  由于 \(v_i\ne0\)，通过选择 \(v\) 或者 \(-v\) 可以不妨设 \(v_i<0\)，并不妨设 \(v_j/u_j\leq v_k/u_k\)。记 \(a=v_j/u_j\)，则 \(u'=au-v\) 满足 \((u',u')<0\)，但是 \(u'_i=-v_i>0\)，\(u'_j=0\)，\(u'_k\leq 0\)，这与上面断言中 \(u'\) 的系数除去至多一个例外，剩下的均非零且同号矛盾。

至此我们证明了当 \(\Gamma\) 的 level 等于 2 时是双曲的。

我们接下来证明所有的基本权 \(\{\omega_s\}\) 是两两分离的。我们先来说明不论 \((\omega_s,\omega_s)\) 的符号如何，它与其它的基本权 \(\omega_t\,(t\ne s)\) 的内积满足 \((\omega_s, \omega_t)\leq0\)。

分情况讨论：

• 如果 \((\omega_s,\omega_s)\leq0\)，则根据 \((\ref{eq:idII})\)，\(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 中必然至少有一个严格小于 0，从而根据断言，在 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 中至多有一个为正。但我们将证明这不可能。否则不妨设 \(k\ne s\) 使得 \((\omega_s,\omega_k)>0\)。在 \((\ref{eq:idII})\) 两边用 \(\alpha_k\) 内积得到 \[0=(\omega_s,\omega_s)(\alpha_s,\alpha_k) +\sum_{t\ne s,k} (\omega_s,\omega_t)(\alpha_t,\alpha_k) + (\omega_s,\omega_k).\] 上面的和项前两个都非负，最后一个大于 0，矛盾。所以所有的 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 都非正。

• 如果 \((\omega_s,\omega_s)>0\)，则其正交补 \(U=\omega_s^\bot=\mathrm{span}\{\alpha_t\mid t\ne s\}\) 是双曲的，即 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 的 level 是 1。根据我们前面的 观察，\(\alpha_s\) 在 \(U\) 上的正交投影 \[\alpha_s'=\alpha_s-\omega_s/(\omega_s,\omega_s)\] 满足 \(-\alpha_s'\) 属于 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 的基本区域的闭包 \(\overline{\mathcal{D}}_s\)。根据 推论 3.4，\(\overline{\mathcal{D}}_s\) 中的点都是 time-like 或者 light-like 的，且属于 \(\mathcal{Q}\cap U=\{u\in U\mid (u,u)\leq0\}\) 的同一个分支，从而 \[(\alpha_s',\alpha_s')= 1-(\omega_s,\omega_s)^{-1}\leq0.\] 即 \(0<(\omega_s,\omega_s)\leq1\)。并且由于 \(\overline{\mathcal{D}}_s\) 在 \(\mathcal{Q}\cap U\) 的同一分支中，所以其中任何两点的内积非正，特别地对任何 \(t\ne s\) 有 \[(-\alpha_s',\omega_t)=(\omega_s,\omega_t)/(\omega_s,\omega_s)\leq0.\] 即 \((\omega_s,\omega_t)\leq 0\)，同样所有的 \(\{(\omega_s,\omega_t)\}_{t\ne s}\) 都非正。

又因为对任何 \(s,t\)，\(\Gamma\setminus\{s,t\}\) 是有限或者仿射的，所以其正交补，即 \(\{\omega_s,\omega_t\}\) 张成的二维子空间不是正定的，从而 \(\{\omega_s\}\) 之间是两两分离的。

level = 1, 2 等价于双曲和分离

证明：

\(1\Rightarrow 2\)：只要再证明对任何 \(w\in W\)，以及两个基本权 \(\omega_i,\,\omega_j\)，如果有 \(\omega_i\ne w(\omega_j)\)，则 \((\omega_i,w(\omega_j))\leq0\)，并且二维子空间 \(\{\omega_i,w(\omega_j)\}\) 不是正定的。

对 \(l(w)\) 归纳：\(l(w)=0\) 的情形在 定理 3.3 和 定理 4.1 中已经证明。下面假设 \(l(w)>0\)，且结论对所有长度 \(<l(w)\) 的元素成立。

