Möbius 变换与球的刚体运动

五一期间我写了一个 shadertoy 小动画，演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系：

这个动画的名字叫做 Möbius transformation revealed，想法源自 Douglas N. Arnold 和 Jonathan Rogness 于 2007 年发布的 同名视频。这是一个很有名的视频，它表达的核心思想是，扩充复平面 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的 Möbius 变换可以由球在三维空间中的刚体运动给出：

1. 我们称一个球 $S$ 是容许的，如果 $S$ 的最高点，也就是北极点位于半空间 $\{z>0\}$ 中。
2. 取任何一个可容许的球 $S$，将 $\overline{\mathbb{C}}$ 在逆球极投影下对应到 $S$ 的球面上。
3. 对 $S$ 作刚体变换 （平移和旋转） $S\to T(S)$，使得 $T(S)$ 也是一个容许的球，即 $T(S)$ 的最高点也在半空间 $\{z>0\}$ 中。
4. 将 $T(S)$ 的表面通过球极投影再映射回 $\overline{\mathbb{C}}$，我们就得到了一个 $\overline{\mathbb{C}}\to\overline{\mathbb{C}}$ 的变换，此变换是一个 Möbius 变换，且所有 Möbius 变换都可以通过此种方式得到。

整个过程如下所示：

$$\underbrace{\overline{\mathbb{C}}\xrightarrow{\text{inverse stereographic projection}} S\xrightarrow{\text{rigid motion}} T(S)\xrightarrow{\text{stereographic projection}}\overline{\mathbb{C}}}_{\text{Möbius transformation}}.$$

详细的解释可以见原视频的解释 文章。但是从直观上理解也不难：

• $S$ 在 $xy$ 平面内的平移给出的是 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的平移。

• $S$ 在 $z$ 方向上的平移给出的是 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的缩放。

• 保持 $S$ 的北极点不动的旋转给出的是 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的旋转。

• 绕 $x$ 轴旋转 180 度给出的是 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的逆变换 $z\to 1/z$。

以上几种运动方式的复合可以给出可容许球的任何刚体运动，而任何 Möbius 变换都是平移、缩放、旋转、逆变换的复合，所以 Möbius 变换确实与可容许球体的刚体运动是对应的。

反过来对给定的 Möbius 变换 $M$ 和容许的球 $S$，当 $S$ 的初始位置确定以后，给出 $M$ 的刚体运动 $T$ 也是唯一确定的。证明见 这个论文。

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