抽象 Coxeter 群

设 \(S\) 是一个集合，一个基于 \(S\) 的 Coxeter 矩阵 \(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是一个对称矩阵，其对角线上都是 1，非对角线元素取值范围为 \(\{2,3,\ldots,\infty\}\)。\(|S|\) 叫做 \(M\) 的秩 (rank)。在这个系列中我们只考虑 \(|S|<\infty\) 的情形。

矩阵 \(M\) 确定了一个有限表现群 \(W\)，其生成元为集合 \(S\)，表现如下： \[W = \langle s\in S\ |\ (st)^{m_{s,t}}=1\ {\rm if}\ m_{s,t}<\infty\rangle.\]

即 \(S\) 满足的生成关系是：

1. 对任何 \(s\in S\) 有 \(s^2=1\)。
2. 对任何 \(s\ne t\) 且 \(m_{s,t}<\infty\) 有辫关系 (braid relation) \(\overbrace{sts\cdots}^{m_{s,t}}=\overbrace{tst\cdots}^{m_{s,t}}\) 成立。（当 \(m_{s,t}=\infty\) 时的关系是无用的）

我们称 \((W, S)\) 是一个 Coxeter 系，\(W\) 是一个有限生成 Coxeter 群。

用 Coxeter 矩阵或者群表现来描述 Coxeter 群还是太不方便了。我们可以用一个有限图 \(\Gamma\) 更直观地表示一个 Coxeter 群 \((W,S)\)，\(\Gamma\) 叫做 \((W,S)\) 的 Coxeter 图：

• \(\Gamma\) 的顶点集就是 \(S\)。
• 两个顶点 \(s,t\in S\) 之间连一条边当且仅当 \(m_{s,t}\ne 2\)，并且我们给这条边标上记号 \(m_{s,t}\)。
• 如果 \(m_{s,t}=3\)，省略这个记号。

如果 \(\Gamma\) 是连通的，就称 \((W,S)\) 是不可约的。

例： Coxeter 矩阵 \[\begin{pmatrix}1 & 3 & 4\\3&1&\infty\\4&\infty&1\end{pmatrix}\] 对应的 Coxeter 图 \(\Gamma\) 是

\(\Gamma\) 是连通的，所以 \(W\) 是不可约的。

我们主要关心的是 \(\Gamma\) 不可约的情形。这是因为，如果 \(\Gamma=\Gamma_1\cup\cdots\cup\Gamma_k\,(k>1)\) 是多个连通分支的并的话，则对任何 \(s\in\Gamma_i\) 和 \(t\in\Gamma_j\) 有 \(m_{s,t}=2\)，从而 \(st=ts\)，于是 \(\Gamma_i\) 中的生成元与 \(\Gamma_j\) 中的生成元两两交换，这时 \(W\) 有直积分解 \[W=W_1\times\cdots\times W_k.\] 其中 \(W_1,\ldots,W_k\) 分别是 \(\Gamma_1,\ldots,\Gamma_k\) 对应的 Coxeter 群。所以我们只要研究 \(\Gamma\) 不可约的情形即可。

还有一种给 \(\Gamma\) 的边标号的方式，叫做 Vinberg 记号，允许给 \(m_{s,t}=\infty\) 的那些边用 \(\leq-1\) 的实数作为标号。比如像下面这样：

作为抽象 Coxeter 群，它和前面的 \((3,4,\infty)\) 是同一个群，但是这里 \(\infty\) 边的标号变成了 \(-1.1\)。后面会解释，Vinberg 记号相当于指定了这条边的两个顶点在几何实现中对应的两个镜面的「双曲距离」。在后文中我们也会采用这种记号。

用 Coxeter 图来表示 Coxeter 群，除了直观上的好处外，它还能告诉我们一些关于 \((W,S)\) 的结构信息。比如当 \(\Gamma\) 包含回路时，你可以立刻知道 \((W,S)\) 一定是无限群 (Humphreys 1990, sec. 2.7)。还有一些更微妙的信息也可以从 \(\Gamma\) 中读出来。

长度函数

对 \(W\) 中的任一元素 \(w\)，存在许多种不同的方式将 \(w\) 表示为 \(S\) 中生成元的乘积。在所有这些表示中，长度最短者叫做 \(w\) 的既约表示：即若 \(w=s_1s_2\cdots s_k\) 是一个长度为 \(k\) 的表示，且 \(w\) 不存在任何长度小于 \(k\) 的表示，就称 \(s_1s_2\cdots s_k\) 是 \(w\) 的既约表示。\(w\) 的既约表示可能不唯一，但它们都具有相同的长度。定义 \(l(w)\) 为 \(w\) 的任意一个既约表示的长度。

\(l(w)\) 具有如下的性质：

1. \(l(xy)\leq l(x) + l(y)\)。
2. \(l(w) = l(w^{-1})\)。
3. \(l(w)=0\) 当且仅当 \(w=1\)。
4. \(l(ws)=l(w)\pm 1\)，其中 \(w\in W, s\in S\)。

前三点都是显然的，只有 4 需要证明。显然 \(|l(ws)-l(w)|\leq 1\)，所以只要说明 \(l(ws)\) 和 \(l(s)\) 不相等即可。这一步需要用到自由群的泛性质：