1. 如果存在 \(k\ne i\) 使得 \(l(s_kw)<l(w)\)，则由于反射 \(s_k\) 是正交变换，并且保持 \(\omega_i\) 不动，有 \[(\omega_i,s_kw(\omega_j))\xrightarrow{\ s_k\ } (\omega_i,w(\omega_j)).\] 由归纳假设左边是分离的，从而右边也是分离的。

2. 如果对任何 \(k\ne i\) 都有 \(l(s_kw)>l(w)\)，则 \(w\) 的任一既约表示必然以 \(s_i\) 开头，即 \(w\) 形如 \(w=s_iw'\) 且 \(l(w)>l(w')\)。从而 \[(\omega_i,w(\omega_j))\xrightarrow{\ s_i\ }(\omega_i-2\alpha_i, w'(\omega_j)) =(\omega_i, w'(\omega_j))-2(\alpha_i,w'(\omega_j)).\]

   • 如果 \(\omega_i\ne w'(\omega_j)\)，则由归纳假设上面第一项 \((\omega_i, w'(\omega_j))\leq0\)。第二项由于 \[l(s_iw')>l(w')\Rightarrow w'^{-1}\alpha_i\in\Phi^+\Rightarrow (w'^{-1}\alpha_i, \omega_j)\geq0 \Rightarrow (\alpha_i, w'(\omega_j))\geq0.\] 所以 \((\omega_i,w(\omega_j))\leq0\) 成立。
   • 如果 \(\omega_i=w'(\omega_j)\)，则 \(w(\omega_j)=s_iw'(\omega_j)=s_i(\omega_i)\)，于是 \[(\omega_i, w(\omega_j))=(\omega_i, s_i(\omega_i))\xrightarrow{\ s_i\ }(\omega_i-2\alpha_i,\omega_i)=(\omega_i, \omega_i)-2 <0.\] 其中最后一个不等号是利用了 定理 3.3 和 定理 4.1 的结论：若 \(\Gamma\) 的 level 是 1 则 \((\omega_i, \omega_i)\leq0\)，若 \(\Gamma\) 的 level 是 2 则 \((\omega_i,\omega_i)\leq 1\)。

   我们已经证明了 \((\omega_i,w(\omega_j))\) 总是 \(\leq0\) 的。还需要说明 \(\mathrm{span}\{\omega_i,w(\omega_j)\}\) 不是正定的。用反证法。

   

   如果二维子空间 \(\mathrm{span}\{\omega_i,w(\omega_j)\}\) 是正定的，设 \(v\) 是 \(w(\omega_j)\) 在 \[U=\omega_i^\bot={\rm span}\{\alpha_k\mid k\ne i\}\] 上的投影分量，\(U_1\) 是 \(v\) 在 \(U\) 中的正交补，则 \[U_1=w(\omega_j)^\bot\cap U=w(\omega_j)^\bot\cap\omega_i^\bot=\{\omega_i,w(\omega_j)\}^\bot\] 是一个 time-like 的子空间，所以 \(v\in U_1^\bot\) 是 space-like 的：\((v,v)>0\)。

   另一方面，由于任何 \(\alpha_k\,(k\ne i)\in U\) 所以 \((w(\omega_j)-v,\alpha_k)=0\)，即 \[(w(\omega_j),\alpha_k)=(v,\alpha_k).\] 对这些 \(k\) 我们还有 \[l(s_kw)>l(w)\Rightarrow w^{-1}\alpha_k\in\Phi^+\Rightarrow(\omega_j, w^{-1}\alpha_k)\geq0\Rightarrow(w(\omega_j),\alpha_k)=(v,\alpha_k)\geq0.\] 即 \(v\) 属于 \(\Gamma\setminus\{i\}\) 的基本区域的闭包。根据反证假设 \(\omega_i\) 是实的，所以 \(\Gamma\setminus\{i\}\) 的 level 是 1，它的基本区域的闭包中的点都是 time-like 或者 light-like 的，从而必须有 \((v, v)\leq0\)，这与 \(v\) 是 space-like 的矛盾。

\(2\Rightarrow 1\)：由于内积 \((\cdot,\cdot)\) 是双曲的，而子空间 \(\mathrm{span}\{\omega_i,\omega_j\}\) 不是正定的，所以其正交补是正定或者半正定的。于是 \(\Gamma\setminus\{i,j\}\) 是有限或者仿射的，从而 \(\Gamma\) 的 level 等于 1 或 2。

附录

level 1 情形断言的证明

首先是断言 1 的证明。记

\[I_+=\{s\in S\mid u_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid u_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid u_s=0\}.\] 并记 \(u_+=\sum_{s\in I_+}u_s\alpha_s\)，\(u_-=\sum_{t\in I_-}u_t\alpha_t\)，则 \(u=u_++u_-\) 且 \[(u,u)=(u_+,u_+) + (u_-,u_-) + 2(u_+,u_-)<0.\] 但是注意到 \[(u_+, u_-)=\sum_{s\in I_+}\sum_{t\in I_-}\underbrace{u_s}_{>0}\underbrace{u_t}_{<0}\underbrace{(\alpha_s,\alpha_t)}_{\leq0}\geq 0.\] 所以 \((u_+, u_+) < 0\) 和 \((u_-, u_-)<0\) 中至少有一个成立，不妨设 \((u_+, u_+)<0\)。如果 \(I_-\cup I_0\) 不是空集，那么 \(I_+\) 作为从 \(\Gamma\) 中删去 \(I_-\cup I_0\) 后得到的真子图包含 time-like 的向量 \(u_+\)，这与 \(\Gamma\) 的 level 等于 1 矛盾。所以 \(I=I_+\)，即所有系数 \(u_s\) 都大于 0。相应地如果是 \((u_-,u_-)<0\) 的话则所有 \(u_s\) 都小于 0。

对断言 2 我们仍然采用类似的记号，记 \[I_+=\{s\in S\mid v_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid v_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid v_s=0\}.\] 并记 \(v_+=\sum_{s\in I_+}v_s\alpha_s\)，\(v_-=\sum_{t\in I_-}v_t\alpha_t\)，则同样有 \((v_+,v_-)\geq0\)。

我们想证明 \(|I_0|\leq1\)，并且 \(I_+\) 和 \(I_-\) 中必有一个是空集。

如果 \(|I_0|\geq2\)，那么 \((v, v)=0\) 说明删除 \(I_0\) 以后得到的子图不是有限的，这与 \(\Gamma\) 的 level 是 1 和 定理 1.2 矛盾。所以 \(|I_0|\leq 1\)。

如果 \(I_+,\,I_-\) 都不是空集的话，则 \(v_+,v_-\) 都非零，并且必然有 \((v_+, v_+)\geq0\) 且 \((v_-, v_-)\geq0\)，否则删掉 \(I_+\) 或者 \(I_-\) 以后剩下的子图不是有限或者仿射的，与 \(\Gamma\) 的 level 是 1 矛盾。然而 \[0=(v, v) = (v_+,v_+) + (v_-,v_-) + 2(v_+,v_-).\] 三个非负数的和等于 0，只能是 \((v_+,v_+) = (v_-,v_-) =(v_+, v_-)=0\)。现在分情况讨论：

1. 如果 \(|I_0|=1\)，那么删掉 \(I_-\cup I_0\) 会至少删掉两个顶点，但 \((v_+,v_+)=0\) 说明剩下的子图不是有限的，与 \(\Gamma\) 的 level 是 1 和 定理 1.2 矛盾。
2. 如果 \(I_0=\emptyset\)，则 \(S=I_+\cup I_-\)。然而 \((v_+,v_-)=\sum_{s\in I_+,\,t\in I_-}v_sv_t(\alpha_s,\alpha_t)=0\) 说明对任何 \(s\in I_+,\,t\in I_-\) 有 \((\alpha_s,\alpha_t)=0\)，从而 \(I_+\) 和 \(I_-\) 将 \(\Gamma\) 分成互不连通的两个集合，这与 \(\Gamma\) 连通矛盾。