设 \(F\) 是由集合 \(S\) 生成的 自由群，定义群同态 \({\rm sgn}: F\to{\pm1}\) 如下：对 \(F\) 的每个生成元 \(s\in S\) 规定 \({\rm sgn}(s)=-1\)，然后将此映射扩充为 \(F\) 到 \({\pm1}\) 的群同态。容易验证 \((W,S)\) 的所有生成关系都属于这个同态的核，因此根据 自由群的泛性质，\({\rm sgn}\) 诱导了一个从 \((W,S)\) 到 \({\pm1}\) 的群同态。在此同态下，若 \(w=s_1s_2\cdots s_k\) 是 \(w\) 的任一既约表示，则 \[{\rm sgn}(w)={\rm sgn}(s_1){\rm sgn}(s_2)\cdots{\rm sgn}(s_k)=(-1)^k=(-1)^{l(w)}.\] 从而 \({\rm sgn}(ws)={\rm sgn}(w){\rm sgn}(s)=-{\rm sgn}(w)\) 说明 \(l(ws)\ne l(w)\)。

几何实现

抽象 Coxeter 群是用生成元和生成关系定义的，直接从这种定义出发研究群结构是非常困难的。在这一节中，我们将介绍如何将抽象的 Coxeter 群实现为一个内积空间中的正交反射群，从而可以使用几何、线性代数等多种工具来研究它。

设 \((W,S)\) 是一个 Coxeter 系，\(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是 Coxeter 矩阵，\(V\) 是一个维数为 \(n=|S|\) 的实向量空间，其一组基为 \(\{\alpha_s \mid s\in S\}\)。我们规定 \(V\) 上的内积 \((\cdot,\cdot)\) 如下：

\[(\alpha_s,\alpha_t)=\begin{cases} 1 & s=t,\\ -\cos(\pi/m_{s,t}) & m_{s,t}<\infty,\\ -a_{s,t} & m_{s,t}=\infty.\end{cases}\] 这里 \(a_{s,t}\geq1\) 是实数，它对应的是 \(\infty\) 边的 Vinberg 记号。不同的 \(s,t\) 对可以使用不同的 \(a_{s,t}\)。

根据定义 \((\alpha_s,\alpha_s)=1\)，即每个 \(\alpha_s\) 都是单位向量。

注： \(a_{s,t}=1\) 表示 Euclidean 空间中两个平行的镜面（或者双曲空间中两个平行的镜面）；\(a_{s,t}>1\) 表示双曲空间中两个超平行的镜面；\(2\leq m_{s,t}<\infty\) 表示两个相交的镜面。

下图显示了对前面的 \((3,4,\infty)\) 群，对标号为 \(\infty\) 的边选择 \(a_{s,t}=1\) 和 \(a_{s,t}=1.15\) 时给出的效果：

平行 \(a_{s,t}=1\)	超平行 \(a_{s,t}=1.15\)

内积 \((\cdot,\cdot)\) 未必是通常的 Euclidean 内积，即它未必是正定的。但我们最关心的情形有三种：

1. 如果 \((\cdot,\cdot)\) 是正定的，就称 \((\cdot,\cdot)\) 是有限型的；
2. 如果 \((\cdot,\cdot)\) 是半正定的，但不是正定的，就称 \((\cdot,\cdot)\) 是仿射型的；
3. 如果 \((\cdot,\cdot)\) 的符号是 \((n-1, 1)\)，就称 \((\cdot,\cdot)\) 是双曲型的。

不属于以上三种类型的一律称为不定的。

正如名字所暗示的那样，\((\cdot,\cdot)\) 是有限型的当且仅当 \(W\) 是有限反射群，这时 \(W\) 给出的万花筒是球面上的密铺；\((\cdot,\cdot)\) 是仿射型的当且仅当 \(W\) 可以实现为 Euclidean 空间上的仿射 Weyl 群，这时 \(W\) 给出的万花筒是 Euclidean 空间中的密铺；\((\cdot,\cdot)\) 是双曲型的意味着 \(W\) 给出的是双曲空间中的密铺。这些我们会在后面作更详细的讨论。

对任何 \(s\in S\)，定义 \(V\) 上的反射 \(\rho_s\) 为 \[\rho_s(v) = v -2(v,\alpha_s)\alpha_s ,\quad v\in V.\] 容易验证 \(\rho_s\) 满足 \(\rho_s^2=1\)，并且它保持 \((\cdot,\cdot)\) 不变： \[(\rho_s(u),\rho_s(v)) = (u,v),\quad \forall u,v\in V.\] 即 \(\rho_s\) 是以 \(\alpha\) 为法向量的镜面反射。

我们来证明 \(s\to\rho_s\) 实际上是从 \((W,S)\) 到 \(\mathrm{GL}(V)\) 的群同态，从而 \[\rho: W\to\rho(W)\leqslant\mathrm{GL}(V)\] 是一个线性表示。当然还是要用到泛性质。我们只要证明 \(\{\rho_s\}\) 之间满足与 \((W,S)\) 相同的生成关系：

这个结论的证明在 (Humphreys 1990, sec. 5.3) 和 Howlett (1996) 中都可以找到，但我更喜欢 Howlett 的做法，把 rank 2 情形的根系具体的算出来。这是最简单，但又非平凡的根系的例子，熟悉它的重要性怎么强调也不为过。

证明：当 \(s=t\) 时所证即为 \(\rho_s^2=1\)，由于 \(\rho_s\) 是反射这当然是成立的。

下设 \(s\ne t\)，令 \(V_{s,t}={\rm span}\{\alpha_s,\alpha_t\}\) 是 \(\alpha_s,\alpha_t\) 张成的二维子空间，并记 \(V_{s,t}^\bot\) 是 \(V_{s,t}\) 在 \((\cdot,\cdot)\) 下的正交补空间。不难验证 \(\rho_s\) 和 \(\rho_t\) 限制在 \(V_{s,t}^\bot\) 上都是恒等变换。

注意不一定有 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\) 成立，因为 \((\cdot,\cdot)\) 有可能是退化的。但是如果 \((\cdot,\cdot)\) 限制在 \(\mid_{V_{s,t}}\) 是非退化的，就有 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\) 就成立。这是双线性型的一个基本结论。

我们来计算 \(\sigma=\rho_s\rho_t\) 的阶。记 \(m=m_{s,t}\)，分情况讨论：

1. \(m<\infty\)。这时 \((\cdot,\cdot)\) 限制在 \(V_{s,t}\) 上的 Gram 矩阵是 \[\begin{pmatrix}1&-\cos\theta\\-\cos\theta&1\end{pmatrix},\qquad \theta=\frac{\pi}{m}.\] 这个矩阵是正定的，从而 \((\cdot,\cdot)\mid_{V_{s,t}}\) 非退化，这时 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\) 是成立的，而 \(\sigma\) 限制在正交补 \(V_{s,t}^\bot\) 上是恒等变换，所以 \(\sigma\) 在 \(V\) 上的阶就等于它在 \(V_{s,t}\) 上的阶。容易验证 \(\rho_s(\alpha_s)=-\alpha_s\) 和 \(\rho_s(\alpha_t)=2\cos\theta\cdot\alpha_s+\alpha_t\)，以及关于 \(\rho_t\) 的类似表达式。为了简化记号（否则我们的表达式会超出页面），令 \(a_k=\sin (k\theta)/\sin\theta\)，我们有 \[\begin{align*}&\alpha_s\xrightarrow{\ \rho_t\ }a_1\alpha_s+a_2\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }a_3\alpha_s+a_2\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }a_3\alpha_s+a_4\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\cdots\\ &\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }a_2\alpha_s+a_1\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }a_2\alpha_s+a_3\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }a_4\alpha_s+a_3\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\cdots\end{align*} \] 这两个链的周期都是 \(2m\)，因为它们的第 \(2m+1\) 项分别是 \[a_{2m+1}\alpha_s+a_{2m}\alpha_t=\dfrac{\sin (2m+1)\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin (2m)\theta}{\sin\theta}\alpha_t=\alpha_s.\] 和 \[a_{2m}\alpha_s+a_{2m+1}\alpha_t=\dfrac{\sin (2m)\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin (2m+1)\theta}{\sin\theta}\alpha_t=\alpha_t.\] 又回到了各自的第一项。所以 \(\sigma\) 的阶等于 \(m\)。

2. \(m=\infty\)。这时未必有 \(V=V_{s,t}\oplus V_{s,t}^\bot\)。但我们可以论证 \(\sigma\) 在 \(V_{s,t}\) 上的阶是无穷，那么自然它在 \(V\) 上的阶也是无穷。 设 \(\theta\geq0\) 使得 \(a_{s,t}=\cosh\theta\)。同样为了简化记号，令 \(b_k=\sinh(k\theta)/\sinh\theta\)，不难验证有 \[\begin{align*}&\alpha_s\xrightarrow{\ \rho_t\ }b_1\alpha_s+b_2\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }b_3\alpha_s+b_2\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }b_3\alpha_s+b_4\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }\cdots\\ &\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }b_2\alpha_s+b_1\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }b_2\alpha_s+b_3\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_s\ }b_4\alpha_s+b_3\alpha_t\xrightarrow{\ \rho_t\ }\cdots\end{align*} \]（当 \(a_{s,t}=1\) 时 \(\theta=0\)，\(b_k\) 应当理解为 \(\lim_{\theta\to0}\sinh(k\theta)/\sinh(\theta)=k\)）

   这两个链条都是永不重复的，所以 \(\sigma\) 的阶是无穷。

至此命题得证。\(\blacksquare\)

后面我们会看到 \(\rho\) 实际是一个同构，这样就把抽象的 Coxeter 群 \(W\) 实现为具体的反射群 \(\rho(W)\)。由于 \(\rho\) 是同构，研究 \(\rho(W)\) 并不会丢失 \(W\) 的信息。

最后是一个记号的简化：我们把 \(w\in W\) 在 \(V\) 上的作用简写为 \(wv=\rho(w)(v)\)。

References

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