总之 \(I_+\) 和 \(I_-\) 必有一个是空集，断言 2 得证。

level 2 情形断言的证明

首先是断言 1 的证明。和 level 1 那里的证明一样，我们仍然记 \[I_+=\{s\in S\mid u_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid u_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid u_s=0\}.\] 并记 \(u_+=\sum_{s\in I_+}u_s\alpha_s\)，\(u_-=\sum_{t\in I_-}u_t\alpha_t\)。则 \((u,u)<0\) 和 \((u_+,u_-)\geq0\) 说明 \((u_+, u_+) < 0\) 和 \((u_-, u_-)<0\) 中至少有一个成立。

如果 \(|I_0|\geq2\)，则 \((u,u)<0\) 与 \(\Gamma\) 的 level 是 2 矛盾。所以 \(|I_0|\leq 1\)。

1. 如果 \(I_+,I_-\) 都不是空集，则 \(u_+,\,u_-\) 均不为 0。由于 \((u_+, u_+) < 0\) 和 \((u_-, u_-)<0\) 中至少有一个成立，不妨设 \((u_+,u_+)<0\)，结合 \(\Gamma\) 的 level 是 2，这要求 \(|I_-\cup I_0|\leq 1\)，从而只能是 \(|I_-|=1,\, I_0=\emptyset\)。即系数全部非 0 且恰好有一个异号。
2. 如果 \(I_+,I_-\) 中有一个是空集，不妨设 \(I_-=\emptyset\)，我们仍然有 \(|I_-\cup I_0|=|I_0|\leq1\)。即系数至多有一个为 0 且其它的均同号。

总之我们证明了除去至多一个系数之外，其它的系数均非 0 且同号。断言 1 得证。

对断言 2，类似地我们记 \[I_+=\{s\in S\mid v_s>0\},\quad I_-=\{s\in S\mid v_s<0\},\quad I_0=\{s\in S\mid v_s=0\}.\] 并记 \(v_+=\sum_{s\in I_+}v_s\alpha_s\)，\(v_-=\sum_{t\in I_-}v_t\alpha_t\)。

首先 \(|I_0|\leq2\) 是显然的，否则 \((v,v)=0\) 与 \(\Gamma\) 的 level 是 2 和 定理 1.2 矛盾。

1. 如果 \(I_0\ne\emptyset\)，则 \(I_+,I_-\) 中必有一个为空。否则 \(|I_+\cup I_0|\geq2,\,|I_-\cup I_0|\geq2\)。level 2 要求 \((v_+,v_+)\geq0,\,(v_-,v_-)\geq0\)，从而 \((v,v)=0\) 和 \((v_+,v_-)\geq0\) 导致 \((v_+,v_+)=(v_-, v_-)=(v_+,v_-)=0\)。由于 \(\Gamma\) 至少包含 4 个顶点，所以 \(I_+,\,I_-\) 中必有一个包含两个或者更多的顶点。不妨设 \(|I_+|\geq2\)，则删除 \(I_+\cup I_0\) 会至少删掉 3 个顶点，但得到的子图不是正定的，与 \(\Gamma\) 的 level 等于 2 矛盾。所以系数 \(\{v_s\}\) 中如果有 0 的话，则至多只有两个 0，且剩下的都同号。
2. 如果 \(I_0=\emptyset\) 是空集，则要么 \(I_+,I_-\) 中有一个也是空集，从而所有的系数都非 0 且同号；要么 \(v_+,\,v_-\) 均不为 0。这时 \(\Gamma\) 连通说明 \((v_+,v_-)>0\)，结合 \((v,v)=0\) 可以得出 \((v_+,v_+) < 0\) 和 \((v_-, v_-)<0\) 中至少有一个成立。不妨设 \((v_+,v_+)<0\)，则 level 2 要求 \(|I_-|\leq1\)，即 \(\{v_s\}\) 均非零且恰有一个元素与其它元素异号。

至此断言 2 得证，从而定理得证。\(\blacksquare\)

References

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